III.-Квантовая-механика (1109680), страница 125
Текст из файла (страница 125)
2т Е -~- ~Ео) (128.17) 8 129. Дисперсионное соотношение (129.1) будем рассматривать его формальным образом как волновое уравнение с правой частью, т.е. как известное из электродинамики уравнение запаздывающих потенциалов. Решение этого уравнения, описывающее «излучение в некотором направлении 1«' на больших расстояниях лто от центра, имеет, как известно, следующий вид (см.
П, '2 66): ЕЛО Г расс — 2 1. (129.2) В предыдущем параграфе мы изучали аналитические свойства парциальных амплитуд рассеяния с заданными значениями 1. Мы видели, что эти свойства осложняются возможностью появления «лишниха особенностей и нерегулярности на бесконечности. Такими же свойствами обладает, очевидно, и полная амплитуда, рассматриваемая как функция энергии при заданных значениях угла рассеяния.
Исключение представляет, однако, амплитуда рассеяния на угол нуль. Как мы сейчас покажем, ее аналитические свойства значительно проще. Написав уравнение Шредингера для волновой функции рассеиваемой частицы в виде 3 129 ДИОПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ В данном случае это выражение представляет собой волновук> функцик1 рассеянной частицы и коэффициент при е' Ве/1то есть амплитуда рассеяния 1(д, Е). В частности, положив 1с' = 1с (1с волновой вектор падающей частицы), получим амплитуду рас- сеяния на угол О: 1'(О,Е) = —, Ще '~'сЛ' (129.
3) (ось е направлена вдоль 1с). Это выражение имеет, конечно, лишь формальный смысл, поскольку в подынтегральное выражение снова входит неизвестная волновая функция. Оно позволяет, однако, сделать определенные заключения об аналитических свойствах величины 1'(О, Е) как функции энергии Е ') . Функция ф под знаком интеграла состоит при больших т из двух частей. - падающей и расходящейся волн. Последняя пропорциональна е' ', так что соответствующая часть интеграла содержит в подынтегральном выражении е'~~" '). С другой стороны, при переходе в комплексную плоскость (с верхнего края разреза вдоль правой полуоси) г)с заменяется на, — ~à — 2тЕ/6, причем на всем физическом листе Ке хгг — Ё > О.
Поскольку г > е, то Ке [г)с(г — е)) ( О и интеграл сходится при любом комплексном Е. Что касается падающей волны в гр, пропорциональной е' ', то в соответствующей части интеграла экспоненциальные множители вообще сокращаются, так что и эта часть сходится. Функция г) в интеграле (129.3) однозначно определена при любом комплексном Е как решение уравнения Шредингера, содержащее, помимо плоской волны, лишь затухающую (при г — + -э оо) часть.
Поэтому однозначно определен и весь сходящийся интеграл (129.2), так что его особенности могут возникать только в результате обращения 1Р в бесконечность. Последнее имеет место в дискретных уровнях энергии') . ') Подразумевается, конечно, что поле Ю(г) убывает при г — г сю достаточно быстро для того, чтобы 1"(О, Е) (при Е > О) вообще существовало (см. 3 124). ~) Во избежание недоразумений подчеркнем, что здесь речь идет о полной волновой функции системы р,нормированной условием равенства единице коэффициента при плоской волне в ее асимптотическом выражении (ср.
(123,3)). В предыдущем же параграфе рассматривались части ф~) волновой функции, отвочающие определенным значениям 1, причем ф~ предполагались нормированными каким-либо произвольным условием. Если разложить полную функцию у1 по функциям ~~, то последние войдут в р с коэффициентами, пропорциональными 1/Вп так, функция (128.3) с 1 = 0 644 гл хуп УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ Легко видеть также, что у(0, Е) остается конечной при )Е) — э со.
При больших (Е( в уравнении Шредингера (129.1) можно пренебречь членом с Г, так что в гр остается лишь плос- кая волна; гр е'"'. В результате интеграл 1129.2) переходит в ДО, оо) = —, ГсЛТ, что совпадает, как и следовало, с борновской амплитудой (126.4) рассеяния на угол 0 (9 = 0); обозначим ее через 1В(0). Таким образом, мы приходим к выводу, что амплитуда рас- сеяния на угол 0 регулярна на всем физическом листе (в том числе на бесконечности), за исклк>чением лишь обязательных полюсов на левой вещественной полуоси в дискретных уровнях энергии ').
Рассмотрим интеграл 1 / ПО Е) — 1'в (129.4) 2хг / Е' — Е с взятый по изображенному на рис. 46 контуру, состоящему из бес- конечно удаленной окружности и обхода вокруг разреза вдоль правой полуоси. Интеграл по — ® окружности обращается в нуль, посколь- Г ку 1(0, со) — 1В = О. Интегрирование же е х1 по обеим сторонам разреза дает 'Е Е со '-' " С- 1 1 1го У(О,Е') — дЕ; / Е' — Е о здесь учтено, что по принятому в 8128 определению физическая амплитуда рассеяния для вещественных положительньгх значений Е задается на верхней стороне разреза, а на нижней стороне имеет комплексно сопряженное значение.
С другой стороны, согласно теореме Коши интеграл (129.4) равен сумме ДО, Е) — ун и вычетов Лв подынтегрального вы- ражения во всех полюсах Е' = Е„функции у(0, Е')((Е' — Е), должна войти в Ф в виде — 1(А -У В)е'ь" — 2гВгйп хг). г В Поэтому ф обращается в бесконечность в нулях функций В~(Е), т. е. в дискретных уровнях энергии. ) Идея изложенного доказательства принадлежит Л.Д. Фаддееву (1958). г 130 АмплитУДА РАсоеЯниЯ В импУльснОм ЛРеДОтАВлении 645 где Е„. — дискретные уровни анергии; эти вычеты определяются с помощью формулы (128.17) и равны ЕгАг с1„= — ( — 1)'"(21„+ 1) '" ~129.5) (1„- момент состояния с энергией Е„). Таким образом, получаем Лп,г)=г + — 1'; ' гз'АА " . (ггг ° ) 0 В Это так называемое дисперсионное соотношение определяет 1(0, Е) в любой точке физического листа, по значениям ее мнимой части при Е > 0 (АА ЯопД, 1957; Х Х К1гигг, 1957).
Когда точка Е устремляется к верхней стороне разреза, интеграл вдоль вещественной оси в (129.6) должен быть взят, обходя полюс Ь' = Е снизу; если произвести этот обход по бесконечно малой полуокружности (рис.47), то соответствующая Рис. 47 часть интеграла даст в правой части уравнения (129.6) величину г1пг 7'10,Е), а остающийся интстрал от О до со должен пониматься в смысле главного значения. В результате получим формулу (129.
7) определяющую при Е > 0 вещественную часть амплитуды рассеяния на угол 0 через ее мнимую часть. Напомним, что последняя, согласно (125.9), непосредственно связана с полным сечением рассеяния. й 130. Амплитуда рассеяния в импульсном представлении В понятии об амплитуде рассеяния фигурируют только направления начального и конечного импульсов рассеиваемой частицьь Естественно поэтому, что к этому понятию можно гл хуп УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ вЂ” — Ьф(г) + [б'(г) — Е)ф(г) = О, (130.1) перейдя от координатных волновых функций к импульсным, т. с. к фурье-компонентам а(с1) = чд(г)е гч дт'.
(130.2) Обратно Нз зд(г) = а(с1)е'ч' (130.3) (2к) з Умножим уравнение (130.1) на е 'ч" и проинтегрируем его по сз1'. В первом члене после двукратного интегрирования по частям получим е и"сзчп(г) сзз' = ф(г)Ье 'и'ЙЪ' = — с1 а(с1). Во втором члене, подставив в него ф(г) в виде (130.3), получим Г ~в Б(г)з1з(г)е 'и'ЙЪ' = Ю(г)е 'и'а(с1)ечч "НЪ' ~1(Ч- Ч')а(Ч') ""„ (2я)з ' где о'(с1) фурье-компонента поля о'(г) '): Г(с1) = бг(г)е 'и сз1'. Таким образом, уравнение Шредингера в импульсном представлении принимает вид ("' — ь) (ч)ч 1 п(ч — ч') (ч')' ', =ч. (1зч.з) ) Для удобства обозначений пишем и в виде аргумента фурье-компоненты вместо индекса.
прийти и при формулировке задачи о рассеянии в импульсном представлении, где вопрос о пространственном распределении всей картины процесса вообп1с не ставится. Покажем, как это делается. Прежде всего преобразуем к импульсному представлению исходное уравнение Шредингера ~ 130 АмплитудА РАсоеяния В импульснОм пРедотАВлении 647 Обратим внимание на то, что это уравнение -- интегральное, а не дифференциальное.
Представим волновую функцию, описывающую рассеяние частиц с импульсом сс1с, в виде фй(г) = е' " + Хи(г), (130. 5) гДе Хк(г) фУнкпиЯ, имеюЩаЯ асимптотичсски (пРи г — Р оо) вид расходящейся сферической волны. Ее фурье-компонента ай(с1) = (2Я)~о(Ч вЂ” 1с) + Хь(Ч), (130.6) и подстановка в (130.4) приводит к следующему уравнению для функции Хй(с1) '); й~ Г „г (к с1 )Х1с(Ч) сг (Ч )с) + сг (Ч Ч )Х1с(Ч ) (130 7) Тем самым устраняется особенность при с) = й в коэффициен- 2,2 тах уравнения (130.7) и оно принимает вид Член г0 (обозначающий предел гб при 6 — > +О) введен в определение (130.8) для придания определенного смысла интегралу в (130.9): им устанавливается способ обхода полюса с)' = й /2 2 (ср.
343). Покажем, что именно такой способ обхода отвечает требуемому асимптотическому виду функции 2сп 1 6'(а, Ч)е"с" сг~д й' „/ ' — ь'- 0(2)" (130. 10) ДлЯ этого пишем сс д = с1 с(ус(оч и пРоизводим пРежДе всего интегРиРование по с(оч по напРавлениЯм вектоРа Ч относительно г. Интегрирование такого вида уже производилось при ') По свойствам 6-функцин произведение (4~ — е~)6(Ч вЂ” к), бутучн умножено на произвольную функцию т(Ч) (не имеюпего особенности при 4 = й) и 3 г~ проннтегрнровано по д о, дает нуль.
В атом смысле произведение (о — е ) х х 6(ч — 1с) = О. Это уравнение целесообразно преобразовать, введя вместо Хй(Ч) другую неизвестнук> функцию, согласно определению, (130. 8) гл хуп УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ преобразовании первого члена в (125.2); оно приводит (в области больших г) к выражению 2т 2яг 1 ГОс, уп')е'г" — РОс, — уп')е 'г" у ссу х () = -у —,1~ о (где и' = г(г) или ст ) ГДс,уп')е*' уссу Х1с~Г! г г г г 2яйг / у — й — го Подынтеграчьное выражение имеет полюсы в точках у = = й + гО и у = — й — гО, которые обходятся при интегрировании (в плоскости комплексного д) соответственно снизу и сверху (рис. 48 а). Сместим несколько путь интегрирования в верхнюю полуплоскость, заменив его прямой линией, параллельной вещественной оси, и замкнутой петлей, охватывающей полюс д = Й (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
