III.-Квантовая-механика (1109680), страница 136
Текст из файла (страница 136)
702 гл хуп УПРУГИЕ ОТОЛКНОВВНИЯ я 140. Рассеяние при спин-орбитальном взаимодействии До сих пор мы рассматривали лишь столкновения частиц, взаимодействие которых не зависит от их спииов. В этих условиях спины либо вообще не влияют на процесс рассеяния, либо оказывают косвенное влияние, связанное с обменными эффектами 12137). Обратимся теперь к обобщению развитой в 3 123 общей теории рассеяния на случай, когда взаимодействие частиц существенно зависит от их спинов, как это имеет место при столкновениях ядерных частиц.
Рассмотрим подробно наиболее простой случай, когда одна из сталкивающихся частиц (для определенности будем считать, что это частица падающего пучка) имеет спин 1/2, а другая (частица-еГишень) — спин О. При заданном (полуцелом) полном моменте системы 2 орбитальный момент может иметь лишь два значения 1 = у х 1/2, которым соответствуют состояния различной четности.
Поэтому из сохранения у и четности в этом случае следует также и сохранение абсолютной величины орбитального момента. Оператор 1 (см. 2125) действует теперь не только на орбитальные, но и на спиновые переменные волновой функции системы. Он должен быть коммутативен с оператором сохраняющейся величины 12. Наиболее общий вид такого оператора 7" = а+ 61в, (140.1) где а, Ь орбитальные операторы, зависящие только от 12, о'-матрица, а с нею и матрица оператора 2 диагональны по отношению к волновым функциям состояний с определенными значениями сохраняющихся величин 1 и 2 (и проекции т полного момента), причем диагональные элементы выражаются через фазы д волновых функций формулой (123.15).
При заданных 1 и полном моменте 2 = 1+ 1/2 и 2 = 1 — 1/2 собственные значения 1в равны соответственно 1/2 и — (1+ 1)/2 (сеь (118.5)). Поэтому для определения диагональных матричных элементов операторов а и Ь (обозначим их символами а~ и 6~) имеем соотношения а~ + — Ь~ = — (е ' ~ — 1), а~ — Ь| = — (е ' ~ — 1), (140.2) 1 2Г ~Е1 1 2Ы- 2 2ГВ 2 2гк где фазы ВГ и д, соответствуют состояниям 2 = 1+ 1/2 и у = = 1 — 1/2.
Нас интересуют, однако, не сами по себе диагональные элементы оператора 7' по отношению к состояниям с заданными 1 ~ 140 РАссеяние пРи спин-ОРВитАльнОм ВВАимОдВЙОРВии 703 1 = ~(21+ 1)(а1+ Ь|1в)Р~(совО). (1403) ь=а Здесь надо еще вьг~ислить результат воздействия оператора 1в на функцию Р~(совО). Это можно сделать, написав 1в = -(1Рв + 1.
ВР) + 1ВВ, 2 (см. (29.11)) и воспользовавшись формулами (27.12) для матричных элементов операторов 1~; еще проще воспользоваться непосредственно операторными выражениями (26.14), (26.15). Простое вычисление даст 1ВР~(совО) = 4ВВР,'(совО), где Р~~ — присоединенный полипом Лежандра, а т единичный вектор в направлении (пп'), перпендикулярном к плоскости рассеяния (и направление падения вдоль оси В,п'- направление рассеяния, определяемое сферическими углами О,~р). Определив аь 5~ из (140.2) и подставив в (140.3), получим теперь окончательно ~ = А+ 2Втв, А = — ~((1+ 1)(е~'~~ — 1) + 1(е2™~ — 1)1Р~(сов О), ~=о В = — ~(е~'~~ — е~'~~ )Р~~(сов О).
2Е 1=1 (140.4) (140. 5) Матричные элементы этого оператора дают амплитуду рассеяния с определенными значениями проекции спина в начальном (О) и конечном (О') состояниях. Рассмотрим сечение, просуммированное по всем возможным значениям О' и усредненное по вероятностям различных значений О в начальном состоянии (в и 4, а амплитуда рассеяния как функция направлений падающей и рассеянной волн. Эта амплитуда будет все еще оператором, но уже только по отношению к спиновым переменным — оператором, нсдиагональным по проекции спина О. Ниже в этом параграфе мы будем обозначать буквой 1' именно такой оператор. Для его нахождения надо воздействовать оператором (140.1) на функцию (125.17), соответствующую падающей (вдоль оси г) плоской волне. Таким образом, 704 упРуГие ОТОлкнОВения ГЛ ХУП падающем пучке частиц).
Такое сечение вычисляется как дп = ()ту) его; (140.6) взятием диагональных матричных элементов от произведения 7+1 достигается суммирование по конечным состояниям, а черта означает усреднение по начальному состоянию') . Если в начальном состоянии все направления спина равновероятны, то зто усреднение сводится к взятию следа матрицы (деленного на число возможных значений проекции спина 1т) с)О = — Яр(1~1) 1го.
(140.7) При подстановке (140.4) в (140.6) среднее значение квадрата (Ув)2 вычисляется как Узв~/3 = л(в + 1)/3 = 1/4. В результате получим — = ~А~~ + ~В~ + 2 Ве (АВ*)УР, (140.8) где Р = 2в начальная поляризация пучка, определенная как отношение среднего спина в начальном состоянии к его наибольшему возможному значению (1/2). Напомним, что в случае спина 1/2 вектор В полностью характеризует спиновое состояние Я 59). Обратим внимание на то, что поляризация падающего пучка приводит к азимутальной асимметрии рассеяния: благодаря множителю уР в последнем члене сечение (140.8) зависит нс только от полярного угла д, но и от азимута 1д вектора и' по отношению к и 1если только поляризация не перпендикулярна к у, так чтО уР ф О).
Поляризация рассеянных частиц может быть вычислена по формуле 2(утву) 0+1') Так, если начальное состояние не поляризована (Р = О), то простое вычисление дает (140.10) ~,г+ ~В,г~ (140.9) ') Если квадрат модуля ~уе„~г матричного элемента какого-либо оператора для перехода 0 — 1 и суммируется по конечным состояниям п, то получается ~~ус ~' =- ~ ~ус.(уе.)* = ~ 1е.(ут).е = (11+)ее. Во избежание недоразумений подчеркнем, что знак сопряжения т в (140.6) и везде ниже относится к у как спиновому оператору и, в частности, не подразумевает траиспонирования п и и .
2 140 РАссеЯние пРи спин-ОРБитАльнОм ВЗАимОДейстаии 705 Таким образом, рассеяние приводит, вообще говоря, к появлению поляризации, перпендикулярной к плоскости рассеяния. Отметим, однако, что этот эффект отсутствует в борновском приближении; если все фазы б малы, то в первом приближении по ним коэффициент А — — вещественный, а  — — чисто мнимый, так что Ве(АВ*) = О. Тот факт, что поляризация Р' (140.10) направлена вдоль к, заранее очевиден: Р есть аксиальный вектор, а ъс единственный аксиальный вектор, который ъгожет быть составлен из имеющихся в нашем распоряжении полярных векторов и и и'. Очевидно поэтому, что этим свойством будет обладать также и поляризация, возникающая при рассеянии неполяризованного пучка частиц со спином 1112 на неполяризованной мишени из ядер с любым (а не только нулевым) спином ') .
В формулировке теоремы взаимности для рассеяния при наличии спинов следует учесть, что обращение времени меняет знаки не только импульсов, но и моментов. Поэтому симметрия рассеяния по отношению к обращению времени должна выражаться в этом случае равенством аъ1плитуд процессов, отличающихся друг от друга не только перестановкой начального и конечного состояний и изменением направлений движения на обратные, ио также и изменением знаков проекций спинов частиц в обоих состояниях. При этом, однако, знаки этих амплитуд могут оказаться различными в связи с тем, что обращение по времени вносит, согласно (60.3), в спиновую волновую функцию множитель ( — 1)А . Это обстоятельство приводит к тому, что теорема взаимности должна формулироваться следующим образом'): ,7(ог,о2,ьцо1,о2, и ) = = ( — 1)2.1А )7( — сг',, — о2, — и'; — о1, — сг2, — п).
(140.11) Здесь 7(о1, о2, и; о1, о2, и') амплитуда рассеяния с изменением проекций спинов сталкивающихся частиц от значений о1, ог к значениям о11, о2, .сумма в показателе степени берется по обеим частицам до и после рассеяния. ') Мы имеем здесь в виду мишень из ядер с полностью беспорядочно распределенными направлениями спинов.
Напомним, что при е > 1/2 среднее значение вектора спина не определяет полностью спиновое состояние и его равенство нулю не означает еще полного отсутствия упорядочения спиноз. ~) Вывод этого соотношения аналогичен выводу формулы (125.12). При этом в амплитуды сходящихся и расходящихся волн в волновой функции должны быть введены спиновые множители и вместо (126.10) получается — 1 условие К ОК = о, где К вЂ” оператор,не только производящий инверсию, но и преобразующий спиновое состояние согласно (60.3). 706 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ ХУП В борновском приближении рассеяние обладает дополнительной симметрией оказываются одинаковыми вероятности процессов, отличающихся друг от друга перестановкой начального и конечного состояний, без изменения знаков импульсов и проекций спинов частиц, как при обращении времени (см.
~126). Комбинируя это свойство с теоремой взаимности, найдем, что рассеяние симметрично по отношению к изменению знаков всех импульсов и проекций спинов, без их перестановки. Отек>да следует, что в борновском приближении невозможно возникновение поляризации при рассеянии любого неполяризованного пучка на неполяризованной мишени. Действительно, при указанном преобразовании вектор поляризации Р меняет знак, а единственный вектор ~1с1с'), вдоль которого может быть направлен Р, остается неизменным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
