III.-Квантовая-механика (1109680), страница 117
Текст из файла (страница 117)
) В системе центра инерции атома сумма импульсов ядра и электронов равна нулю: р„д т 2 р, =- О. Поэтому их полная кинетическая энергия г 2 2ЛХ 2т 2ЛХ 2т -'-"— + — ',';р; = — '(, '.) — —,' ~р; 001 5 120 изОтОпичеОкОе смещение В тяжелых атолгах основной вклад в изотопическое смещение связан с протяженностью ядра. Этот эффект фактически заметен лишь для уровней внегтпгсго электрона, находяп1егося в в-состоянии, поскольку волновая функция я-состояния (в противоположность волновым функциям состояний с 1 ~ 0) не обращается в нуль при г — > 0 и потому вероятность нахождения электрона в «объеме ядраэ сравнительно велика. Вычислим изотопическое смещение для этого случая') .
Пусть ~р(г) -" истинный электростатический потенциал поля ядра, в отличие от потенциала Яе/г кулонова поля точечного заряда Уе. Тогда изменение энергии электрона,по сравнению с ее значением в чисто кулоновом поле я е/г, дается интегралом ав = — 1 (г — — ')г'( ) еу, (12ао где гд(г) волновая функция электрона (в з-состоянии эта функция сферически-симметрична и вещественна). Хотя интегрирование здесь формально распространено по всему пространству, но фактически стоящая в подынтегральном выражении разность со — Яе/г отлична от нуля лгппь внутри объема ядра.
С другой стороны, волновая функция з состоягпгя стремится при г — ) 0 к постоянному пределу (сы. 6 32), причем это постоянное значение практически достигается уже вне ядра. Поэтому можно вынести гд из-под знака интеграла, заменив фЯ ее зна- 2 чснием при г = О, вычисленным для кулонова поля точечного заряда. Для дальнейшего преобразования интеграла воспользуемся тождеством Ьг2 = б и перепигпем (120.2) в виде ЬЕ= — — еф (0) 1 ~~р — — )Ьг Л'= — -еф (0) 1 г Ь|~р — — ) сЛ' 1 г Г ле1 З 1 З 2 1' ген 6 6 / г (при преобразовании объемного интеграла учтено, что возникающий при этом интеграл по бесконечно удаленной поверхности 1 равен нулю). Но гз — = — 4яо(г), а гзб(г) = 0 при всех г. Согласно же электростатическому уравнению Пуассона Ьд = — 4лр, где в данном случае р плотность распределения электрического заряда в ядре.
В результате получим окончательно ЬЕ = — гд (0)Хе гз, (120. 3) 3 1 Излагаемый ниже расчет, не учитывающий релятивистских эффектов в движении электрона вблизи ядра, справедлив при выполнении условия Яе /Йс « 1. 602 гл. хн| СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА 2 1 где г~ = — ) рг дЪ' протонный средний квадратичный ра- УЕ диус ядра (при однородном распределении протонов в ядре было бы Гт = ЗЛ~,15, где Л -- геометрический радиус ядра). Изотопическое съ1ещение уровня определяется разностью выражений (120.3) для двух изотопов.
В 371 была произведена оценка величины ф(0) и выяснено, что она зависит от (предполагаемого болыпим) атомного номера как ъ~2. Поэтому величина расщепления (120.3) оказывается пропорциональной Л у' . я 121. Сверхтонкая структура атомных уровней Другим атомным эффектом, связанным со специфическими свойствами ядра, является расщепление атомных уровней энергии в результате взаимодействия электронов со спином ядра- . так называемая сверхтонкая структура, уровней. Ввиду слабости указанного взаимодействия интервалы этой структуры очень малы, в том числе по сравнению с интервалами тонкой структуры.
Поэтому свсрхтонкая структура должна рассматриваться для каждой из компонент тонкой структуры в отдельности. Спин ядра будем обозначать в этом параграфе (в соответствии с тем, как это принято в атомной спектроскопии) через т, сохранив обозначение 7 для полного момента электронной оболочки атома. Полный момент атома (вместе с ядром) обозначим как я' = Л + 1.
Каждая компонента сверхтонкой структуры характеризуется определенным значением величины этого момента. По общим правилам сложения моментов квантовое число Г принимает значения Л =,У+ г,,7+ г — 1,..., ~,7 — г~, (121.1) так что каждый уровень с заданным 7 расщепляется на 21 + 1 (если г (,7) или 2,7+ 1 (если г >,7) компонент. Поскольку средние расстояния Г электронов в атоме велики по сравнению с радиусом Л ядра, основную роль в сверхтонком расгцсплении играет взаимодействие электронов с мультипольными моментами ядра наиболее низких порядков.
Таковыми являются магнитный дипольный и электрический квадрупольный моменты (средний дипольный момент равен нулю — см. 3 75). Магнитный момент ядра имеет порядок величины 1А„Д еЛН /с, где ьяд скорости нуклонов в ядре. Энергия его взаимодействия с магнитным моментом электрона (1л,я ел/тс) 663 1 121 СВЕРХТОНКАЯ ОТРУКТУРА АТОМНЫХ УРОВНЕЙ порядка И де' В ДТЗРд 3 (121. 2) 3 3ВС Р Квадрупольный момент ядра 13' е13~; энергия взаимодействия создаваемого им поля с зарядом электрона порядка 341 е Л (121.3) 3 Сравнивая (121.2) и (121.3), мы видим, что магнитное взаимодействие (а потому и вызываемое им расщепление уровней) в (гяд/с)(6/тпсЛ) 15 раз больше квадрупольного взаимодей- СтВИЯ; ХОТЯ ОТНОШЕНИЕ Ьяд/С СРаВНИтЕЛЬНО МаЛО, ЗатО ОТНО1ПЕНИЕ 13/тс13 велико.
Оператор магнитного взаимодействия электронов с ядром имеет ви д Ъ;,1 = а1Л (121. 4) (аналогично спин-орбитальному взаимодействию электронов (72.4)). Зависимость вызываемого им расщепления уровней от Г дается, следовательно, выражением О ь'(ь', 1) (121.5) 2. 1-- Ь |3;гь + 33г1 — — 4(3 + 1) 5, .~ Л Лд. (121.6) здесь учтено, что фь выражается через оператор спина ядра формулой вида (75.2). Вычислив собственные значения оператора (121.6) (это делается в точности аналогично вычислениям в задаче 1 284), мы найдем, что зависимость квадрупольного сверхтонкого расщепления уровней от квантового числа Г дается выражением — г~(Р+ 1) + — Р(Г+ 1)[1 — 2Л(Л+ 1) — 24(4+ 1)).
(121.7) (ср. (72.5)). Оператор же квадрупольного взаимодействия электронов с ядром составляется нз оператора Я13 тснзора квадрупольного момента ядра и компонент вектора Л момента электронов. Он пропорционален составленному из этих операторов скаляру Ф/сЛ1ЛЫ т. Е. имЕЕт вид 604 гл. хл СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА Эффект магнитного сверхтонкого расщепления в особенности заметен для уровней, связанных с внешним электроном, находящимся в з-состоянии, ввиду сравнительно большой вероятности нахождения такого электрона вблизи ядра.
Вычислим сверхтонкое расщепление для атома, содержащего один внешний з-электрон (Е. Гетто, 1930). Этот электрон описывается сферически-симметричной волновой функцией ф(г) его движения в самосогласованном поле остальных электронов и ядра ). Будем искать оператор взаимодействия электрона с ядром как оператор энергии — )АЙ магнитного момента ядра )А = рффи в магнитном поле, создаваемом (в начале координат) электроном. Согласно известной формуле электродинамики это поле (121.8) где 3 — оператор плотности тока, создаваемого движущимся электронным спином, а г = пг - радиус-вектор из центра к элементу ГЛ") . Согласно (115.4) имеем дф (г) 3 = — 21гнсго1Я в) = — 27гнс ~пв] ()Ан магнстон Бора).
Написав д1г = г~ гсг до и произведя интегрирование,находим Й = — 21гн г)г ~п[пв]] до = — 2)гнЦ~Р (О) — в. /'й / 3 о Окончательно для оператора взаимодействия имеем Р;, = -рН = — "1зднф'(0) 1в. (121.9) 3 Если полный момент атома 7 = О' = 1/2, то сверхтонкое расщепление приводит к возникновению дублета 1г = г' ж 1/2); согласно (121.5) и (121.9) найдем для расстояния между двумя уровнями дублета Е,+17й — Е,,73 = — 7г1Ан(24+ 1)ф~(0). (121.10) ) Излагаемый ниже расчет предполагает выполнение условия А ет/йс « 1 (ср. примеч. на с.
б01). ) См. 11, 3 43, формула (43.7): заметим, что в последной вектор К направлен в обратную сторону — от Л' к центру (точке наблюдения поля). ОВЕРХТОНКАЯ ОТРУКТУРА АТОМНЫХ УРОВНЕЙ 605 3 122 Поскольку значение 11я[0) пропорционально у~Я (см. 3 71), величина этого расщепления растет пропорционально атомному номеру. Задачи 1.
Вычислить сверхтонкое расщепление [связанное с магнитным взаимодействием) для атома, содержащего сверх замкнутых оболочек один электрон с орбитальным моментом 1 [Е. Геття, 1930). Р е ш е н и с. Векторный потенциал и напряженность магнитного поля, создаваемого магнитным моментом ядра д, равны [ап[ Зп[рп) — 9 тэ ' тз [сйу А =- О). С помощью этих выражений запишем оператор взаимодействия в виде — Ар+ — Йэ = з 9[1-~ 3[вп)п — э).
[е[ [с[6- 2дв= гас тс т После усреднения по состоянию с заданным значением У выражение в квадратных скобках будет направлено вдоль 12 Поэтому можно написать )тя = 2ДВ[вз)[11 Ь З[эп)[п1) — вз[ 1[1+ Ц Среднее значение п,пг было вычислено в задаче к 3 29. Воспользовавшись им и переходя к собственным значениям, получим 2„вд [ . 21[1 + Цэз — б[э1)[31) 1 я [ [21 — Ц[21-~- 3) ) У[У -~- Ц [й) ~Ч+ откуда после простого вычисления окончательно находим ') Г[Г ,,)т 3 у[у+ ц где Г = 3 -Р 1, а У = 1х 1яЯ2. Усреднение т з производится по радиальной части волновой функции электрона. 2. Определить зеемановское расщепление компонент сверхтонкой структуры атомного уровня [Я.
А. Соия1этяй В. Г. Вас1яет, 1930). Р е ш е н и е, В формуле [113.4) [мы предполагаем поле настолько слабым, что вызываемое им расщепление мало по сравнению с ннтервалами сверхтонкой структуры) усреднение должно теперь производиться не только по электронному состоянию, но и по направлениям ядерного спина. В результате первого усреднения получается ЬЕ = двкзЛ,Е1 с прежним кз [113.7). Второе усреднение дает, аналогично [113.3), — [ЛГ) А — Г, ~~. Таким образом, окончательно получасья Г[Г+ Ц 4- У[У+ Ц вЂ” я[я Т Ц ЬВ = двяРВМР, КР = яя — — — — — — — — — — —. 2Г[Г+ Ц бОб гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
