III.-Квантовая-механика (1109680), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Эти функции, которые обозначим через ф„, получаются (-) из функций ~„согласно (е) (136.4) Действительно, комплексное сопряжение превращает расходящуюся волну (е' Г/г) в сходящуюся (е ™'/г), а плоская волна принимает вид е '"'. Для того чтобы сохранить прежнее определение )с (плоская волна е™), надо еп(е заменить )с на — )с, что и сделано в (136.4).
Заметив, что Р2( — соед) = ( — 1)'Р~(говд), получим из (136.1) з 136 системА ВОлнОВых ФУнкций непРеРыВнОГО спектРА 687 Таким образом, получаем для кулонова поля отталкивания ') (д(~) = е ~~~Г(1+ — )е(~ 1Л( — —, 1, г()ст — 1сг)) 1136.6) фе( ) = е Я(з"Г(1 — — )е(~"Е( —,1, — г()ст+ 1сг)). (1367) Волновые функции для кулонова поля притяжения получаются отсюда одновременной заменой знака у а и т: фе(~) = е (ВВГ(1 — — )е™г ( —,г(ет — 1сг)), 1136.8) ф( ) = е (~"Г(1+ — )е'(сег'( — — 1 — г(Ь +1сг)). 1136.9) Характеристикой воздействия кулонова поля на движение частицы вблизи начала координат может служить отношение квадрата модуля ф„или ф, в точке т = 0 к квадрату модуля (-~-) ( — ) волновой функции фе = е(~' свободного движения. С помощью формулы легко находим для поля отталкивания: У(е'(0)~' У„-(ои' Ъ (136.10) Ф)' Ф ~' Ч''" — 1) и для поля притяжения; (0)~~ '(ть ((0~~ 2Е (136.
11) Функции ф„и ~Е играют существенную роль в задачах, (Т) связанных с применениями теории возмущений в непрерывном спектре. Предположим, что в результате некоторого возмущения (Г частица совершает переход между состояниями непрерывного спектра. Вероятность перехода определяется матричным элементом 1136.12) Возникает вопрос: какие именно решения волнового уравнения должны быть взяты в качестве начальной 1(е,) и конечной (еду) ) Пользуемся кулоноными единицами.
688 гл хуп упРуГие столкновения волновых функций для того, чтобы получить амплитуду перехода частицы из состояния с импульсом 11)с в состояние с импульсом )1)с' на бесконечности ') . Покажем, что для этого надо выбрать 'Р1 = тй ~У = ~й (136.13) (А. Яопгтег1ЕЫ, 1931). Это становится ясным, если рассмотреть, как решался бы поставленный вопрос методом теории возмущений, примененной не только по отношению к возмущению 1г, но и по отношению к полю 1Л,т), в котором движется частица. В нулевом (по Г) приближении матричный элемент (136.12) имеет вид е ' "Че' ~е1К В следующих (по 11) приближениях этот интеграл заменяется рядом, каждый из членов которого выражается интегралом вида ,1З~,,З~ 1 ° ° ° и (Еа — ЕМ -1- 10)... (Еа — Ее„-~-10) (ср.
8 43, 130); в числителях стоят (расположенные в различных последовательностях) матричные элементы по отношению к не- возмущенным плоским волнам, а все полюсы обходятся при интегрированиях по одному и тому же определенному правилу. С другой стороны, этот ряд может быть получен как матричный элемент (136.12) с волновыми функциягли ф, и фу, представленными в виде рядов теории возмущений по полю бг. Тот факт, что в результате должна получиться сумма интегралов, в которых все полюсы обходятся по одинаковому правилу, означает, следовательно, что по такому же правилу обходятся полюсы в членах рядов, изображающих гд1 и где.
Но если решать волновое уравнение по теории возмугцений с этим правилом обхода, то автоматически получится решение, содержащее в своей асимптотике расходящуюся (наряду с плоской) волну. Другими словами, волновые функции, которые в нулевом (по 11) приближении имели вид — гас'г ц).=е пег ф;=е ) Пример такого процесса: электрон, сталкиваясь с неподвижным тяжелым ядром, испускает фотон, меняя при этом свою энергию и направление движения; возмущением г' является взаимодействие электрона с полем излучения, а кулоново поле ядра в полем 11, для которого определены функции фь' и 11~э (см.
1Ъ', 9 92, 96). ДРУгим пРимеРом ЯвлЯетсЯ столкновение дт1 1 — 1 электрона с атомом, сопровождающееся ионизацией последнего 1см. задачу4 З 148). 1137 ОТОлкнОВВния ОдинАкОВых чАОтип должны быть заменены точными решениями волнового уравнения соответственно ф„и 1)1 „, = ф„, ); этим и доказывается (~-) М ° ( — ) *.
правило ((136.13)). Выбор ф„, в качестве конечной волновой функции относит( вЂ) ся также и к случаям перехода из состояния дискретного в состояние непрерывного спектра (вопрос же о способе выбора 1)), в этом случае естественно,не возникает). 8 137. Столкновения одинаковых частиц 1)) = е'~' ж е '~'+ — е1ь"[1(д) ж 1К вЂ” д)]. (137. 1) В силу тождественности частиц нельзя, конечно, указать, какая из них есть рассеиваемая, а какая рассеивающая.
В системе центра инерции мы имеем две одинаковые распространяющиеся навстречу друг другу падающие волны: е'"' и е 'ь'. Расходящаяся же сферическая волна в (137.1) учитывает рассеяние обеих частиц, и вычисленный с ее помощью поток определяет вероятность того, что в данном элементе по телесного угла будет рассеяна какая-либо из частиц. Сечение рассеяния есть отношение этого потока к плотности потока в каждой из падающих 1 ) Прямое спин-орбитальное взаимодействие здесь по-прежнему не рассматривается.
Особого рассмотрения требует случай столкновения двух одинаковых частиц. Тождественность частиц приводит в квантовой механике к появлению своеобразного обменного взаимодействия между ними. Оно существенно сказывается и на рассеянии (Х МО11, 1930) ') . Орбитальная волновая функция системы из двух частиц должна быть симметричной или антисиммстричной относительно частиц в зависимости от того, четен или нечетен суммарный спин последних (см. ~ 62).
Поэтому описывающая рассеяние волновая функция, получающаяся путем решения обычного уравнения Шредингера, должна быть симметризована или антисимметризована по частицам. Перестановка частиц эквивалентна замене направления соединяющего их радиуса-вектора на обратное. В системс координат, в которой покоится центр инерции, это означает, что т остается неизменным, а угол й заменяется на 7с — й (в связи с чем г = псевд переходит в — з). Поэтому вместо асимптотического выражения (123.3) волновой функции мы должны писать упРуГие стОлкнОВения ГЛ ХЧП 1С, = ДВ)+ У<я — В)~'1о, 1137.
2) а если нечетен, то 1Ь = ~~(В) — 1"(я — 0)~211о. (137.3) Характерно для обменного взаимодействия появление интерференционного члена 1(0)1"'(я — д) + 1'(п)1(я — д). Если бы частицы были различимы, как в обычной классической механике, то вероятность рассеяния какой-либо из них в данный элемент телесного угла по была бы равна просто сумме вероятностей отклонения одной из них на угол д, а движущейся навстречу ей на угол я — д: другими словами, сечение было бы равно И(В) ~'+ ~У(я — В) ~') 1о. В предельном случае малых скоростей амплитуда рассеяния (при достаточно быстро убывающем с расстоянием взаимодействии частиц) стремится к постоянному, не зависящему от углов пределу 12132). Из (137.3) видно, что при этом 1Ь обращается в нуль, т.
е. рассеиваются друг на друге лишь частицы с четным суммарным спином. В формулах (137.2), (137.3) предполагается, что суммарный спин сталкивающихся частиц имеет определенное значение. Если же частицы не находятся в определенных спиновых состояниях, то для определения сечения надо произвести усреднение, считая все спиновые состояния равновероятными.
В 262 было показано, что из общего числа (2в + 1)2 различных спиновых состояний системы двух частиц со олином э я(2Я+ 1) состояний соответствует четному, а (в+ 1) (2а+ 1) --- нечетному полному спину (если в-- полуцелое), или же наоборот (если в. -целое). Предположим сначала, что спин э частиц.
- полуцелый. Тогда вероятность системе из обеих сталкивающихся У(2Х-~ Ц Е частиц иметь четное о' равна, =, а вероятность (2е+ 1)~ 2Р+ 1 Р -~-1 нечетного с' равна . Поэтому сечение рассеяния равно 2Р-Г1 1п= ' ао,+ ' ' 1п„. 2е+ 1 2Р+ 1 (137.4) плоских волн, т. е. по-прежнему определяется квадратом модуля коэффициента при е'""/Г в волновой функции (137.1). Таким образом, если суммарный спин сталкивающихся частиц четсн, то сечение рассеяния имеет вид 691 2 137 ОТОЛКНОВВНИЯ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИИ Подставив сюда 1137.2), 1137.3), получим 1О~/~(В)/'+ !~(х — ВН'— — У<ВУ< — В)*+ У(В)*У( — В))) 1.
1137.5) Аналогичным образом получим при целом в 1~ = ((У(В)!2+ )У(я — В)!2+ + ' Ц1О)77.— В)" +71В)*У( -ВЯа . 1137.5) В качестве примера выпишем формулы для столкновения двух электронов, взаимодействующих по закону Кулона 111 = е2/г). Подстановка выражения 1135.9) в формулу 1137.5) с в = 1/2 дает 1в обычных единицах) после простого вычисления 1 1 -(.' И х тсо~/ 1 В1В~1В/2) сов~ 10/2) Вт~1В72) сов~1В72) х сов( — 1п18~ — )~ до 1137.7) 1мы ввели массу то электрона вместо приведенной массы т = = шо/2).
Эта формула заметно упрощается, если скорость настолько велика, что е « н6 1замстим, что это есть как раз условие применимости к кулоновому полю теории возмущений). Тогда косинус в третьем члене можно заменить единицей и получается дп = (,) ', йо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
