III.-Квантовая-механика (1109680), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Для системы частиц, движущихся в аксиально-симметричном поле, понятие вращения вокруг оси поля не имеет смысла так же, как не имеет смысла понятие вращения вокруг любой оси для системы в центрально-симметричном поле. ) По определению, й > О (подобно положительности квантового числа Л в двухатомных молекулах).
Напомним, что отрицательные значения числа й в случае двухатомных молекул могли возникать лишь в связи с тем, что й определялось как сумма Л + Е, причем Е могло быть (в зависимости от относительных направлений орбитального момента и спина) как положительным, так и отрицательным. 596 гл. хн| СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА (119.1) У=И, И+1, И+2,...
(см. (83.2)). Дополнительное ограничение возможных значений,У имеет место для ядер с П = О: в состояниях О~е и О число,У пробегает лишь четные значения, а в состояниях О и От нечетные (см. ~86). В частности, во вращательных уровнях основного терма четно-четных ядер (О'~) число У пробегает значения О, 2, 4,... Вращательная энергия ядра определяется формулой У яр — — —,У(,У + 1), (11 9.2) где У момент инерции ядра (относительно оси, перпендикулярной к его оси симметрии); эта формула соответствует аналогичному выражению теории двухатомных молекул (зависящий ) В сферических ядрах тем не менее оказывалось возможным определить величину 1 в результате совместного применения сохранения четности и момента.
складывается из проекций моментов нечетного нейтрона и нечетного протона (Й = (озр ж ы„!). Следует в то же время подчеркнуть, что нельзя говорить об определенных значениях проекций орбитального момента и спина нуклона. Дело в том, что хотя спин-орбитальная связь нуклона и мала по сравнению с энергией его взаимодействия с самосогласованным полем остова, но она не мала по сравнении> с расстояниями между соседними уровнями энергии нуклона в этом поле; между тем именно последнее условие требовалось бы для применимости теории возмущений, позволившей бы в хорошем приближении рассматривать раздельно орбитальный момент и спин нуклона') .
Перейдем к вращательной структуре уровней несферического ядра. Интервалы этой структуры малы по сравнению со спин-орбитальным взаимодействием нуклонов в ядре; такая ситуация соответствует случаю и теории двухатомных ллолекул (см. 383). Полный момент вращающегося ядра Л, разумеется, сохраняется. При заданном П его величина У пробегает значения, начинающиеся от й: 597 1 119 НЕСФЕРИЧЕОКИЕ ЯДРА от 7 член в (83.6)). Наиболее низкому уровню соответствует наименьшее возможное значение 7, т.
е. 7 = Й. В силу (119.2) вращательная структура уровней характеризуется определенными правилами интервалов, не зависящими (при заданном 11) от других характеристик уровня. Так, компоненты вращательной структуры основного герма четно-четного ядра (с,7 = 2,4, б, 8,... ) отстоят от наиболее глубокого уровня (,7 = 0) на расстояниях, относящихся как 1: 3, 3: 7: 12... Формула (119.2), однако, недостаточна для состояний с Й = 1/2, которое может иметь место у ядер с нечетным числом нуклонов.
В этом случае возникает сравнимый с (119.2) вклад в энергию, связанный со взаимодействием нечетного нуклона с центробежным полем врап1аюьцегося ядра. Его зависимость от 7 можно найти следующим образом. Как известно из механики (см. 1, 839), энергия частицы во вращающейся системе координат содержит дополнительный член, равный произведению угловой скорости вращения на момент импульса частицы. Соответствующий член в гамильтониане ядра можно представить в виде 26Кй, где Ь некоторая постоянная; К вЂ” вращательный момент остова ядра (ядро без последнего нуклона), а й — момент нуклона; последний надо понимать здесь в чисто формальном смысле (в действительности вектор момента нуклона в аксиальном поле ядра не существует), как оператор, аналогичный оператору спина 1/2, дающий переходы между состояниями со значениями проекции момента ~1/2 в соответствии со значением й = 1/2'). Поскольку К = Л вЂ” и, то собственные значения этого оператора 2ЬКп = 6[1(,У+ 1) — К(К+ 1) — -~.
Добавив сюда для удобства не зависящую от,7 постоянную Ь/2, найдем, что эта величина равна *61,7 + 1/2) при 7 = К ш 1/2. Это выражение ъюжно записать в виде ( — 1)~ 1726(,7+ 1/2), если учесть, что момент К остова (представляющего собой четно-четное ядро) являотся четным числом. Таким образом, ) Специфика случая й = 1/2 как раз и заключается в существовании матричных элементов возмущения энергии для переходов между состояниями, отличающимися лишь знаком проекции момента и потому относящихся к одинаковой энергии. Это приводит к появлению сдвига энергии уже в первом порядке теории возмущений.
рассматриваемое явление аналогично Л-удвоению уровней двухатомной молекулы с 11 = 1/2 (сьь 188). 598 гл. хн| СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА окончательно получаем следующее выражение для вращатель- ной энергии ядра с й = 1/2: Е,р — — —,7(п + 1) + ( — 1)~ О~5(У+ — ) (119.3) (А. ВОЬГ, В. МОПе1зоп, 1953). Отметим, что если постоянная Ь положительна и достаточно велика, то уровень с 1 = 3/2 может оказаться лежащим ниже уровня с и = 1/2, т.е. Может нарушиться нормальный порядок вращательных уровней, при котором низший уровень соответствует наименьшему возможному значению,7.
Момент инерции нссферического ядра не может быть вычислен как момент инерции твердого тела с заданной формой. Такое вычислснис было бы возможно лишь, если бы нуклоны, движущиеся в самосогласованном поле ядра, можно было рассматривать как непосредственно не взаимодействующие друг с другом. В действительности же явление спаривания приводит к уменыпению момента инерции по сравнению со значением, соответствующим твердому телу.
Магнитный момент и несферического ядра складывается из магнитного момента «неподвижного» ядра и из момента, связанного с вращением ядра. Первый направлен (после усреднения по движению нуклонов в ядре) вдоль оси ядра; обозначив величину этого момента как р', а единичный вектор вдоль оси ядра через и, напишем его в виде 1А'и. Магнитный же момент, связанный с вращением, направлен (послс того жс усреднения) вдоль вектора Л вЂ” Йп — полного механического момента ядра за вычетом момента нуклонов в «неподвижном ядрсь ') . Таким образом, и = 1А и + 8,(Л вЂ” Йп). Здесь я„есть гиромагнитный множитель вращения ядра. Поскольку вклад в магнитный момент при вращении дают только п отоны то Р 1Р ВГ (119.5) где 1„ и 1р нейтронная и протонная части момента инерции ядра (для системы из одних только протонов должно было бы быть просто яс = 1).
Отношение (119.5), вообще говоря, не совпадает с отношением У/А числа протонов к полной массе ядра. ') Такая форма записи может быть применена лишь прн й ф 1/2 (см. задачу 2). 599 3 119 нестеги хкокнв ядРА После усреднения по вращению ядра магнитный момент направлен по сохраняющемуся вектору Л; 9 = -"Л = (р' — ПЕ„) и+ д„Л. Как обычно, умножаело обе части этого равенства на Л и переходим к собственным значениям.
В основном состоянии ядра Й = Л в результате находим (119.6) Задачи 1. Выразить квадрупольный момент оо вращающегося ядра через квадрупольный момент Оо относительно связанных с ядром осей (А. ВоЬг, 195Ц. Р е ш е н и е. Оператор тензора квадрупольного момента вращающегося ядра выражается через Оо посредством 2 / 1 1гэ,о = — Яо (п,пь — — Аь) ~ 3 (,'' 3' это есть симметричный тензор с равным нулю следом, составленный из компонент единичного вектора и вдоль оси ядра, причем Я„= 17о. Усреднение по вращательному состоянию ядра проводится подобно решению задачи к 3 29 с тем только отличием, что п,.7, = П, а не нулю и приводит к выражению вида (75.2) с 3П~ —,7(7+ Ц (2,7 т 3) (,7 т Ц Для основного состояния ядра с й =,7 получим (2,7 — 1),7 (27 ч-3)(7-> Ц При возрастании 7 отношение ОЛЯо стремится к 1, но довольно медленно.
1 2. Определить магнитный момент в основном состоянии ядра с й = —. 2 Р е |п е н и е. В этом случае оператор магнитного момента может быть записан с помощью введенного в тексте оператора о в виде д = 2д'В+ к„х, Й = Л вЂ” а. Дальнейшее вычисление аналогично произведенному в тексте. Если основ- 1 1 ному уровню ядра отвечает значение 7 = — (при этом число К =,7 — — = 0), 2 2 3 то получается д = д'. Если же в основном состоянии 7 = — (при этом 2 1 9 3 К =,7 + — = 2), то д = — И,. — — д'. 2 5 5 3.
Определить энергии нескольких первых уровней вращательной структуры основного состояния четно-четного ядра,имею|цего симметрию трехосного эллипсоида. боо гл. ху| СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА Р е ш е н и е. Основному состоянию четно-четного ядра соответствует наиболее симметричная волновая функция Анеподвижногод ядра, т. е. функция с симметрией, отвечающей представлению А группы Ауз. Имеется по- ,7 У вЂ” 1 этому всего — т 1 (при четном д) или (при нечетном д) различных 2 2 уровней при заданном значении д.
Для д .= 2 они даются полученной в задачах к 3 103 формулой (7), а для д = 3 — формулой (8). 8 120. Изотопическое смещение Специфические свойства ядра (конечная масса, размеры, спин), отличающие его от неподвижного точечного центра кулонова поля, оказывают определенное влияние на электронные уровни энергии атома. Одним из таких эффектов является так называемое изотояическое смещение уровней изменение энергии уровня при переходе от одного изотопа данного элемента к другому.
Фактически, конечно, представляет интерес не изменение энергии одного уровня, а изменение разности двух уровней, наблюдаемой в виде спектральной линии. По этой причине фактически надо рассматривать не энергию всей электронной оболочки атома в целом, а лишь ту ее часть, которая связана с электроном, участвующим в данном спектральном переходе. В легких атомах основным источником изотопического смещения является эффект конечности массы ядра. Учет движения ядра приводит к появлению в гамильтониане атома члена 2(К) где ЛХ масса ядра, а р,. импульсы электронов'). Поэтому связанное с данным эффектом изотопическое смещение находится как среднее значение (120.1) вычисленное по волновой функции данного состояния атома (ЛХп ЛХ2 -массы ядер изотопов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
