III.-Квантовая-механика (1109680), страница 128
Текст из файла (страница 128)
Постоянную величину сг называют длиной рассеяния; она может быть как положительной, так и отрицательной. Б изложенных рассуждениях молчаливо подразумевалось, что поле Г(т) убывает на больших расстояниях (л » а) достаточно быстро для того, чтобы сделанные пренебрежения были законными. Легко выяснить, какова иъленно должна быть требуемая быстрота убывания У(т). При больших т второй член в функции Л1 (132.3) ълал по сравнению с первым. Для того чтобы его сохранение было тем не менее законным, оставленные в уравнении (132.2) малые члены сзл1т'тлт2 должны быть все же велики по сравнению с членом УЛ~ (7слл., опущенным при переходе от (132.1) к (132.2).
Отсклда следует, что 11(т) должно 660 гл хуп упРуГие отолкнонвния убывать быстрее, чем 1~гт~тз, для того чтобы был справедливым закон (132.8) для парциальной амплитуды ~ь В частности, вычисление Д, а потому и результат (132.9) о не зависятцем от энергии изотропном рассеянии справедливы лишь при более быстром, чем 1/гз, убывании Ю(г) на больших расстояниях. Если поле бГ(г) убывает на больших расстояниях по экспоненциальному закону, то можно сделать определенные заключения о характере дальнейших членов разложения амплитуд А по степеням 1с. Мы видели в 8 128, что в этом случае амплитуда ПП рассматриваемая как функция комплексной переменной Е, вещественна при вещественных отрицательных значениях Е ') .
То же самое относится поэтоелу и к функции 81 (Е) в выражении (125.15) 1 Л= (при Е < 0 гй вещественно). С другой стороны, функция д(Е) вещественна (по ее определению) при Е ) О. Таким образом, функция 81(Е) оказывается вещественной при всех вещественных Е, а потому должна разлагаться по целым степеням Е, т. е. по четным степеням и. О самой же амплитуде ~~(а) можно, следовательно, сказать, что она разлагается по целым степеням тй;.
все члены с четными степенями Й вещественны, а члены с нечетньГели степенями й мнимы. Согласно (132.8) разложение П(7с) начинается с члена б~ф сю й 1; соответственно этому разло- 26 жение 81(1с) начинается с члена, пропорционального 1с При убывании поля на больших расстояниях по степенному закону 5à — Дг " с п < 3 результат (132.9) о постоянной амплитуде, как уже было указано, несправедлив. Рассмотрим ситуацию, возникаюшую при различных значениях п. Для п < 1 при достаточно малых скоростях, практически при всех значениях прицельного параметра р выполняется условие (132.11) Ф51(й ) йн и потому рассеяние описывается классическими формулами (ср, условие (127.9)).
При 1 < и < 2 неравенство (132.11) выполняется в значительной области не слишком болыпих р; соответственно этому оказывается классическим рассеяние на не слишком малые углы. ) При малых Е условие (128.6) выполняется уже для убывания П по закону е 3 132 РАООЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ В то же время существует область значений р, для которых Ф(у(й «йп, (132.
12) т.е. выполняется условие применимости теории возмущений (ср. (126.2)). При п > 2 иа больших расстояниях имеет место неравенство (132. 13) ~Ц« и поэтому вклад в рассеяние, возникающий от взаимодействия иа этих расстояниях, может быть вычислен с помощью теории возмущений (в то время как на более близких расстояниях условие применимости теории возмущений может и ис выполняться)') .
Пусть ге есть такое значение г, что при г» го имеет место неравенство (132.13), и в то же время ге « 1/к. Вклад в амплитуду рассеяния от области расстояний г » го, согласно (126.12), дается интегралом 2пгф 1 1 мпег 2,1 2пгд и — 3 ~ э1пб,(~ (132 14) бг г бг ч / е иге При 2 < п < 3 этот интеграл сходится иа нижнем пределе и для малых скоростей ()сто « 1) можно заменить этот предел нулем, так что интеграл оказывается пропорциональным д т.е. отрицательной степени скорости. Этот вклад в амплитуду является, следовательно, в данном случае основным, так что гс,с,1 — (3 — и) 2 < гг < 3 (132.15) Тем самым определяется зависимость сечения рассеяния от скорости частиц и от угла рассеяния. При п = 3 интеграл (132.14) расходится логарифмически иа нижнем пределе. При этом ои все еще является главной частью амплитуды рассеяния, так что у'со1п ', п=3.
(132.16) о При п > 3 вклад от области г» ге убывает при й — э 0 и рассеяние определяется постоянной амплитудой (132.9). Однако вклад (132.14) в амплитуду рассеяния, несмотря иа свою ) Рассеяние при малых скоростях нигде не становится в этом случае квазиклассическим, так как неравенство (132.11) оказывается несовместимым с одновременно требуемым условием )бг(р) ~ < Е. 662 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХЧП относительную малость, и в этом случае представляет определенный интерес в силу его «аномальностиж «Нормальной» ситуацией при достаточно быстром убывании бг(т) является разложимость у(й) по целым степеням й, причем все вещественныс члены разложения оказываются пропорциональными четным степеням Й.
Между тем, взяв интеграл (132.14) несколько раз по частям (понижая при этом степень < в знаменателе), мы выделим из него часть, содержащую четные степени й, после чего останется сходящийся при ото — э 0 интеграл, пропорциональный степени й" 3, которая, вообще говоря, не является четной ') .
Задачи 1. Определить сечение рассеяния медленных частиц сферической прямоугольной потенциальной ямой глубины «те и радиуса а. Р е ш с н и е. Волновой вектор частицы предполагается удовлетворяющим условиям йа « 1 н й «»г, где»« = ут2тУо/6. Нас интересует только фаза бе. Поэтому полагаем в уравнении (132.1) 1 = 0 и получаем для функции У =-1 йе1т) уравнение Х«+»«~У = 0 при т < а. Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при т = 0 1Х(т должно быть коночным при т = 0), есть Х й АВ1п««г, т < а. При г > а функция У удовлетворяет уравнению У й й Х = 0 (уравнение (132.4) с 1 =- 0), откуда Х = Ваш(йт+ ба), т > а.
Условие непрерывности Х'/Х при т = а дает й и сгя а»г = й сс31йа й бо) 1«а -~- бо откуда определяем бе. В результате для амплитуды рассеяния получим ) 1' =- йб на — 1са Прн на «1 (т.е. Пе «6~/тиа ) эта формула дает а =- (4/9)ха~1»га)~ в согласии с результатом борновского приближения (см. задачу 1 3 126). 2. То же для рассеяния на прямоугольно»1 сферическом «потенциальном горбе» высоты По. Р е ш е н н е получается из решения предыдущей задачи заменой 11е на — с1 (в связи с чем надо заменить и на 1«м).
Амплитуда рассеяния ГЬ ма — ма ) Если п — нечетное целое число (и = 2р+ 1), то и — 3 =- 2р — 2 есть четное число. Тем не менее интеграл (132,14) имеет н в этом случае «аномальную» часть, давая вклад в амплитуду рассеяния, пропорциональный д Р 1пд. ~) Эта формула становится неприменимой, если ширина и глубина ямы таковы, что ««а близко к нечетному кратному от я/2. При таких значениях »«а среди дискретного спектра отрицательных уровней энергии имеется уровень, близкий к нулю (см. задачу 1 3 33),и рассеяние описывается формулами, которые будут получены в следующем параграфе.
663 3 132 РАООеяние медленных чАОтиц В предельном случае гга » 1 имеем г = — а сг = 4гга У Этот результат соответствует рассеянию от непроницаемой сферы радиуса а; отметим, что классическая механика дала бы величину, в четыре раза меньшую (о =. гга ). 3. Определить сечение рассеяния частиц с малой энергией в поле Н = а,гг", а > О, и > 3. Р е ш е н и с. Уравнение (132.1) с 1 = О есть Агг2то 'у = 6 Подстановками .=-' -...=(, "„)'Др О оно приводится к виду 1 = , 4-- — — [1+,,1у =О, [ (и 2)глг1 т.е,к уравнению для функции Бесселя порядка 1Г(и — 2) от мнимого аргумента ге. Решение, обращающееся в нуль при г = О (т.е.
при л = оо), есть, с точностью до постоянного множителя, ;„ггГ 2г"à — г — гНг С помощью известных формул гР Н~Г '(г) = ге р у (з) —,У (г)], з (г) щ, г << 1, гйп ргг ' 2РГ(1 4- р) получаем для функции т на больших расстояниях (ч « г « 1гй) выражение вида т — — сопзг (сгг-'гсг) и по отношению сгГгсг находим амплитуду рассеяния У=в =-( !""" у ') Г[(и — 3)гг(и — 2)] и — 2! Г[(и — 1)гг(и — 2)] 4. Определить амплитуду рассеяния медленных частиц в поле, убывающем на больших расстояниях по закону Н = Ог " (2 < и < 3). Р е гп е н и е. Главный член в амплитуде рассеяния дается выражением (132.14), в котором нижний предел интеграла можно заменить нулем.
Вычисление интеграла приводит к результату: гии;9 -з — 2« 3, (1) 6г Г(и — 1) соз(ти,г2) и при и = 3 2тг3 сопзг (2) Разложив (1) по полиномам Лежандра, можно получить парциальныо амплитуды рассеяния (определенные согласно (123.14)) ,/~тб Г[(и — 1)гг2]Г[1 — (и — 3)гг2] „з 26г Г(игг2)Г[(и-~ 1)гг2+ 1] 664 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХНП При и > 3 та же формула (1) определяет «аномальную» часть амплитуды рассеяния. В парциальных же амплитудах величина (3) всегда является основной для таких значений 1, для которых 21 > и — 3; вместо (132.8) имеем при этом 17 со е 5.
Определить алшлитуду рассеяния медленных частиц в поле ПГт) = — Пс ехр( — Г,Га), Па > О. Р е ш е н и е. После замены переменной х =- 2а»«е "Г ", и =- »72тПе,уй уравнение 1132.1) для функции;~ = гз»е принимает вцц 71 174 УГ + — Г + Х = 0 74х х 71х Общее репГение этого уравнения: Х = А уо(х) а ВГУе(х), где .7е и Хэ — функции Бесселя соответственно первого и второго рода. Усло- вие у = 0 при г = 0 дает А/В = — Хэ(2»«а)ГГ,уо(27«а). Области же а « Г « 1ГГЙ отвечают х « 1 (при этом, конечно, подразумева- ется, что амехр( — 177аь) « 1; здесь 2 ух 2В В А -~-  — 1и — = А -~- — 1п (ма у) — — г, 77 2 Я «го где 'у = е = 1,78... (С вЂ” постоянная Эйлера). Это выражение отвечает формуле (132.3) и по полученным таким образом значениям с« и сз находим амплитуду рассеяния ГГ ЯА ая 2 7" =.
— а ~ — + 21п(мау)) = ~Ме(2ма) — — 1п(но, ~)1еГ',2»Га) у,в ),7е 172на) 77 В предельном случае 7«а « 1: 1" = 2а и (в согласии с фор»7улой борновского 2 2 приближения (126.14)). При ма » 1 имеем 7" = — — 2а 1п(нау). 6. Во втором приближении теории возму«даний определить амплитуду рассеяния в предельном случае малых энергий Г И. Я. Поз«ераичух 1948).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
