III.-Квантовая-механика (1109680), страница 139
Текст из файла (страница 139)
Именно эта последняя функция и интересует нас здесь; обозначим ее буквой ф и выясним ее асимптотический вид. Волновая функция ф во входном канале складывается из падающей плоской волны и расходящейся сферической волны, отвечающей упругому рассеянию. Ее можно представить также и в виде суммы сходящейся и расходящейся волн, как это было сделано в ~ 123.
Разница заключается в том, что асимптотическое выражение для радиальных функций В~(г) не может быть взято в виде стоячей волны. Стоячая волна есть сумма сходягцейся и расходящейся волн с одинаковыми амплитудами. Г1ри чисто упругом рассеянии это соответствует физическому смыслу задачи, но при наличии неупругих каналов амплитуда расходящейся волны должна быть меньше амплитуды сходящейся волны. Поэтому асимптотическое выражение ф будет даваться формулой 2 142 упгтгг~е глсоеяиие пги нАличии иь гпгхгих пгоцвссов 717 (123.9) ~г (21+ 1)Р~(совО)(( — 1)гт~е ™ + Ьге'~") (142.Ц г=-о 7" (гг) = — 2 (21 + Цфг — 1)Рг(сювй). (142.2) ~=о Для полного сечения гг, упругого рассеяния получим вместо (123.12) формулу о, = —, ~г (21+ Ц(1 — Я~~.
г=о (142.3) Полное сечение неупругого рассеяния, или, как говорят также, сечение реакций гт„по всем возможным каналам, тоже можно выразить через величины Яь Для этого достаточно заметить, что для каждого значения 1 интенсивность расходящейся волны ослаблена по сравнению с интенсивностью сходящейся волны в отношении ~5~~2. Это ослабление должно быть целиком отнесено за счет неупругого рассеяния. Поэтому ясно, что а; = —, ~~» (21+ Ц(1 — ~Я~~~), ~=о (142.4) а полное сечение сг, = сг, + сг, = —, ~(21+ Ц(1 — В.е Я).
г=о (142. 5) Парциальная амплитуда упругого рассеяния с моментом 1, определенная согласно (123.15), есть Я~ — 1 2гк (142. 6) с той разницей, что Яг не определяются теперь выражением (123.10), а являются некоторыми (вообще говоря, комплексными) величинами с модулями, меньшими единицы. Амплитуда упругого рассеяния выражается через эти величины формулой (123.1Ц 718 гл хуш НЕУПРУГИЕ ОТОЛКНОВЕНИЯ а каждый из членов суммы в (142.3) и (142.4) есть парциальное сечение упругого и неупругого рассеяния частиц с моментом й гт,' = — „, (21+ 1)~1 — ~г~~, сг~~0 = —,(21+ 1)(1 — !Я/ )г = —,(21+ 1)(1 — Ве ог).
(142.7) Значение ог = 1 соответствует полному отсутствию рассеяния 1с данным 1). Случай же Я = 0 отвечает полному «поглощению» частиц с моментом 1 (в (142.1) отсутствует парциальная расходящаяся волна с этим значением 1); при этом сечения упругого и неупругого рассеяний одинаковы: гте = гтг = г(21 + 1)' (142.8) Отметим также, что хотя упругое рассеяние может существовать и без неупругого (при ~Яг~ = 1), но обратное невозможно: наличие неупругого рассеяния непременно приводит к одновремен- О) ному наличию упругого рассеяния.
При заданном значении гт„ парциальное сечение упругого рассеяния должно находиться в интервале Угоо — сто ог ~~ ггг гте ~ ~хггоо + оо сгг г (142'9) — ч" О) где оо = (21+ 1)гг/Й~. Взяв значение Дд) из (142.2) при О = 0 и сравнив с выражением (142.5), получим соотношение 1ш 7(0) = — тг, Е (142.10) 4гг 1ш 7) =— 4гг21 ьг (142.11) непосредственно следующим из (142.6) и (142.7).
обобщающее ранее полученную оптическую теорему (125.9). Здесь 7(0) есть по-прежнему амплитуда упругого рассеяния на нулевой угол, но полное сечение ог включает в себя также и неупругую часть. Мнимые жс части парциальных амплитуд 7) связаны с пар- Я циальным сечением пг соотногпением ~ 142 упгугов гхоовянив пни нхли ~ии нвкпгтгих пгопвсоов 719 2И 2гк Исключив Я~ из этих двух равенств, получим соотношение; ~~(й) — ~~( — й) = 21Й~~(й)~~( — й) (142.12) (в отсутствие неупругих процессов было бы г"( — 1с) = )'*(й) и соотношения (142.12) и (142.1Ц совпадали бы друг с другом).
Переписав (142.12) в виде 1 1 = — 2гк, б(ь) я — ь) мы видим, что сумма 1Я(й) + гй должна быть четной функци- ей й. Обозначив эту функцию через 81(1сз), имеем 1 ~'(") х,(1') — Ь ' (142. 13) Тот факт, что коэффициенты Я~ в асимптотическом выражении волновой функции по модулю не равны единице, никак не отражается на сделанных в ~128 заключениях об особых точках амплитуды упругого рассеяния как функции комплексного Е; эти выводы сохраняют свою силу и при наличии неупругих процессов. Аналитические свойства амплитуды меняются, однако, в том отношении, что она теперь невещественна на левой вещественной полуоси (Е ( О), а ее значения на верхнем и нижнем краях разреза при Е > 0 не являются комплексно сопряженными величинами (соответственно не являются комплексно сопряженными и вообще все ее значения в симметричных относительно вещественной оси точках верхней и нижней полуплоскостей). При переходе с верхнего края разреза на нижний путем полного обхода вокруг точки Е = 0 коревы/Е меняет знак, т.
е, в результате обхода меняет знак вещественная (при Е > О) величина й. При этом сходящаяся и расходящаяся волны в (142.1) меняются ролями, соответственно чему роль нового коэффициента Я~ будет играть величина 1/Яп обратная прежнему его значению (что отнюдь не совпадает с Я~*). Значения амплитуд ~~ на верхнем и нижнем краях разреза естественно обозначить как ~~(й) и П( — Й) (физической амплитудой является, разумеется, лишь 1)(й)!).
Согласно (142.6) имеем 720 неупгугие столкновения ГЛ ХНП1 Четная функция р(й~), однако, не является теперь вещественной, как зто было в (125.15) ') . Когда пучок частиц проходит через рассеивающую среду, состоящую из большого числа рассеивающих центров, он постепенно ослабевает в связи с выбыванисм из него частиц, испытывающих различные процессы столкновений. Это ослабление полностью определяется амплитудой упругого рассеяния на нулевой угол и, при соблюдении определенных условий (см. ниже), может быть описано следующим формальным методом') .
Пусть 1'(О, Е) — амплитуда рассеяния на угол нуль на каждой отдельной частице среды. Будем предполагать, что 1" мало по сравнению со средним расстоянием сг (Р'/1"11) 1 между частицами; тогда можно рассматривать рассеяние на каждой из них в отдельности. Введем в качестве вспомогательной величины некоторое эффективное поле бг,ф неподвижного центра, определив его таким образом, чтобы вычисленная с его помощью борновская амплитуда рассеяния на угол нуль была бы как раз равна истинной амплитуде 1(0, Е) (этим отннэдь не подразумевается, что борновское приближение применимо для вычисления 1'(О, Е) по истинному взаимодействию частиц!).
Таким образом„по определению, имеем (см. (126.4)) 77эф Лг = — Ы У(0, Е), э (142.14) 1 ) Изложенные рассуждения, а с ними и вывод о четности функции е1 прсдгюлагают достаточно быстрое убывание взаимодействия при г — 1 со, которое обеспечивало бы отсутствие разрезов в левой полуплоскости Е и тем самым дало бы возможность произвести полный обход вокруг точки Е =- О. 2 ) Излагаемые ниже представления применяются, в частности, для описания рассеяния на ядрах быстрых (с энергией порядка сотен МэВ) нейтронов, длина волны которых настолько мала, что по отношению к ним ядро может рассматриваться как неоднородная макроскопическая среда. где т--- масса рассеиваемой частицы. Вместе с амплитудой 1 определенное таким образом поле комплексно.
Связь между его радиусом действия а и величиной 77,ф получается из оценки обеих частей равенства (142.14) а 5г,ф 5 ~/пт. (142.15) Определение (142.14), конечно, неоднозначно. Наложим на него еще дополнительное условие, чтобы поле 77,ф удовлетворяло условию применимости теории возмущений: ~77эф~ << 11 /та (142.16) 2 142 упРуГОе РАООеяние пРи нАличии неупРуГих пРОцессОВ 721 (при этом ф « а). Легко видеть, что в таком случае ослабление рассеиваемого пучка может быть описано как распространение плоской волны по однородной среде, в которой частица обладает постоянной потенциальной энергией, равной 17,ф = — / 77,фей' = — — Д(О,Е), р ~ р т (142.17) й = — 2т(Š— 77,ф).
л Введя волновой вектор 1се = ~/2тЕ/6 падающих частиц, напи- шем Й в виде пке; величина п= 1— 1ДФ Е (142.18) играет роль коэффициента прелом.лепил среды по отноп1ению к проходящему через нес пучку частиц. Он, вообще говоря, комплекссн (амплитуда комплсксна!), и его мнимая часть определяет ослабление интенсивности пучка. Если Е » ~77,ф~, то (142.18) дает,как и следовало, а' 1ш и = — 1ш 7" (О, Е) = — — ', Ъ' тЕ и 2й' где о1 — полное сечение рассеяния (мы воспользовались здесь оп- тической теоремой (142.10)); это выражение соответствует оче- видному результату: интенсивность волны затухает по закону ~е ( ехр( — — о~я) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
