III.-Квантовая-механика (1109680), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Значение интеграла определяется поэтому в основном областями вблизи тех значений и, при которых показатель экспоненты имеет экстремум (п = жи'). В каждой из областей множитель Г(п) Г(тп1) можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование дает') 2111Г( — и') — 2лзг'(п') + ~ 7'(п, п') Р'(п) 11о.
Ет 1ст т 1 Перепишем это выражение в компактном операторном виде, опустив общий множитель 21гт/й; Г( — и ) — о'г'(п ), т т (125. 3) где о = 1 + 21'к г", а 7 интегральный оператор: (125.4) 1'Г(п') = — 7" (п, и')г (п)11о. (125. 5) (125.6) или, подставив (125.4) и произведя перемножение: (125. 7) ) Для вычисления интеграла смещаем путь интегрирования по переменной и = сов Р (Π— угол между п и п') в плоскости комплексного и так, чтобы он выгибался в сторону верхней полуплоскости, оставаясь закрепленным на своих концах р =- х1. Тогда при удалении от каждого из этих концов функция е'ь"Р быстро затухает. Оператор о' называют оператором (или матрицей) рассеяния, или просто Я-матрицей, он был впервые введен В.
Гейзенбергом (1943). Первый член в (125.3) представляет собой сходящуюся к центру, а второй"- расходящуюся от центра волну. Сохранение числа частиц при упругом рассеянии выражается равенством полных потоков частиц в сходящейся и расходящейся волнах. Другими словами, эти две волны должны иметь одинаковую нормировку. Для этого оператор рассеяния должен быть унитарным (см. 3 12), т. е. должно быть 2 гза УОЛОВИЕ УНИТАРНООТИ ДЛЯ РАООЕЯНИЯ Наконец, учитывая определение (125.5), перепишем окончательно условие унитарности для рассеяния в виде Г" (п, п') — 1'*(п', и) = — 1'(п, пл)1*(п', иа)до".
(125.8) При п = п' интеграл в правой части равенства есть не что иное, как полное сечение рассеяния о. = )((п,п )( до . Разность же в левой части равенства сводится в этом случае к мнимой части амплитуды ('(п, п). Таким образом, получаем следующее общее соотношение между полным сечением упругого рассеяния и мнимой частью амплитуды рассеяния на нулевой угол: ь 1гп 1(п,п) = — о. (125. 9) 4Я (так называемая оптическая теорема для рассеяния). Кще одно общее свойство амплитуды рассеяния может быть получено, исходя из требования симметрии по отношению к обращению времени. В квантовой механике эта симметрия выражается в том, что если функция описывает какое-либо возможное состояние, то и комплексно сопряженная функция ф* отвечает некоторому возможному состоянию (см.
2 18). Поэтому волновая функция Г'( — и') — У*Г*(п'), комплексно сопряженная функции (125.3), тоже описывает некоторый возможный процесс рассеяния. Введем новую произволыгую функцию — О*Р*(п') = Ф( — и'). Учитывая унитарность оператора О', имеем Г*(п') = — Я* 1Ф( — п') = — УФ( — и'); введя оператор Р инверсии координат, меняющий знак векторов и и п, напишем Р*( — и')РР*(и') = — РПРФ(и'). Таким образом, получаем обращенную по времени волновую функпию в виде — А Е Ф( — и') — РОРФ(и'). Р Р 520 упРуГие ОТОлкнОВения ГЛ ХЧП Она должна по существу совпадать с исходной волновой функцией (125.3). Сравнение показывает, что лля этого должно выполняться условие рйр=У, (125.10) тогда обе функции отличаются лишь обозначением произвольной функции.
Соответствующее соотношение для амплитуды рассеяния получим, переходя от операторного равенства (125.10) к матричному. Транспонирование меняет местами начальный и конечный векторы и и и', а инверсия меняет их знаки. Поэтому имеем о(и,п') = о( — п', — п), (125.11) или, что то же: 1(п,п) = 1( — и,— и). (125.12) Это соотношение (так называемая теорема взаимности) выражает собой естественный результат: совпадение амплитуд двух процессов рассеяния, являющихся обращенными по времени друг по отношению к другу.
Обращение времени переставляет нагальное и конечное состояния и меняет направления движения частиц в них на обратные. Для рассеяния в центральном поле полученные общие соотношения упрощаются. В этом случае амплитуда у (п, п') зависит только от угла 0 между и и п'. Поэтому равенство (125.12) превращается в тождество. Условие же унитарности (125.8) принимает вид 1ш 1(0) = — 1(у)1 (у~)по~~, (125.13) где у, у' .— углы между и, и' и некоторым направлением ил в пространстве.
Если представить Г'(д) в виде разложения (123.14), то с помощью теоремы сложения для сферических функции (с.10) из (125.13) получим следующее соотношение для парциальных амплитуд; 1ш ~~ = й~ () ~з. (125.14) Эта формула может быть получена и непосредственно из выражения (123.15), согласно которому ~2гйу) + 1~э = 1.
Оптическую теорему (125.9) в случае рассеяния в центральном поле тоже легко получить непосредственно из формул (123.11), (123.12). 1 125 УОЛОВИЕ УНИТАРНООТИ ДЛЯ РАОСЕЯНИЯ Переписав (125.14) в виде 1ш (1Я) = — й, мы видим, что амплитуда ~~ должна иметь вид Л= (125. 15) где в1 = 61(й) вещественная величина; она связана с фазой б~ соотношением 61 = йс16бь (125.16) В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться таким представлением амплитуды. Проследим для рассеяния в центральном поле за связью между введенным выше понятием оператора рассеяния и величинами, фигурирующими в изложенной в 3 123 теории. Поскольку орбитальный момент в центральном поле сохраняется, оператор рассеяния коммутативен с оператором момента. Другими словами, л'-матрица диагональна в 1-представлении.
При этом в силу унитарности оператора о его собственные значения должны быть по модулю равны единице, т.е. имеют вид ехр(2гб~) с вещественными величинами бь Легко видеть, что эти величины совпадают с фазовыми сдвигами волновых функций, так что собственные значения о-матрицы совпадают с введенными в 3 123 величинами Я~ (123.10); собственные же значения оператора Г" = (Π— 1) /(2ге) соответственно совпадают с парциальными амплитудами (123.15). Действительно, если в качестве функции Г(п) выбрать Р~(сов0) (при этом Р( — и) = РД вЂ” совО) = ( — 1)'Р~(совО)), то волновая функция (125.3) должна совпасть с решением уравнения Шредингера, изображаемым отдельным членом суммы в (123.9); это и значит, что ЯР~(совО) = ЯР~(сов9).
Для плоской волны, падающей вдоль оси е, функция Р(п) в (125.3) есть д-функция Г = 45(1 — сов О), где 0 угол между п и осью е, О-функция определена здесь, как указано в примеч. на с. 616, а коэффициент перед ней выбран так, чтобы при подстановке в правую часть определения (125.5) получалось просто 1(О) (где теперь 0--. угол между п' и осью г). Представив д-функцию в виде (124.3) Р = 4б(1 — сов О) = ~~» (21+ 1)Р~(сов0) ~=о и применив к ней оператор ~, мы получим, как и следовало, амплитуду рассеяния в виде (123.14).
упРуГие ОГОлкнОВения ГЛ ХЧП Наконец, сделаем еще следующее замечание. С математической точки зрения, условие унитарности (125.8) показывает, что не всякая наперед заданная функция 1'1п, и') могла бы быть амплитудой рассеяния в каком-либо поле. В частности, не всякая функция 110) могла бы быть амплитудой рассеяния в каком-либо центральном поле. В силу (125.13) должно выполняться определенное соотношение между се вещественной и мнимой частями. Если написать 1(0) = )~)е', то при заданном для всех углов модуле )~( соотношение (125.13) даст интегральное уравнение, из которого в принципе можно определить неизвестную фазу ст(0).
Другими словами, по известному для всех углов сечению рассеяния (квадрату ~~~ ) можно в принципе восстановить и амплитуду. Это восстановление, однако, не вполне однозначно и определяет амплитуду лишь с точностью до замены 1'10) — э — 1'*10)1 (125.18) оставляющей инвариантным уравнение (125.13) и, конечно, не меняющей сечения ~~~2 (преобразование (125.18) эквивалентно одновременному изменению знака всех фаз д1 в (123.11) ). Эта неоднозначность, однако, устраняется, если амплитуда рассеяния рассматривается не только в зависимости от угла, но и от энергии. Мы увидим ниже Я 128, 129), что аналитические свойства амплитуды как функции энергии не инвариантны относительно преобразования (125.18). 3 126. Формула Бориа Сечение рассеяния может быть вычислено в общем виде в очень важном случае, когда рассеивающее поле может рассматриваться как возмущение') . В 3 45 было показано, что это возможно при выполнении хотя бы одного из двух условий: ~11~« "'., (126.1) или ~11~ << — =,Йа, 1126.2) а та где а .радиус действия поля 0(Г), а 11' .
-порядок его величины в основной области его существования. При выполнении первого ') В развитой в з 123 общей теории это приближение соответствует случаю, когда все фазы 61 малы; сверх того, необходимо, чтобы эти фазы могли быть вычислены из уравнения Шредингера, в котором потенциальная энергия рассматривается как возмущение (см. задачу 4). 623 2 126 ФОРМУЛА ВОРНА условия рассматриваемое приближение применимо при всех скоростях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
