III.-Квантовая-механика (1109680), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Далее, при заданном значении 1 уровень с у = 1+ 1/2 (т.е. отвечающий параллельным векторам 1 и в) лежит глубже, чем уровень с 1 = 1 — 1/2. Это правило уже упоминалось выше в связи со свойствами спин — орбитальной связи нуклона в ядре. Следующее правило относится к изотопическому спину ядер. Напомним, что проекция Тг изоспина определяется уже весом и номером ядра (см. (116.1)). При заданном значении Тг абсолютная величина изоспина может иметь любые значения, удовлетворяющие неравенству Т >) ~Т~1 Обычно основное состояние ядра имеет наименьшее из этих допустимых значений изоспина, т.
е. Т.,„= ~Т,~ = (172)(Л вЂ” К). (П8.7) Это правило связано с характером взаимодействия нейтрона с протоном, с тем, что в системе пр состояние с изоспином Т = 0 (состояние нейтрона) имеет ббльшую энергию связи, чем состояние с Т = 1 (ель примеч. на с. 580). Можно также сформулировать некоторые правила, относящиеся к спинам основных состояний ядер. Эти правила определяют, каким образом молгенты 1 отдельных нуклонов складываются в общий спин ядра. Они являются проявлением стремления протонов и нейтронов, находящихся в ядре в одинаковых состо- 1 ) В отличие от принятого для электронных уровней в атоме условия, по которому число п пробегает значения, начинающиеся с 1-~- 1.
588 гл. хн| СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА яниях, к попарному (рр и пп) вспариванию» со взаимно противоположными моментами (энергия связи таких пар составляет величину порядка 1 — 2 МэВ). Это явление приводит, например, к тому, что если ядро содержит четное число как протонов, так и нейтронов (четно-четнв1е ядра), то моменты всех нуклонов попарно компенсируются, так что общий момент ядра обращается в нуль. Если ядро содержит нечетное число протонов или нейтронов, причем все нуклоны сверх заполненных оболочек находятся в одинаковых состояниях, то обычно полный момент ядра совпадает с моментом одного нуклона — как если бы после спаривания всех возможных пар протонов и нейтронов оставался всего один нуклон с некомпенсированным моментом (полные же моменты заполненных оболочек автоматически равны нулю).
Для нечегпно-нечетных же ядер (нечетные 2 и Аг) нет какого-либо достаточно общего правила, определяющего спин основного состояния. Рассмотрение конкретного хода заполнения оболочек в ядрах требовало бы детального анализа имеющихся экспериментальных данных и выходит за рамки этой книги. Мы ограничимся здесь лишь еще некоторыми общими указаниями. При изучении свойств атомов мы видели, что электронные состояния в них можно разбить на группы такие, что при заполнении каждой из них и переходе к слс,чующей энергия связи электрона падает. Аналогичная ситуация имеет место для ядер, причем нуклонные состояния распределяются по следующим группам: 1я1/2 2 нуклона, 1Р212 1р1/2 6 нуклонов, 1оь/2~ 1оз/2~ 2в1/2 12 нуклонов, 11ту2 2Рзу2, 115у2, 2Р1у2, 18ду2 30 нУклонов, 2п5 ~2, 181у2, 1п11у2, 2пзу2, Зл1у2 32 Ну1слона, 2~1у2 16212, 111512, 2Д5у2, Зрз12, Зр112 44 нуклона. Для каждой группы указано полное число протонных или нейтронных вакансий.
Соответственно этим числам заполнение какой-либо из групп заканчивается, когда полное число протонов г или нейтронов Аг в ядре равно одному из следующих чисел: 2, 8, 20, 50, 82, 126. Эти числа принято называть магическими ') . ') Состояния 1УПв с их 8 вакансиями иногда выделяют в особую группу, в соответствии с тем, что и число 28 в известной степени обладает свойствами магических чисел. з 118 МОДЕЛ! ОБОЛОЧЕК Особой устойчивостью обладакзт так называемые дважды магические ядра, в которых как о, так и )у' являются магическими числами.
По сравнению с близкими к ним ядрами они обладают аномально малым сродством к еще одному нуклону, а их первые возбужденные уровни лежат аномально высоко') . Различные состояния в каждой из групп (118.8) перечислены примерно в порядке их постепенного заполнения в ряду ядер.
В действительности при этом заполнении наблюдаются значительные иррегулярности. Кроме того, надо иметь в виду, что в тяжелых ядрах (далеких от магических) расстояния между различньпли уровнями могут оказаться сравнимыези с «энергией спаривания>; в этих условиях само понятие индивидуальных состояний компонент пары в значительной степени теряет смысл. Сделаем нскоторыс замечания по поводу вычисления магнитного момента ядра в модели оболочек.
Говоря о магнитном моменте ядра, мы подразумеваем, естественно, магнитный момент, усредненный по движению частиц в ядре. Этот средний магнитный момент )ь направлен, очевидно, вдоль спина ядра Д, направление которого является единственным выделенным направлением в ядре; поэтому его оператор )г = )звал, (1 18.9) где де ядерный магнетон, а я- гиромагнитный множитель. Собственное значение проекции этого момента р,, = ре8ЛХ,у. Обычно (ср. (111.1)) под магнитным моментом )з, ядра понимают просто максимальное значение его проекции, т.
е, )з = род,7; с таким обозначением )г = И1/У) (118.10) ') Таковы ззНем еОз, з~еСаеа: ~ЙРЪ|зе; ядро 4Не вообще неспособно присоединить к себе еще один нуклон (справа внизу указано значение числа Х в ядре). Магнитный момент ядра складывается из е|агнитных моментов нуклонов, находящихся вне заполненных оболочек, поскольку моменты нуклонов в заполненных оболочках взаимно компенсируются. Каждый нуклон создает в ядре магнитный момент, складывающийся из двух частей: спиновой и (в случае протона) орбита;тьной, т.е.
представляющийся суммой я,в+ я11. (Здесь и ниже мы опускаем множитель )зо, подразумевая, как это обычно делается, что магнитные моменты измерены в единицах ядерного магнетона.) Орбитальный и спиновый гиромагнитные множители равны: р = 1, яз = 5,585 для протона и Ю = О, 8е = — 3,826 длЯ нейтРона. 590 ГЛ. ХН1 СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА (118.12) 1 ) Отметим, однако, что точность чодночастичной» схемы вычисления магнитных моментов ядер фактически оказывается невысокой. Пары значений (118.12) и (118.13) оказываются скорее верхним и нижним пределами, чем точными значениями моментов. После усреднения по движению нуклона в ядре, его магнит- ный момент становится пропорциональным 3; написав его в виде я 3, имеем — 1 1 84 = а.в+ а1 = -(а+ 8.)3+ -(а — 8.Н1 — ).
2 2 Умножив обе части этого равенства на .1 = 1+ в и переходя к собственным значениям, получим 1 1 йу1у+ ) = — (81+ Б )у(3+ ) + — (81 — йз)~~(~+ 1) — з(з+ )], а положив здесь з = 1/2, у = 1ж 1/2, найдем я =81~~' ~' при у=1~112, (118.1Ц 21+ 1 С указанными выше значениями гиромагнитных множителей это дает для магнитного момента протона пр — — яД: 2,291 . = (1 — ' )з при у' =1 — 1,'2, 1 рр — — у + 2,29 при у' = 1+ 1/2 и для магнитного момента нейтрона 1,91 д„= ' з' при у' = 1 — 1,12.
(118.13) 1А„= — 1,91 при з' = 1+ 1/2 (Т. ОСЬтий, 1937). Если вне заполненных оболочек имеется всего один нуклон, формулы (118.12) или (118.13) непосредственно дают магнитный момент ядра. Для двух нуклонов сложение их магнитных мо- ментов тоже производится элементарно (см. зада су 1). В слу- чае большего числа нуклонов усреднение магнитного момента должно производиться с помощью волновой функции системы, должным образом составленной из индивидуальных волновых функций нуклонов.
Задание нуклонной конфигурации и состоя- ния ядра в целом позволяют сделать это однозначным образом в тех случаях, когда данной конфигурации может соответство- вать всего одно состояние системы с заданными значениями,7 и Т (см., например, задачу 3); в противном случае состояние яд- ра представляет собой смесь нескольких независимых состояний (с одинаковыми 7, Т) и, вообще говоря, остаются неизвестны- ми коэффициенты в линейной комбинации, дающей волновую функцию ядра') . 591 3 118 МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК Наконец укажем, что наличие спин-орбитальной связи нуклонов в ядре приводит к появлению у протонов в ядре некоторого дополнительного (по отношению к (118.9)) магнитного момента (М.
Соррет1-Маует, Х Н.,(епзеп, 1952). Дело в том, что при явной зависимости оператора взаимодействия от скорости частицы переход к случаю наличия внешнего поля совершается путем замены оператора импульса согласно р — + р — (е/с)А. Производя эту замену в (118.3) и воспользовавшись выражением (111.7) для векторного потенциала, найдем, что в гамильтониане протона появляется дополнительный член ~р(т) ' [пА]в = Т(т) — '[г[нгЦЕ = Т(т) — е[г[вг]]Н. Такой член эквивалентен возникновению дополнительного магнитного момента с оператором 12лоп = — Х(т)[г[вг]] = — — т 7(т)[в — (вп)п[.
(118.14) 2сй 2сб Задачи 1. Определить магнитный момент системы двух нуклонов (с полным механическим моментом 3 = 52 + 52), выразив ого через магнитные момен- ты р1 и И2 каждОЕО яз н1'клОнОВ. Р е щ е н и е. Аналогично выводу формулы (118.11) получим 22 1 (рй Й2) 1 /рй де ) (22 12)(21 ' 12+1) 12,1 2 (,у 72 2 Лунг) 2. Найти Бозможныс состояния системы трех нуклоноа с моментами У = 3/2 (и одинаковыми глазными квантовыми числами). Р е щ е н и е. Поступаем аналогично тому, как было сделано Б 267 при нахождении возможных состояний системы эквивалентных злектро- ноз.
Каждый нуклон может находиться Б одном из восьми состояний со следующими парами значений чисел (гп, тс): (372, 172), (172, 172), ( — 172, 172), ( — 372, 172), (3/2 1/2) (112 1/2) ( 1/2 1/2) ( 3/2 1/2) Комбинируя зги состояния по три различных, найдем следующие пары значений (ЛХ2, ТС) для системы трех нуклоноа: (7/2,1/2), 2(5/2,1/2), (3/2,3/2), 4(3/2,1/2), (1/2,3/2), 5(1/2,1/2) (цифра перед скобками указывает число соответствующих состояний; со- стояний с отрицательными значениями 522, Тс можно не выписывать).
Им соответствуют состояния системы со следующими значениями чисел (1, Т): (7/2,1/2), (5/2,1/2), (3/2,3/2), (3/2,1/2), (1/2,1/2). 3. Определить магнитный момент основного состояния конфигурации двух нейтронов и одного протона Б состояниях р212 (с одинаковыми и) с учетом изотопической инаариантности ). ) Такую конфигурапию (сверх заполненной оболочки (1зиз)2) имеет ядро ~ьь 592 гл. хл ОТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА Р е ш е н и е.
Основное состояние такой конфигурации имеет,7 =- 3/2, а по указанному в тексте правилу его изоспин имеет наименыпее возможное значение Т = ~Тс .=- 1/2. Определим волновую функцию системы, соответствующую наибольшш му возможному значению ЛХ2 =- 3/2. Это значение ЛХ2 может быть осуществлено (с учетом требований принципа Паули для двух одинаковых нуклонов) следующими тройками значений тг соответственно для нуклонов р, п, и: (3/2,3/2, — 3/2), (3,12,1/2, — 1/2), (1/2,3/2, — 1/2), (1/2,3/2,1 12). Поэтому искомая волновая функция 36 „, является линейной комбинацией вида 3/г 3/2 3/2 31'2 — 31'2 3/2 1/2 — 1/2 11,г 17г = п[Ф1~2 Ф 112 Ф 1,г1 + 6[Ф172 Ф 1~2 Ф 1~2)+ 372 112 †1 3/2 312 — 112 + с[э' — 1/г ~1/г 36 — 1/2[ Т 11[2' — 1/г э' — 1/г г' 1/21 где [...) обозначает нормированное антисимметризованное произведение (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
