III.-Квантовая-механика (1109680), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Этот вопрос решен И. 11Х. Гельфандом, В. 111'. Левитаном и В. А. Марченко. Оказывается, что для определения с"'1Г) достаточно в принципе знать бе(й) как функцию волнового вектора во всей области от к = О до 1с = оо, а также коэффициенты а„в асимптотических (при г Э со) выражениях В~с а е ""/г (нь = ч72т~Ё„Рй) волновых функций состояний, соответствую1цих дискретным (отрицательным) уровням энергии Е„, если таковые вообщо имеются. Определенно П(г) по этим данным сводится к решению определенного линейного интегрального уравнения.
Систематическое изложение этого вопроса можно найти в книге: В. де Альфаро, Т. Редэюе. Потенциальное рассеяние. — М.: Мир, 1966. б13 3 123 ОБщАя теОРия РАссеяния моментом (. Отметим, что максимальное возможное значение этого сечения есть сг1„„, = †,(21 + 1). (123.13) 1(0) = 2 (21+1)))Р~(совд). (123.14) 1=О Согласно (123.11) они связаны с фазами д~ соотношением () = — (Я~ — 1) = — (е ' — 1), 1 22б~ 27'.Й 2212 (123.15) а парциальные сечения сг~ = 4я(21+ 1)~~~~~.
(123.16) Задача Выразить амплитуду рассеяния через фазовые сдвиги в двумерном случае. поле и = О'(р), р = чглз -~- 22. поток частиц в направлении оси 2. Р е ш е н и е. В двумерном случае волновая функция вдали от рассеивателя представляет собой суперпозицию плоской и расходящейся цилиндрической волн: ьр т = е" " -Р Дзр) (1) чг — 2Р Здесь 22 — угол между осью 2 и направлением рассеяния, Д(С2) — амплитуда рассеяния, имеющая в двумерном случае размерность корня из длины, Множитель — 2 = ехр( — Ы/2) под корнем введен для упрощения последующих формул. Сечение рассеяния, отнесенное к единице длины вдоль оси у, равно ~у~2 ~ Оно имеет размерность длины.
Волновую функцию нужно разложить по функциям с определенной проекцией тп углового момента на ось у, имеющим вид С) (р)е ' . Радиальные функции на болыпих расстояниях от расссивателя отличаются от полученных в задаче к 3 34 функций свободного движения только фазовым сдвигом: 12 (р) Рз 2 з1п ~Ир — — ~(т — — ) -Гб ~( якр ~ 2 2 Сравнив его с формулой (34.5), видим, что число частиц, рассеянных с моментом (, может оказаться в 4 раза больпгим числа таких частиц в падающем потоке. Это обстоятельство является чисто квантовым эффектом, связанным с интерференцией между рассеянными и нерассеянными частицами. Ниже нам будет удобно пользоваться также парциальными амплитудами рассеяния ВВ которые мы определим как коэффициенты разложения 614 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХНП причем 6ш = 6 ш. Повторяя рассуждения настоящего параграфа с использованием разложения плоской волны из задачи к З 34, находим, что функция с асимптотическим видом (1) дается рядом ф = ~ ~е* о),„(р)е*~", а амплитуда рассояния равна (8) 8 124.
Исследование общей формулы Полученные формулы применимы в принципе к рассеянию в любом поле 1г'(г), обращающемся на бесконечности в нуль. Исследование этих формул сводится к исследованию свойств входящих в них фаз бь Для оценки порядка величины фаз ог с большими значениями 1 воспользуемся тем, что при больших 1 движение квазиклассично (сьь 8 49). Поэтому фаза волновой функции определяется интегралом га гДе го есть коРень поДкоРенного выРажениЯ (г ) Го есть классически доступная область движения). Вычти отсюда фазу го волновой функции свободного движения и положив г — г Оо, мы получим, по определению, величину бь При больших 1 зна- Пгр) = 2 (е ' '" — 1)е' (2) гч2~гй Интегрируя, находим полное сечение 4, г п=.~ Я, гьр=- ~ ~и „где по,=-о ж=- — зш~6,„.
е о ш=— Нетрудно убедиться в справедливости соотношения 1пг ПО) =. — т, '1~ 8Я выражающего собой оптическую теорему для двумерного случая (см. ниже формулу (125.9)). 2 124 ИООЛЕДОВАНИЕ ОВЩЕЙ ФОРМУЛЫ пение го тоже велико; поэтому во всей области интегрирования 11(г) мало, и мы получаем приближенно 1124.1) (1+ 1,12)' 6~ й2 о По порядку величины этот интеграл (если он сходится) равен т11(Р.)РР 1124.2) ьл' Порядок величины то есть ге 1/А'.
Если 0Я обращается на бесконечности в нуль, как г " с и > 1, то интеграл 1124.1) сходится и фазы б1 конечны. Напротив, при п < 1 интеграл расходится, так что фазы б~ оказываются бесконечными. Это относится к произвольным 1, так как сходимость или расходимость интеграла (124.1) зависит от поведения 11(г) при больших г, а на болыпих расстояниях (где поле Г(г) уже слабо) радиальное движение квазиклассично при любом 1. Как надо понимать формулы (123.11), (123.12) при бесконечных бп будет указано ниже.
Рассмотрим сначала сходимость ряда (123.12), представляющего полное сечение рассеяния. При болыпих 1 фазы б1 « 1, как это видно из 1124.1), если учесть, что Н1г) спадает быстрее, чем 1(г. Поэтому можно положить е1п б~ — б,, и, таким обра- 2 2 зом, сумма далеких членов ряда (123.12) будет порядка ~ 4>>11б~ . 2 Согласно известному интегральному признаку сходимости рядов следует, что рассматриваемый ряд сходится, если сходится интеграл ) об~2 ец.
Подставив сюда (124.2) н заменив 1 на Иге, получим интеграл т~2(го) ГЕЕЬ,. Если БЯ спадает на бесконечности, как г " с п > 2, то этот интеграл сходится, и полное сечение конечно. Напротив, если поле 0Я убывает, как 1~г2, или еще медленнее, то полное сечение оказывается бесконечным. Физически это связано с тем, что при медленном убывании поля с расстоянием вероятность рассеяния на малые углы становится очень больп|ой. Напомним в этой связи, что в классической механике во всяком поле, обращающемся в нуль только при г — э ОО, частица, проходящая на любом сколь угодно большом, но конечном, прицельном расстоянии р, все же испытывает отклонение на некоторый малый, упРуГие столкновения ГЛ ХЧП но отличный от нуля угол; поэтому полное сечение рассеяния оказывается бесконечным при всяком законе спадания У(г) ').
В квантовой механике такое рассуждение неприменимо уже потому, что говорить о рассеянии на некоторый угол можно лигпь при условии, чтобы этот угол был велик по сравнению с неопределенностью в направлении движения частицы. Если же прицельное расстояние известно с точностью до глр, то тем самым создается неопределенность 6,1Ьр в поперечной компоненте импульса, т. е. неопределенность 6/(тесхр) в угле. Ввиду большой роли, которую играет рассеяние на малые углы при медленном законе убывания 11'(г), естественно возникает вопрос нс будет ли расходиться амплитуда рассеяния у'(О) при 0 = О даже при бг(г), убывающем быстрее чем 1/Г2.
Положив в (123.11) 0 = О, получаем для далеких членов суммы выражение, пропорциональное ~;~>> 1бь Рассуждая как в предыдущем случае, приходим при отыскании критерия конечности суммы к интегралу расходяп1емуся уже при с1(г) ж 1. " (и < 3). Таким образом, амплитуда рассеяния обращается в бесконечность при 0 = О (и < 1) в полях, спадающих как 1(г" или медленнее. Наконец, остановимся на случае, когда сама фаза д1 бесконечна, что имеет место при С(г) сю 1 "(и < 1).
Заранее очевидно из полученных выше результатов, что при таком медленном убывании поля будет бесконечным как полное сечение, так и амплитуда рассеяния при 0 = О. Остается, однако, вопрос о вычислении 1(0) для 0 ~ О. Прежде всего заметим, что имеет место формула ') (21 + 1)Р1(сов О) = 4д(1 — сов О). (124.3) ь=-в Другими словами, при всех 0 у= О эта сумма равна нулю. Поэтому в выражении (123.11) для аълплитуды рассеяния можно при 0 ф О ) Это проявляется в расходилюсти интеграла 1 2хр ор, которым определяется в классической механике полное сечение.
Эта формула представляет собой разложение б-функции по полиномам Лежандра и непосредственно проверяется умножением с обеих сторон на е1пВР1(сове) и интегрированием по пй. При этом интеграл 1г б(х) ох от е четной функции б(я) принимается равным 1/2. ~ 125 УОЛОВИЕ УНИТАРНООТИ ДЛЯ РАООЕЯНИЯ опустить единицу в квадратных скобках в каждом члене суммы, так что останется г" (0) = — ~(21+ 1)Рг(сов 0)е~ыг.
~=о (124. 4) Если умножить правую часть равенства на постоянный множитель ехр( — 2гее), то это не скажется на сечении, определяемом квадратом модуля ~ ((О) ~~, а фаза комплексной функции 1(0) изменится лишь на несущественную постоянную. С другой стороны, в разности дг — Бе выражений (124.1) расходящийся интеграл от гу'(г) сокращается и остается некоторая конечная величина. Таким образом, для вычисления амплитуды рассеяния в рассматриваемом случае можно пользоваться формулой 1(0) = — ~~г (21+ 1)Рг(сов 0)е~й~' 2гй ~=о (124.5) й 125.
Условие унитарности для рассеяния Амплитуда рассеяния в произвольном (не обязательно центральном) поле удовлетворяет определенным соотношениям, являющимся следствием некоторых общих физических требований. Асимптотический вид волновой функции на больших расстояниях при упругом рассеянии в произвольном поле Егйтпп' + У(П Пг)сгйг (125.1) Г(п)Р' "пп Йо+ Г(п)1(п, и )г1о. Е (125.2) Эта форма записи отличается от (123.3) в том отношении, что амплитуда рассеяния зависит здесь от направлений двух единичных векторов вдоль направления падения частиц (и) и вдоль направления рассеяния (и'), а не только от угла между ними. Любая линейная комбинапия функций вида (125.1) с различными направлениями падения и тоже представляет некоторый возможный процесс рассеяния.
Умножив функции (125.1) на произвольные коэффициенты Г(п) и проинтегрировав по всем направлениям и (элемент телесного угла гго), напишем такую линейную комбинацию в виде интеграла 618 упРуГие стОлкнОВения ГЛ ХЧП 1Ь ПП' Поскольку расстояние т сколь угодно велико, множитель е' """ в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
