III.-Квантовая-механика (1109680), страница 130
Текст из файла (страница 130)
Для сечения рассеяния имеем из (133.9) 4з. (мо (1!2)тек ) 4 е Если пренебречь в знаменателе членом к4 (хотя он и является законным), то эту формулу можно представить (с учетом (133.10) 1 ) Укажем значения постоянных сг и ге для важного случая взаимодействия двух нуклонов. Для нейтрона и протона с параллельными спинами (изотопическое состояние с Т = О) о = 5.,4 ° 10 1«, ге = 1,7 10 1» см; этим значениям соответствует истинный уровень с энергией ф = 2,23 МэВ— основное состояние дсйтрона.
Для нейтрона же и протона с антипараллельными спинами (изотопическое состояние с Т = 1) о = — 24 10 гс =- 2,7 10 ' см; этим значониям отвечает виргуальный уровень ф 0,067 М»В. В силу изотопической инвариантности последние значения должны относиться также и к системе двух нейтронов с антипараллельными спинами (параллельные спины система пп в э-состоянии вообще не может иметь в силу принципа Паули).
670 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХЧП (133.10)) в виде 41г(1 Е Го»г) 4л6~ 1+ Го»г й Ем т Е»(е( (133.12) Вернемся к выражению (133.4) волновой функции связанного состояния во «внешней» области и свяжем нормировочный коэффициент в ней с введенными выше параметрами. Определив вычет функции (133.9) в ее полюсе Е = е и сравнив с формулой 128.11 най ем ( ), д .4о 2.1 2 Второй член представляет собой малуко поправку к первому, поскольку огге»га « 1. Без этой поправки АО 2—— 2»г, т, е. Г ос = ъг2осе ', 1Ь = = )/ — ' Уг4лг 2л Г (133.14) 1 ЬЕ '( — е Е Е) -» 1Ь ' (133.15) где Ь и е --.
две постоянные, причем 6 > 0 (см. ниже). Резонансному случаю соответствует аномально малое значение коэффициента при Е, т. е. аномально малое е. Однако, ввиду малости Е, член ЬЕЕ все же может быть и велик по сравнению с й. Если е < О, то знаменатель выражения (133.15) имеет вешественный корень Š— — ~е~, так что е есть дискретный уровень энергии (с моментом 1) ') . Однако в противоположность резонансу в з-рассеянии амплитуда (133.15) при этом нигде не становится большой по сравнению с ьй амплитуда резонансного рассеяния с моментом 1+ 1 оказывается лишь того же порядка величины, что и амплитуда нерезонансного рассеяния с моментом 1.
) При е < О и Е, близком к е, имеем 11 — ( — 1)ы'! )'ДЬ(Е -» (е~)). Сравнение с (128.17) показывает, что Ь ) О. что соответствует такой нормировке, как если бы выражение (133.14) было справедливым во всем пространстве. Остановимся кратко на резонансе в рассеянии с не равными нулю орбитальными клементами. Разложение функции 8)(а) начинается с члена к' 2~; сохранив два первых члена разложения, напишем парциальную амплитуду рассеяния в виде 671 РЕЗОНАНОНОЕ РАОСЕЯНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ Если же е > О, то амплитуда (133.15) достигает в области Е е порядка величины 1/й, т.е. становится большой по сравнению с а.
Относительная ширина этой области мала; ЬЕ7'е (ай)~' '. Таким образом, в этом случае имеет место резко выраженный резонанс. Такая картина резонансного рассеяния связана с тем, что положительный уровень с 1 у= 0 хотя и не является истинным дискретным уровнем, но представляет собой квазидискретный уровень: благодаря наличию центробежного потенциального барьера вероятность ухода частицы с малой энергией из этого состояния на бесконечность ъ1ала, так что «продолжительность жизни> состояния велика (см. ~134). В этом заключается причина отличия характера резонансного рассеяния при 1 ~ 0 от резонанса в з-состоянии, где центробежный барьер отсутствует. Знаменатель в (133.15) при е > 0 обращается в нуль при Е = Ео — гГ/2, где (133.
16) ЬЛ Этот полюс амплитуды рассеяния находится, однако, на «нефизическомь листе. Малая величина Г является шириной квази- дискретного уровня (см. ~ 134). Наконец, укажем интересное свойство фаз бь которое легко установить на основании изложенных выше результатов. Будем рассматривать фазы 5~(Е) как непрерывные функции энергии, не приводя их к интервалу между 0 и я (ср.
примеч. на с. 144). Покажем, что тогда имеет место равенство (133. 17) 4(0) — б~(ОО) = пГХ, где п~ --число дискретных уровней с моментом 1 в поле притяжения У(г) (Х Ееггпэоп, 1949). Для этого заметим, что в поле, удовлетворяющем условию ~17~ << 62/гпа~, при всех энергиях применимо борновское приближение, так что д~(Е) << 1 при всех Е. При этом д~(ОО) = О, поскольку при Š— > ОО амплитуда рассеяния стремится к нулю; значение жс д~(0) = 0 в соответствии с общими результатами 3132. В то жс время в таком поле отсутствуют дискретные уровни (см. ~ 45), так что гч = О. Будем теперь следить за изменением разности д~(ь) — б~(ОО) (где ь — некоторая заданная малая величина) при постепенном углублении потенциальной ямы 71(г).
По мере углубления у верхнего края ямы последовательно появляются первый, второй и т.д. уровни. При этом 672 ГЛ ХНП УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ фаза 61(ь1) получает каждый раз приращение на л') . Достигнув заданного 1г'(г) и устремив затем Ь вЂ” г О, мы и получим формулу (133.17). Задачи 1. Выразить эффективный радиус взаимодействия го через волновую функцию связанного состояния (Е = е) во квнутреннейь области, г а (Я. А. Смородииский, 1948).
Р е ш е н и е. Пусть Хо — волновая функция в области г о, нормированная условием Хо э 1 при г э оо.'тогда квадрат волновой функции во всем пространстве можно написать в виде Х = Ао(е "" + Хо — 1) (это выРажение поРеходиг в Агае г " пРи иг » 1 и в АагХго пРи ггг « 1). Он должен быть нормирован условием Х бг =- Аа ~ — — / (1 — Хо Аг =- 1, ~ 2гг о о и сравнение с (133.13) дает "о=2/(1 Хг)йг а Из уравнения (133.1) с П(г) < О, решением которого является функция Хо, следует, что Хо(г) < Хо(оо) = 1. Поэтому всегда го > О.
2. Определить изменение фаз 4 при варьировании поля ПЯ. Р е ш е н и е. Варьируя О'(г) в уравнении Шредингера 2гп ~ Яг 1(1 ь Ц йг ~ 2т гг получим 2гп ) Ь~ 1Ц+ 1) 1 2т бх," + — ~Š—— -П~бх = — хбП. 2 Умножив первое уравнение на 6ХП второе на Хо вычтя почленно одно из другого н интегрируя по йг, найдем 2т /' г (Хгбх~ — Х~бХг)!., =- — ~ Х,бПй.
б' l о Подставив в левую часть равенства асимптотичсские выражения йг Х~ = вш (кг — — -~- бг), 2 1я бХг = 6(б~) сов (йг — — + бг) 2 ) В формуле (133.6) этому соответствует изменение бо от О до я, когда при заданном малом значении й величина н меняется от отрицательного значения †» и до положительного значения н » Е.
В случае 1 и': О то же самое следует из формулы 1ссббг = — ЬЕ (Š— е), когда при заданном — 1 Е = гг е меняется от е» 11 до — г» Ь. 674 УПРУГИЕ ОТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХЧП (33.20)). В результате получаем =( ) Х дг = 2 ~ о-~- ) — — е1п)2(ьа-Р бе)) > О. г Р Нба 1 1 дй) Поскольку интеграл от Х~ заведомо положителен, то должно быть положи- тельно и выражение в правой части равенства ) . 9 134. Резонанс на квазидискретном уровне Система, способная к распаду, не обладает, строго говоря, дискретным спектром энергий. Вылетающая из нее при распаде частица уходит на бесконечность; в этом смысле движение системы инфинитно, а потому энергетический спектр непрерывен.
Может, однако, оказаться, что вероятность распада системы очень мала. Простейший пример такого рода представляет частица, окруженная достаточно высоким и 1пироким потенциальным барьером. Другим источником метастабильности состояния может явиться необходимость изменения спина системы при распаде, осуществляющегося за счет слабого спин-орбитального взаимодействия.
Для таких систем с малой вероятностью распада можно ввести понятие о квазистационарных состояниях, в которых частицы движутся в течение длительного времени «внутри системыгг, покидая ее лигпь по истечении значительного промежутка времени т, которое можно назвать продолжительностью жизни данного почти стационарного состояния (т 1/ю, где ю вероятность распада в единипу времени). Энергетический спектр этих состояний будет квазидискретным:, он состоит из ряда размытых уровней, ширина которых Г связана с продолжительностью жизни через Г Цт (см.
(44.7)). Ширины квазидискретных уровней малы по сравнениго с расстояниями между ними. При рассмотрении квазистационарных состояний можно применить следующий формальный метод. До сих пор мы всегда рассматривали решения уравнения Шредингера с граничным условием, требующим конечности волновой функции на бесконечности. Вместо этого будем теперь искать решения, представляющие собой на бесконечности расходящуюся сферическую волну; это соответствует частице, вылетающей в конце концов из системы при ее распаде. Ввиду того, что такое граничное условие комплексно, нельзя уже утверждать, что собственные ') Это неравенство ранее было получено другим способом Внгнером (19бб).
РезОнАнс нА кВАзндискРетнОм уРОВне значения энергии должны быть вещественными. Напротив, в результате решения уравнения Шредингера мы получим набор комплексных значений, которые мы будем писать в виде 1134.1) Е = Ее — гТ/2, где Ее и Г две положительные 1см, ниже) величины. Легко видеть, в чем заключается физический смысл комплексных значений энергии. Временной множитель волновой функции квазистационарного состояния имеет вид ехр( — — 'Е1) = ехр( — — „Е01 — — „1) . Поэтому все вероятности, определяющиеся квадратами модуля волновой функции, затухают со временем по закону е О ').
В частности, по этому закону затухает и вероятность нахождения частицы «внутри системыэ. Таким образом, Г определяет продолжительность жизни состояния; вероятность распада в единицу времени равна гп = Г/6. 1134.2) На болыпих расстояниях волновая функция квазистационарного состояния 1расходящаяся волна) содержит множитель экспоненциально возрастающий при г — э оо 1мнимая часть корня отрицательна). Поэтому нормировочный интеграл ) ~ф~~Л' для этих функций расходится. Заметим, кстати, что этим обстоятельством разрешается кажущееся противоречие между затуханием квадрата ~ф~ со временем и тем, что нормировочный ') Заметим, что отсюда видна физическая необходимость положительности Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
