III.-Квантовая-механика (1109680), страница 137
Текст из файла (страница 137)
Таким образом, свойство, отмеченное выше для рассеяния частиц со спином 1112 на частицах со спином О, имеет в действительности общий характер. В случае произвольных спинов сталкивающихся частиц общие формулы для угловых распределений весьма громоздки, и мы не станем останавливаться здесь на их выводе. Подсчитаем лишь число параметров, которыми должны определяться эти распределения. Рассмотренный выше случай столкновения частиц со спинами 1/2 и 0 характерен, в частности, теы, что заданным значениям 1 и четности соответствует всего одно состояние системы двух частиц (отвлекаясь от несущественной ориентации полного момента в пространстве).
От каждого такого состояния в амплитуду рассеяния входит один вещественный параметр (фаза О). В случае же других спинов существует, вообще говоря, по нескольку различных состояний с одинаковыми полным моментом,7 и четностью; эти состояния различаются значениями полного спина частиц О и орбитального момента их относительного движения Е Пусть число таких состояний будет п.
Легко видеть, что от каждой такой группы состоянии в амплитуду рассеяния входит п(п+ 1) 112 независимых вещественных параметров. Действительно, по отношению к этим состояниям О'-матрица представляет собой унитарную симметричную (в силу теоремы взаимности) матрипу с и п комплексными элементами. Подсчет числа независимых величин в этой матрице удобно произвести, заметив, что если представить оператор о' в виде О' = ехр(гА), то условие унитарности выполняется автоматически, когда А . произвольный эрмитов оператор (сы. (12.16)). Если матрица О симметрична, то симметрична и матрица Л и, будучи эрмито- З 140 РАССЕЯНИЕ ПРИ СПИН-ОРБИТАЛЬНОМ БЗАИМОДЕЙОТБИИ 707 вой, она вещественна. Вещественная же симъРетричная матрица имеет и(п+ 1)/2 независимых компонент. Для примера укажем, что для двух частиц со спинами 1/2 число п = 2. Действительно, при заданном 7 имеется всего четыре состояния; два состояния с 1 = 7 и полным спином с = 0 или 1 и два состояния с 1 = 7 х 1, о = 1.
Очевидно, что два из них четны (1 четно) и два — нечетны (нечетные 1). Общий вид амплитуды рассеяния частиц со спином 1/2, как оператора по спиновым переменным обеих частиц, легко написать, исходя из необходимых условий инвариантности: это должен быть скаляр, инвариантный по отношению к обращению времени. Для составления этого выражения в нашем распоряжении имеются два аксиальных вектора спинов частиц в1 и в2 и два обычных (полярных) вектора и и и'.
При этом каждый из операторов в1 и вз должен входить в амплитуду линейно, поскольку всякая вообще функция оператора спина 1/2 сводится к линейной. Наиболее общий вид оператора, удовлетворяющего этим условиям, можно представить в виде ~ = А + В(в1Л) (взЛ) + С(в1р)(взи) + 71(в~э) (взе)+ + Е(в1 + вв, е) + Г(в1 — вг, е) . (140.12) Коэффициенты А, ВР .. —. скалярные величины, которые могут зависеть только от скаляра пп', т, с. от угла рассеяния и' (и от энергии): Л, и, е — три взаимно перпендикулярных единичных вектора, направленных соответственно вдоль и + и, и — и / / и [пп']. Операции обращения времени соответствует замена / / в1 — Р -вы вэ -+ -вэ, и — + — и, и — > -и.
При этом Л вЂ” Р— Л, и — Рй, е — Р— е и инвариантность оператора (140.12) очевидна. В случае взаимного рассеяния нуклонов (протонов и нейтронов) последний член в (140.12) отсутствует. Это следует уже хотя бы из того, что действующие между нуклонами ядерные силы сохраняют абсолютную величину полного спина системы с, оператор же в1 — вэ не коммутирует с оператором Й (остальные члены в операторе (140.12) выражаются, согласно (117.4), через оператор полного спина Й и потому коммутируют с Б ). При рассеянии одинаковых нуклонов (рр или пп) коэффициенты А, ЛР .. как функции угла рассеяния удовлетворяют также определенным соотношениям симметрии, являющимся следствием тождественности обеих частиц (см.
задачу 2). 708 гл хугг упРуГие ОТОлкнОВения Задачи 1. Для рассеяния частиц со спином 1Г2 на частицах со спином 0 определить поляризацию после рассеяния, если до рассеяния она тоже была отлична от нуля. Р е ш е н и е, Вычисление по формуле (140.9) удобно производить в компонентах, выбрав ось з вдоль направления у. В результате получим ( А~~ — (В)~)Р т 2)В('У(УР); — 21ш (АВ') (УР) + 2У Ве (АВ*) А~~ + (В)~ + 2 Ке (АВ")УР 2.
Найти условия симметрии, которым удовлетворяют как функции угла В коэффициенты в амплитуде рассеяния двух одинаковых нуклонов (В. Оейте, 1955). Р с ш е н и е. Перегруппируем члены в (140.12) таким образом, чтобы каждый из них был отличен от нуля лишь для синглетных (О = 0) или триплетных (о .= Ц состояний системы нуклонов; гг = (вгвг — 1гг4) -Ь Ь(вгвг -~- Згг4) -~- с(1гг4 -~- (вгу)(вгэ)1-~- + д((йгп)(йгп') + (йгп')((йгп))) + е(йг + вг,э). (1) а(п — В) =- а(В), Ь( г — О) = — Ь(В), с(гг — В) =- — с(В) г1(х — О) = д(О), е(гг — О) =- е(В). (2) В силу изотопической инвариантности амплитуда рассеяния одинакова для рассеяний пп и рр и для рассеяния пр в изотопическом состоянии с Т = 1. Для системы пр возможно, однако, также и состояние с Т = 0; в результате амплитуда рассеяния пр характеризуется другими коэффициентами а, Ь,...
в (1), не обладающими свойствами симметрии (2). 8 141. Полюсы Редже В 3 128 были рассмотрены аналитическгле свойства амплитуды рассеяния как функции комплексной переменной Š— энергии частиц; орбитальный момент г играл при этом роль параметра, пробегающего вещественные целые значения. Дальнейшие существенные с методической точки зрения свойства амплитуды рассеяния выясняя>тся, если рассматривать теперь ( как непрерывную комплексную переменную, при вещественных значениях энергии Е ') .
) Эти свойства впервые изучались Рсдаюе ( Т. Лекке, 1958). С помощью формул (117.4) легко убедиться, что первый член отличен от нуля лишь при Я = О, а остальные — при Я = 1. В силу тождественности частиц амплитуда рассеяния должна быть симметрична относительно перестановки координат частиц при Я = 0 и антисимметрична при Я вЂ” — 1; это преобразование означает замену  — г и — О или, что то же, изменение знака одного из векторов и и и' (ср. 3 137). Из этих условий получаем следующие соотношения: 7ОО пОлюсы Ред»ке Как и в 3 128, рассмотрим радиальные волновые функции с асимптотическим (при т -э со) видом 1о=тЛ~ =А(1, Е) ехр( — т)~+В11, Е) ехр[ г).
(141.1) Эти функции являются решениями уравнения Шредингера (32.8) (в котором ! рассматривается теперь как комплексный параметр), причем отбор одного из двух независимых решений производится условием В~ — сопв1 г~ при г — » О. (141. 2) Сразу же отметим, что такое условие накладывает определенное ограничение на допустимые значения параметра !. Действительно, общий вид решения уравнения (32.8) при малых г есть Л~ с1т + свг С -С-1 (см.
конец 332). Для того чтобы второе решение могло быть однозначным образом выделено «на фоне» первого и исключено, член с г ' 1 должен быть при г — ~ О болыпе члена с т'. При комплексных значениях ! отсюда возникает условие 1ьс ! > > Йе ( — ! — 1), т. е.
йе (1+ — ) > О. (141. 3) Я(1,Е) = ехр [2!о(1,Е)] = е' ' Ф!,Р' (141.4) Везде ниже рассматривается именно эта полуплоскость комплексного ! справа от вертикальной прямой ! = — 1/2. Будучи решением дифференциального уравнения с аналитическими по параметру ! коэффициентами, волновая функция Л(г; 1, Е) является аналитической функцией этого параметра, не имеющей особенностей в полуплоскости (141.3). Это относится, в частности, и к асимптотическому выражению (141.1), а потому функции А(1, Е) и В(1, Е) не имеют особенностей по!.
При этом, однако, подразумевается, что сохранение (при г — ~ ОО) обоих членов в (141.1) действительно законно. При Е > О это всегда так, а при Е ( Π— справедливо, если поле ПЯ удовлетворяет условиям (128.6) или (128.13). В этих рассуждениях существенно, что характер асимптотического (по г) поведения волновой функции зависит только от Е, но не от 1; поэтому комплексность ! не меняет условий перехода к асимптотике. Сравнив (141.1) с асимптотической формулой (128.15), найдем элемент Я-матрицы в виде 71О гл хуп УПРУГИЕ ОТОЛКНОВЕНИЯ справедливом и при комплексных значениях 1 1при этом, однако, «фазовый сдвиг» д уже не веществен).
Г1ри вещественных значениях 1 и при Е ) О функции А и В связаны соотношением (128.4): А(1,Е) = В*(1,Е). Отсюда следует,что при комплексных 1 А(1*,Е) = В*(1,Е) при Е ) О, (141.5) а потому о (1, Е) удовлетворяет условию комплексной унитарно- сти, В*(1, Е) о 11*, Е) = 1. (141.б) В силу отсутствия особенностей у А(1, Е) и В(1, Е) как функций от 1 функция о(1,Е) (а с нею и парциальная амплитуда рассеяния Г(1, Е)) имеет особенности (полюсы) лишь в нулях функции В(1, Е).
Полюсы амплитуды рассеяния в плоскости комплексного 1 называют полюсами Редже. ГГх положение зависит, конечно, от значения вещественного параметра Е. Функции ! = си1Е), определяющие положения полюсов, называют траекториями Редже, при изменении Е полюсы перемещаются в плоскости 1 по определенным линиям 1индекс г, нумерующий полюсы, мы будем ниже опускать). Приступая к изучению свойств траекторий Редже, покажем прежде всего, что при Е ( О все а(Е) вещественные функции.
Для этого рассмотрим уравнение ~н + ~ —,(Š— ГГ(г)) —, 1,"» = О, (141.7) которому удовлетворяет волновая функция с 1 = а. Умножив это уравнение на у* и проинтегрировав его по дг (причем первый член преобразуется интегрированием по частям), получим — ~~'~~дг+ —, (Š— ГГ)~Х~~дт — о(о+ 1), г1г = О. о о а Здесь учтено, что при В = О (условие, определяющее полюсы Рсдже) волновая функция экспоненциально затухает при г' — э оо, так что все интегралы сходятся.
Первые два члена в полученном равенстве вещественны,. а в последнем члене веществен интеграл. Поэтому должно быть 1гп ~а(о + 1)] = Гш (а + — ) = 2 ГГе (о + — ) 1ш а = О. з 141 пОлюсы Редгке Но поскольку мы рассматриваем лишь полюсы, находящиеся на полуплоскости (141.3), то заведомо Ве (се + 1/2) > О, и мы при- ходим к требуемому результату 1тп а(Е) = 0 при Е < О. (141.8) Далее, произведем с уравнением (141.7) следующие операции (аналогичные выводу равенства (128.10)): дифференцируем его по Е, умножаем полученное уравнение на )(, а исходное уравне- ние (141.7) --на ду(дЕ; вычтя затем одно из другого, получим тождество Проинтегрируем его по с(г от 0 до оо, снова учтя при этом обра- щение ( в нуль при г — 1 сс.
Интеграл от первого члена обраща- ется в нуль, и мы находим — сг(с«+ 1) 1 — г1т = — 1 т Йг. 4 Гхе Г, 4Е / „г йг / (141.9) о о Ввиду известной уже нам вещественности о, вещественна также и волновая функция, а потому оба интеграла в (141.9) заведомо положительны. Следовательно, 4 Г 114о — сг(с«+ 1) = 2(с«+ — ) — > О, 4Е 2 4Е и ввиду положительности ст + 1/2 4о — >О при Е<0. «1Е Таким образом, при Е < 0 функции с«(Е) монотонно возрас- тают с увеличением Е. Отрицательные значения Е, при которых функции ст(Е) при- нимают «физические» значения (т. е. равны целым числам 1 = О, 1, 2,... ), отвечают дискретным уровням энергии системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
