III.-Квантовая-механика (1109680), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Поскольку уравнение Шредингера имеет ли1пь вещественныс собственные значения, все нули В(Е) на физическом листе вещественны (и расположены на левой части вещественной оси). Функции А(Е) и В(Е) при Е ) 0 непосредственно связаны с амплитудой рассеяния в поле 11'(Г). Действительно, сравнив (128.3) с асимптотическим выражением х, написанным в форме (33.20) Х = СОПВ1 (Е'(~гт~е) — Е 1(~гт~е)1 мы видим, что (128О7) .4(Е) 2ые(Е) (128.8) В(Е) Амплитуда же рассеяния с моментом 1 = 0 есть, согласно (123.15), (128.9) Уыножнв первое на дХ/дЕ, второе--на Х, вычтя почленно одно из другого и проинтегрировав по 11Г, получим Г 1 о (128.10) 1 ) За исключением точки Е = О, являющейся особой ввиду указанной выше особенности функций Л(Е) и В(Е).
Амплитуда рассеяния, однако, оста ется при Š— 1 О конечной (см. 2 132). Ниже мы, для краткости, не будем каждый раз делать зту оговорку. при этом А и В берутся на верхнем кран> разреза. Рассматривая теперь амплитуду рассеяния как функцию Е на всем физическом листе, мы видим, что дискретные уровни энергии являются ее простыми полюсами.
Если поле Ю(т) удовлетворяет условию (128.6а), то, согласно сказанному вьппе, амплитуда рассеяния не имеет других особых точек') . Вычислим вычет амплитуды рассеяния относительно полюса, который она имеет в каком-либо дискретном уровне Е = = ЕО ( О. Для этого напишем уравнения, которым удовлетворяют функция х и ее производная по энергии: л 2т 1'дХХл 2т дх 2т + —.(Š— 17)х = О, ( — ') + — (Š— 17) — = — — х. б (,дЕ) 6~ дЕ 6~ з 128 АНАЛИТИЧЕОКИЕ ОВОЙОТВА АМПЛИТУДЫ РАООЕЯНИЯ 639 Приелепим это соотношение при Е = Ео и т — л ОО.
Интеграл в правой части равенства при т Л Оо обращается в единицу, если волновая функция связанного состояния нормирована обычным условием ( узг1т = 1. В левую же часть подставляем т из (128.1), учитывая при этом, что вблизи точки Е = Ьо А(Е) = А(Ео) — = Ао, В(Е) = (Е+ ~Ео~) — „= ЯЕ+ ~Ео~) 1Е Ь"=Ьа 1 т В результате получаем д' =— Аай ~/ 2)Еа( С помощью этих выражений найдем, что вблизи точки Е = = Ео главный член в амплитуде рассеяния (совпадающий с амплитудой для 1 = 0) имеет следующий вид: ЬАо 1 2т Е т (Ео) (128.11) Таким образом, вычет амплитуды рассеяния в дискретном уров- не определяется коэффициентом Ао в асимптотическом выраже- нии х = Ао ехр( — ' т) (128.12) нормированной волновой функции соответствующего стационарного состояния.
Возвращаясь к исследования> аналитических свойств амплитуды рассеяния, рассмотрим случаи, когда условие (128.6а) не выполняется. В таких полях в выражении (128.1) лишь возрастающий член является корректной частью асимптотической формы решения уравнения Шредингера на всем физическом листе. Соответственно этому, можно по-прежнему утверждать, что функция В(Е) не имеет особенностей. Функция же А(Е) в этих условиях может быть определена в комплексной плоскости лишь как аналитическое продолжение функции, представляющей собой коэффициент в асимптотическом выражении т на правой вещественной полуоси, где оба члена в т являются законными.
Такое продолжение, однако, дает теперь, вообще говоря, различные результаты в зависимости от того, производится ли оно с верхней или с нижней стороны разреза. Для достижения однозначности мы условимся определять А(Е) в верхней и нижней полуплоскостях как аналитические продолжения соответственно с верхней и нижней сторон правой полуоси; разрез же при этом должен быть, вообще говоря, 640 упРуГие столкновения ГЛ ХЧП продолжен на всю вещественную ось. Определенная таким образом функция по-прежнему обладает свойством А(Е*) = А*(Е), но, вооб1це говоря, не вещественна ни на правой, ни на левой части вещественной оси. Она может также в принципе обладать особенностями. Покажем, однако, что существует тем не менее категория полей, для которых функция А(Е) не обладает особенностями внутри физического листа, хотя условие (128.6а) не выполняется. Для этого будем рассматривать у как функцию комплексного г при заданном (комплексном) зна Гении Е.
При этом достаточно ограничиться значениями Е в верхней полуплоскости, поскольку значения функции А(Е) в обеих полуплоскостях комплексно сопряжены друг с другом. Для таких значений Г, при которых ЕГ2 есть вещественное положительное число, оба члена в волновой функции (128.1) одинакового порядка, т, е, мы возвращаемся к той ситуации, которая имеет место для Е > 0 и вещественных г, когда оба члена в асимптотическом выражении у законны при любом стремящемся на бесконечности к нулю поле (1(т).
Поэтому можно утверждать, что А(Е) не может иметь особых точек при таких значениях Е, для которых П(Г) — у О, когда Г стремится к оо вдоль луча, на котором ЕГ2 > О. Когда Е пробегает все значения в верхней полуплоскости, условие Ег > 0 выделяет правый нижний квадрант плоскости ком- 2 плексного г. Таким образом, мы приходим к выводу, что А(Е) не имеет особенностей внутри физического листа также и в случаях, когда (у(Г) удовлетворяет условию') й1(Г) — э О, когда à — + оо в правой полуплоскости (128.13) (Л. Д.
Линдау, 1961). Условия (128.6а) и (128.13) охватывают очень широкую категорию полей. Поэтому можно сказать, что амплитуда рассеяния, как правило, не имеет особенностей внутри обеих полуплоскостей. На самой же левой полуоси (которая входит в состав физического листа при отсутствии разреза на ней) амплитуда рассеяния имеет полюсы, соответствующие энергиям связанных состояний; при наличии разреза здесь могут находиться и другие особенности. ) Ввиду вещественности су(Г) на вещественной оси имеет место равенство 11(Г*) = 11*(Г); поэтому выполнение условия (128.13) в нижнем правом квадранте автоматически означает его выполнение во всей правой полуплоскости. 3 128 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОВОЙС"ГВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 641 Последнее имеет место, в частности, для полей вида Г = сопв1 я не (128.14) (с любым п). На отрезке О < — Е < 62/(8та2) левой полуоси выполняется условие (128.6), так что на нем не должно быть разреза, и амплитуда рассеяния имеет здесь лишь полюсы, соответствующие связанным состояниям.
На остальной части левой полуоси могут иметься также и лишние полюсы и другие особенности (Я. Т. Ма, 1946). Их появление связано с тем, что функция (128.14) перестает стремится к нулю, когда г э сю вдоль луча, на котором ЕР2 > О, сразу жс как только Е попадает под левую полуось (т. е. указанный луч попадает влево за мнимую ось плоскости комплексного г). Далее, рассмотрим аналитические свойства амплитуды рассеяния при ~Е~ — Э ОО. Когда Е Э +ос вдоль вещественной оси, справедливо борновское приближение и амплитуда рассеяния стремится к нулю.
Согласно сказанному выше такая же ситуация имеет место при стремлении Е к бесконечности в комтглексной плоскости вдоль какой-либо прямой агяЕ = сопв1, если при этом рассматривать такие комплексные значения г, для которых Егз > О. Если 17 — э О, когда г э ОО вдоль прямой аг8т = — (1/2) аг8 Е и никаких особых точек на этой прямой 17(г) не имеет, то выполнено условие применимости борновского приближения и амплитуда рассеяния по-прежнему стремится к нулю.
Когда аг8Е пробегает все значения от О до и, агя г пробегает значения от О до — н/2. В результате мы приходим к заключению, что амплитуда рассеяния стреътится к нулю на бесконечности во всех направлениях в плоскости Е, если функция Г(г) в правой полуплоскости г не имеет особых точек и стремится к нулю на бесконечности. Хотя мы говорили выше все время о рассеянии с моментом 1 = О, но в действительности все изложенные результаты справедливы и для парциальных амплитуд рассеяния с любым отличным от нуля моментом. Разница в выводах состоит лишь в 1Ь том, что вместо множителей е — ' ' в асимптотических выражениях 7~ надо было бы писать точные радиальные волновые функции свободного движения (33.16) ') .
') Пользоваться же предельной формой (33.17) этих функций допустимо лишь прн Е > О; в остальной плоскости Е, где оба члена в Х различных порядков величины, использование этих предельных выражений внесло бы в х ошибку, вообще говоря, большую, чем ошибка, соответствующая пренебрежению Г в уравнении Шредингера. упРуГие ОТОлкнОВения ГЛ ХЧП Некоторые изменения надо ввести, при 1 ф О, в формулы (128.9) и (128.11). Вместо (128.7) имеем теперь лГ1 = ГВ~ = сопзс.(ехр[2(йт — — +4)] — ехр [ — г(1«г — — +5~)] ~ (128.15) и для парциальной амплитуды ~~ (определенной согласно (123.15)) получим (128.16) Главный же член в амплитуде рассеяния вблизи уровня Е = Ее с моментом 1 дастся, вместо (128.11), формулой а2 ~2 (21 + 1)~яР~(соз В) = ( — 1)~+~ " (21+ 1)Р~(соз О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
