III.-Квантовая-механика (1109680), страница 123
Текст из файла (страница 123)
3) ) . Классический угол отклонения частицы можно оценить как отношение поперечного приращения импульса Ахр за «время столкновенияа т р/и к первонаеальному импульсу тп. Сила, действующая в поле 17(г) на частицу на расстоянии р, есть Р = — сШ1р))с1р, поэтому Ахр Рр)и, так что 0 рР)ти . Эта оценка справедлива строго лишь, если угол 0 « 1, но по порядку величины ее можно продлить и до 0 1.
Подставив это выражение в (127.8), получим условие квазиклассичности рассеяния в виде ГЛ ХЧП УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 1вычисление интеграла — ср. задачу б к 3 126). Заменив суммирование в 1123.12) интегрированием, запишем 41Г сг = —.
71 21 зш бгд1. о После подстановки бг =- и и интегрирования по ди по частям интеграл приводится к Г-функции. В результате получим 2 2 сг=21гн 1зш[ — ( — — — )]Г( — — ) [ — — — — — ] ( — ) 12) 1при и = 3 раскрытие ноопредслонности дает а = 2л~о сбо). Условие применимости этого результата заключается прежде всего в том, чтобы при бг 1 было 1 » 1: отсюда получаем неравенство тоу ~сс6~ >> 1.
Еще одно условие возникает из требования, чтобы поле Б1Г) имело рассма- триваеъгый вид уже на расстояниях т 1Дс 1то,с6 Й) Д" Ц из соотношения бг 1), которые играют основную роль в интеграле 11). Если этот вид достигается лигпь на расстояниях г » а 1где а — характерные размеры поля), то отсюда возникает условие тсгД6 йа ) » 1, устанавливающее верхний предел допустимых скоростей. Напомним, что в этом случае при достаточно больших скоростях 1при условии та,с6 йа « « 1) имоет место зависимость а со 6 о 1ср. задачу 5 3 126). 2. Найти угловое распределение рассеяния вблизи точки экстремума классического угла рассеяния О1р) как функции прицельного расстояния р = 1,16.
Р е ш о н и е. Наличие экстремума функции О11) при некотором 1 = 1о означает, согласно 1127.3), что фаза бг вблизи этой точки имеет вид 2бг = 2бго + Оо1 + 1 3 где Оо = О1с1о), 1с = 1 — 1о 1сснова выбираом для определенности случай нижнего знака в 1127.3)); постоянная о < О или О > О соответственно в случаях мак- симума или минимума функции О11).
Для амплитуды рассеяния получаем, вместо 1127.6)1 $11О)$ = — ( ) / ехр ~1( — 1 О + — 1~) ) д1 где Ог =- Π— Оо. Выразив интеграл через функцию Эйри, согласно 1Ь.3), найдем окончательно для сечения рассеяния 1 — „,",фо (-, о) дО'. 1 ) Этот тип рассеяния встречается в теории радуги, и его называют поэтому радужным рассеянном.
3 128 АНАЛИТИЧЕОКИЕ ОВОЙОТВА АМПЛИТУДЫ РАООЕЯНИЯ 635 Дифференциальное сечение Жт/40' затухает в глубь классически недоступной области рассеяния 10' > О при о < О или 0' < О при о > 0), а по другую сторону от точки 0' .= О испытывает колебания между нулем и постепенно убывающей амплитудой. Его максимальное значение достигается при 0'о '2~ = 1, 92; Ф = 0,90. 3.
Найти угловое распределение квазиклассического рассеяния на малые углы, если классический угол отклонения В обращается в нуль при некотором конечном значении р = 12/Й. Р с ш е н и е. Предположенная квазиклассичность рассеяния в рассьгатриваемом случае означает, что 12 >) 1 и 6а )> 1, Тогда в рассеянии существенны значения 1, близкие к 12. При малых В =- 1 — 1а имеем 6~ --6а+ — 1 В ~2 2 (тогда, согласно (127.3), В = О при В = О). Это выражение надо поставить в (127.Ц, причем Р~ (сов В) может быть представлено в виде (49.6). Суммирование по 1 снова заменяется интегрированием по п1~ вокруг точки 1~ = О ): 1" =- — ехр(226а) / Ле(10) ехр1201 )Ж'. Интеграл определяется областью 1' В '2~. Для углов 0 << У'В можно вынести функцию 62110) из-под знака интеграла, заменив ее значением при 1 = 12.
Оставшийся интеграл вычисляется, как объяснено в тексте. В результате находим для сечения ) В = — — 62 1120) 6 . х10 2 р 2 0 Аналогичный результат получается для сечения рассеяния на углы, близкие к х, если классический угол рассеяния обращается в х при некотором конечном 1отличном от нуля) значении р.
3 128. Аналитические свойства амплитуды рассеяния Ряд важных свойств амплитуды рассеяния может быть установлен путем изучения ее как функции энергии рассеиваемой частицы Е, формально рассматриваемой как комплексная переменная. Рассмотрим движение частицы в поле 7ЛТ), достаточно быстро обрап1ающемся на бесконечности в нуль, требуемая степень быстроты убывания будет указана ниже. Для упрощения последующих рассуждений будем сначала считать, что орбитальный момент частицы 1 = О.
Напишем асимптотический вид ') Строго говоря, к атой амплитуде следует добавить член, отвечающий вкладу в рассеяние на малые углы от прицельных расстояний р — 2 со. Этот вклад, однако, вообще говоря, мал по сравнению с написанным. г ) Этот тип рассеяния называют сиянием в связи с определенными метеорологическими явлениями, в геории которых он встречается.
гл хуп УПРУГИЕ ОТОЛКНОВЕНИЯ т = тф = А(Е) ехр( — У "и г) + В(Е) ехр(У "и г), (128.1) и будем рассматривать Е как комплексную переменную; будем при этом определять уà — Е как положительную величину при вещественных отрицательных зна Гениях Е. Волновая функция предполагается нормированной каким-либо определенным условием, скажем, условием л (0) = 1. На левой части вещественной оси (Е < 0) экспоненциальные множители в первом и втором членах в (128.1) вещественны; один из них убывает, а другой возрастает при г — ~ оо.
Из условия вещественности т следует, что функции А(Е) и В(Е) вещественны при Е < 0; в свою очередь отсюда следует, что эти функции имен>т комплексно сопряженные значения в любых двух точках, расположенных симметрично относительно вещественной оси: А(Е*') = А*(Е), В(Е*) = В*(Е). (128.2) Совершая переход с левой вещественной полуоси на правую полуось через верхнюю полуплоскость, мы получим асимптотическое выражение для волновой функции при Е > 0 в виде У'2тЕ л т = А(Е)е'~" + В(Е)е (128.3) Если же произвести переход через нижнюю полуплоскость, то мы получим бы у = А" (Е)е 'ьГ + В" (Е)е'ЕГ' Поскольку т должна быть однозначной функцией Е, это значит, что А(Е) = В*(Е) при Е > 0 (128 А) (это соотношение следует также и непосредственно из вещественности у при Е > 0). Однако, благодаря неоднозначности корня у' — Е в (128.1), сами коэффициенты А(Е) и В(Е) неоднозначны.
Для устранения этой неоднозначности разрежем комплексную плоскость вдоль правой вещественной полуоси. Наличие разреза делает однозначным у' — Е и тем самым обеспечивает однозначность определения функций А(Е) и В(Е). При этом на верхнем и нижнем краях разреза эти функции имеют комплексно сопряженные значения (в выражении (128.3) А(Е) и В(Е) берутся на верхнем краю разреза). волновой функции решения уравнения Шредингера с 1 = 0 для произвольного заданного значения Е в форме э 128 АНАЛИТИЧЕОКИЕ ОВОЙОТВА АМПЛИТУДЫ РАООЕЯНИЯ 637 ехр( — гйе ъ' — Е). (128.6) Если это условие выполняется для любого Не ъ/ — Е ) О, т.е.
если с1(г) убывает быстрее, чем (128.6а) с любой положительной постоянной с, асимптотическое выражение вида (128.1) справедливо на всем физическом листе. Будучи решением уравнения с конечными коэффициентами, оно не имеет особенностей по Е. Это значит, что функции А(Е) и В(Е) регулярны на всем физическом листе, за исключением точки Е = О; последняя, будучи точкой начала разреза, является точкой разветвления этих функций.
Везде ниже в атом параграфе мы изучаем свойства амплитуды рассеяния на физическом листе. В дальнейшем, однако, нам придется в некоторых случаях рассматривать также и второй, нефпзочесеий лист римановой поверхности (см. З 134). Па этом листе Ке Уг — Е < О. (128,8 а) Переход с правой полуоси на нефизический лист осуществляется непосредственно вниз, через разрез. Разрезанную указанным образом комплексную плоскость будем называть физическим листом римановой поверхности.
Согласно принятому нами определению на всем этом листе имеем Ве ту — Е ) О. (128.5) В частности, на верхнем краю разреза определенный таким образом тг — Е переходит в — ту'Е ') . В (128.3) множители е'"' и е 'ь", а с ними и оба члена в одинакового порядка величины; асимптотическое выражение вида (128.3) поэтому всегда законно. На всем же остальном физическом листе первый член в (128.1) экспоненциально затухает, а второй. возрастает при г — з со (ввиду (128.5)). Поэтому оба члена в (128.1) оказываются различного порядка величины и это выражение, как асимптотическая форма волновой функции, может оказаться незаконным — малый член в нем на фоне болыпого может оказаться недопустимым превыпгением точности.
Для законности выражения (128.1) отно|пение малого члена к большому не должно быть меньше относительного порядка величины потенциальной энергии (Г/Е), которой пренебрегают в уравнении Шредингера при переходе к асимптотической области. Другими словами, поле 1у(г) должно удовлетворять условию: 11(г) убывает при т — 1 оо быстрее., чем УПРУГИЕ СГОЛКИОВЕНИЯ ГЛ ХЧП Связанным состояниям частицы в поле 77(т) соответствуют волновые функции, обрагцаюгциеся при т — ~ оо в нуль. Это значит, что второй член в (128.1) должен отсутствовать, т. е, дискретным уровням энергии соответствуют нули функции В(Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
