III.-Квантовая-механика (1109680), страница 122
Текст из файла (страница 122)
629 3127 ФОРМУЛА ВОРНА т —. ! 2И~~41, (Ц а Фазы бг с большими 1 вычисляются по (124,Ц: ахи ! г!г йг / ( г г) /г(йг !г ~ г)Мг 1,'г Подстановкой гг -~- а = (а -~- ! /й~)Д интеграл приводится к известному интегралу Эйлера и дает тол" г Г(1/2)Г((п — Ц/2) 2йг(цгйг 4 !г)! — Ц/г Г(гг(2) Интеграл (Ц определяется областью ! аь » 1, чем оправдывается сделанное предположение. Вычисление интеграла приводит к результату: ггг [Г((п — Ц/2) ] ( пггг ) Согласно (126.2) условие применимости борновского приближения в данном случае дается неравенством то/(й~ка" ) << 1.
Обратим внимание на зависимость и й г, соответствующую сделанным в тексте общим утверждениям. 6. Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния в двумерном случае (поле !7 = !!(т, г); поток частиц падает в направлении оси г). Р е ш е н и е. Использовав примеч. на с. 204 и известное асимптотическое выражение функции Ганкеля (4) 1! хп найдем для поправки к волновой функция на больших расстояниях ро от оси поля (ось р) выражение (2) ,66 П1 ) *А,. г(г е* где амплитуда рассеяния 1(зг) = — — ™ — — !7(р)е '~~п' р йгуг2хь У (р = (х,г) — двумерный радиус-вектор; и р = ахпг; Эг — угол рассеяния в плоскости тг).
В двумерном случае амплитуда рассеяния имеет размерность корня из длины, а сечение рассеяния г!и = ~Д 41г — размерность длины. г Эту формулу можно было бы получить также и путем прямого разложения борновской амплитуды рассеяния (126.4) по полиномам Лежандра в соответствии с (123.1Ц (при малых 4~). 5. Определить в борновском приближении полное сечение рассеяния в поле !7 = а/(г~ + а ) !~ с и > 2 для быстрых частиц (Аа >> Ц. Р е ш е н и е, Как будет видно, в данном случае в рассеянии основную роль играют парциальные амплитуды с большими моментами !.
Поэтому сечение можно вычислять по формуле (123.1Ц с заменой в ней суммирования по ! интегрированием; в борновском приближении все 4 « 1, так что ОЗО УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХЧП й 127. Квазиклассический случай рией, в виде (124.4) 1(0) = — ~~~ (21+ 1)Р~(соэд)е~ы1. 21Е г=о (127. Ц Мы знаем, что квазиклассические волновые функции характеризуются большой величиной их фазы. Поэтому естественно предположить заранее, что предельному переходу в теории рассеяния соответствуют большие фазы бь Значение суммы (127.1) определяется в основном членами с большими 1. Поэтому можно заменить Рр(соэд) асимптотнческим выражением (49.7), которое напишем в виде Р1 (соэ 0) — — ~ ехр [1 (1 + — ) 0 + 4 — ~— — ехр [ — 1(1+ — ) 0 — г — ~ ~.
Подставив это выражение в (127.1), получим 1~11 = 1У' Г' (. р( (рр, - (1 р 1) р - -) )- — ехр~1[2б~+ (1+ — )д+ — ~)). (127.2) Экспоненциальные множители, рассматриваемые как функции от 1, являются быстро осциллирую1цими функциями (поскольку нх фазы велики). В связи с этим болыпинство членов суммы (127.2) взаимно уничтожаются. Сумма будет в основном определяться областью значений 1, близких к тому, при котором показатель одной из экспонент имеет экстремум, т. е, близких к корню уравнения 2 — ' ~ 0 = О. рп (127.3) В этой области имеется большое число членов ряда, для которых экспоненциальные множители сохраняют почти постоянные значения (показатели медленно меняются вблизи точки своего экстремума) и которые поэтому не будут взаимно уничтожаться. Проследим, каким образом происходит предельный переход от квантовомеханической теории рассеяния к классической.
Исключив из рассмотрения равный нулю угол рассеяния О, мы можем написать амплитуду рассеяния, даваемую точной тео- 631 з 127 кВАЗиклАссический ОлкчАЙ Фазы дг в квазиклассическом случае могут быть написаны (см. 2 124) как предел, к которому стремится при г о оо разность фазы оо квазиклассической волновой функции в поле 01г) и фазы волновой функции свободного движения, равной кг — го1/2 (скь 2 33).
Таким образом, — 1о ой + — ~1+ 4 — рта. (127.4) 21 2/ о Г рдг кк 0 Г рг 2 оо г 1 г Е г~ (127. 5) В поле соталкивания это уравнение имеет корень (для р) лишь при знаке минус перед 0 в правой части, а в поле притяжения— при знаке плюс. Уравнение (127.5) в точности совпадает с классическим уравнением, определяющим угол рассеяния по прицельному расстоянию (см. 1, 2 18). Легко убедиться и в том, что и для сечения действительно получается классическое выражение. Для этого разложим показатель экспоненты в (127.2) по степеням 1' = 1 — 1а(0), где 1а(д) определяется уравнениями (127.3)— (127.5). Будем для определенности рассматривать первый член в (127.2) и соответственно приниъгаем нижний знак в (127.3) (случай отталкивания). Заметив,что, согласно (127.3), 1А~ 1 В Ж' ~~=~о 2 оцо' Это выражение надо подставить в уравнение (127.3).
11ри определении производной от интеграла надо помнить, что предел интегрирования га тоже зависит от 1, но получающийся от этого член кдга/Ж сокращается с производной от члена — Ига в дь Величина 6(1+ 1/2) есть момент импульса частицы. В классической механике его можно написать в виде трг, где р "прицельное расстояние, а г.—. скорость частицы на бесконечности. Мы сделаем эту подстановку, после чего уравнение (127.3) примет окончательно вид упРуГие ОТОлкнОВения ГЛ ХЧП имеем 1~24 — () + — )Π— — ~ — зад~, — ()о+ — )Π— — ~ + — — )'~.
~~0 Суммирование по 1 в (127.2) заменяем теперь интегрированием по гц' вблизи точки 1' = О. Рассматривая при этом 11 как комплексную переменную, направим путь интегрирования вблизи указанной точки вдоль направления наиболсс крутого спада показателя экспоненты, т.е. под углом я/4 или — н/4 к вещественной оси, в зависимости от знака д0/йо.
Другими словами, полагаем 1' = ~ ехр(~Ы/4) и интегрируем по веп1ественным значениям с; ввиду быстрой сходимости интеграла его можно распространить от -со до ОО: «г ( — — ) Ы1 = (2 — ' ) В результате получим У" 10) = — ( ' — ' ) ехР(г [201е — (1е+ -) 0 — — ~ ~ (127.6) ) ~У~2 2 0 ~0 2 О ~О ьз ВВ Отсюда (127.
7) и после введения прицельного расстояния, согласно р = 1о/й, мы приходим к классической формуле гйг = 2прдр. Таким образом, условие классичности рассеяния при заданном угле 0 заключается в том, чтобы было велико значение 1, при котором имеет место (127.3), и чтобы было велико также и д1 при этом значении 1') . Это условие имеет простой смысл. Для того чтобы можно было говорить о классическом рассеянии на угол 0 при пролетании частицы на прицельном расстоянии р, необходимо, чтобы квантовомеханические неопределенности в значениях того и другого были относительно малы; Ьр « р1 Ь0 « 0. Неопределенность угла рассеяния имеет порядок величины гз0 с1р/р, где р импульс частицы, а Ьр — неопределенность его поперечной составляющей.
Так как Ьр 6/Ьр» 6/р, ') Связь В и р 1давасмая формулой 1127.5)) может оказаться неоднозначной; тогда одному и тому же значению В отвечают более чем одно значение р. В таком случае амплитуда 1" 1В) дастся суммой выражений 1127.6) с соответствующими значениями 1с. В точках экстремума функции В1р), производная ду/ВВ, а с иею и классическое дифференциальное сечение Вп/оо обращаются в бесконечность; вблизи этого угла классическое приближение, конечно, недостаточно 1сы. задачу 2). 2 127 кВАзиклАссический случАЙ то АА0» Ь/рр, а потому во всяком случае и 0» 6 ршю (127.
8) ~Р~ 2>>в (127.9) Это неравенство должно выполняться для всех значений р, при которых еще ~17(р) ~ < Е. Если поле 17(г) убывает быстрее, чем 1/г, то условие (127.9) во всяком случае перестает выполняться при достаточно больших р. Но большим р соответствуют малые 0; таким образом, рассеяние на достаточно малые углы во всяком случае не будет классическим.
Если же поле спадает медленнее, чем 1(г, то рассеяние на малые углы будет классическим; будет ли в этом случае классическим рассеяние на большие углы, зависит от характера хода поля на малых расстояниях. Для кулонова поля 17 = сс(г условие (127.9) выполняется, если сс» йп. Это условие обратно тому, которое позволяет рассматривать кулоново поле как возмущение. Мы увидим, впрочем, что по случайным причинам квантовая теория рассеяния в кулоновом поле приводит к результату, совпадающему с классическим во всех случаях. Задачи 1. Найти полное сечение квазиклассического рассеяния в поле, имеющем на достаточно болыпих расстояниях вид 17 = о/г" с и ) 2. Р о ш е н и е. Имея в виду, что основную роль играют фазы 4 с большими й вычисляем нх по формуле (124.1): та / с)г ший" Г(1/2)ГКЛ вЂ” Ц/2) 1' .! уз':-Р7н и ' и 1 ) пе Заменяя момент импульса трп на И, получим 01 » 1, что совпадает с условием б~ >> 1 (так как б~ 10, как это видно из (127.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
