III.-Квантовая-механика (1109680), страница 138
Текст из файла (страница 138)
От- метим, что таким образом возникает новый классификационный принцип для связанных состояний: по траекториям Редже, на которых они лежат. В качестве примера рассмотрим траектории Редже для дви- жения в кулоновом поле притяжения. Элементы матрицы рассе- яния даются в этом случае выражением') Г(1+ 1 — гуй) (141.10) Г(1+ 1 + г/Й) ') Ср, формулу (135.11), в которой (для перехода от случая отталкивания к случаю притяжения) надо изменить знаки перед к. УПРУГИЕ ОТОЛКНОВВНИЯ гл хуп (Й - в кулоновых единицах). Его полюсы лежат в точках, где аргумент функции Г(1 + 1 — г/й) равен целому отрицательному числу или нулю.
При Е ( О имеем й = гъ~ — 2Е, так что ГГ(Е) = — п„— 1+, Е ( О, (141. Щ Уà — 2Е где пг = О, 1, 2,... число, нумерующее траектории Редже. Приравняв а(Е) целому числу 1 = О, 1, 2, ..., получим известную формулу Бора для дискретных уровней энергии в кулоновом поле 1 Е— 2(п,. э 1-У Ое Число пг оказывается при этом совпадающим с радиальным квантовым числом, определяющим число узлов радиальной волновой функции. Каждой траектории Редже (т.е, каждому заданному значению пг) отвечает бесконечное множество уровней, отличающихся значением орбитального момента.
Обратимся к свойствам функций ГГ(Е) при Е > О. Напомним (см. ~128), что функции А(1, Е) и В(1,Е) в (141.1) как функции комплексной переменной Е определены на плоскости с разрезом на правой вещественной полуоси. Соответственно такой же разрез имеют и функции 1 = ГГ(Е) . корни уравнения В(1, Е) = О. На верхнем и нижнем краях разреза а(Е) имеют комплексно сопряженные значения; при этом на верхнем краю 1т о > О.
Не останавливаясь на формальном доказательстве этого утверждения, приведем более физичные соображения, поясняющие его происхождение. При комплексном 1 становится комплексной также и центробежная энергия, а с нею и эффективная потенциальная энергия 1ч = 11 + 1(1+ 1),1(2гпг~). Повторив изложенный в ~19 вывод, получим теперь вместо (19.6) — ~Ф~з + Г11У1 = 2~4Г~з1п1 Ц. ГП' При 1 = о, 1ш о > О имеем также и 1гп Ц > О; тогда выражение в правой части равенства положительно, что означает как бы испускание новых частиц в объсьГе поля. Соответственно асимптотическое выражение волновой функции (содержащее при В = О лишь первый из двух членов в (141.1)) должно представлять собой расходящуюся волну; именно это имеет место на верхнем краю разреза — ср.
переход от (128.1) к (128.3). Поскольку при Е > О функции ГГ(Е) комплексны, они не могут принимать здесь своих «физических» значений 1 = О, 1, з 141 пОлюсы Редже 2, ... Они могут, однако, оказаться близкими (в плоскости комплексного 1) к таким значениям. Покажем, что в таком случае в парциальной амплитуде рассеяния (соответствующей данному целому значению 1) возникает резонанс. Пусть 1о целое значение, к которому близка функция сг(Е). Пусть, далее, Ес такое (вещественное положительное) значение энергии, для которого Не о(Ес) = 1е. Тогда вблизи этого значения имеем сг(Е) = 1о+ зг)+ ~(Š— Ео), (141.12) где г) = 1гп о(Ее) — вещественная постоянная.
Будем рассматривать значения сг(Е) на верхнем краю разреза; согласно сказанному выше тогда г) ) О (причем, по предположению о близости сг к 1е, т) « 1). Легко видеть, что и постоянную )3 (т.е. производную йт/дЕ при Е = Ев) можно считать вещественной положительной величиной. Действительно, поскольку сг(Е) почти вещественна, то почти вегцественна и волновая функция )С(г;о, Е). Пренебрегая величинами высгпих порядков малости по г), можно пренебречь мнимой частью г, тогда положительность )з следует из положительности интегралов в соотношении (141.9) ') . Поскольку значение 1 = сг(Е) является нулем функции В(1, Е), то вблизи точки о, Ес эта функция пропорциональна сг — 1. С учетом (141.12) имеем поэтому В(1с, Е) — сопэ1 ~а(Š— Ес) + 4г)).
(141.13) Но это выражение по форме как раз совпадает с (134.6), причем Ес оказывается энергией, а Г = 2г)/а > О шириной квазидискрстного уровня. Таким образом, близость траектории Рсдже ) Для уяснения структуры этих интегралов отметим, что асимптотическая область г » а (а радиус действия поля), где справедливо выражение (141.1) для волновой функции, вносит лишь малый вклад в интегралы, если и мало. Действительно, если 1 = о(Е) — нуль функции В(1, Е), то (в силу (141.5)) 1 = а' — нуль функции А(1,Е). Поэтому А(О,Е) (а тем самылг и т(г; о, Е) в области г» а) оказываются малыми величинами и (см. (134.11)).
При оценке интегралов существенно также, что на верхнем краю разреза (по Е) волновая функция содержит множитель е'ь': т(г; о, Е) = А(о, Е)с'в". На этом краю можно понимать Е как Е -~- 15 (где 6 -э +0), тогда и 1с получает малую положительную мнимую часть, чем обеспечивается сходимость интегралов в (141.9). Физически л1алость вклада в интегралы от области г» а связана с тем, что энергия Ее отвечает квазистационарному состоянию (см. ниже); поэтому частица попадает в эту область лишь в результате маловероятного распада состояния. Основной же вклад в интегралы возникает от области г а, в которой волновая функция почти вещественна. 714 упРуГие стОлкнОВения ГЛ ХЧП (при Е > 0) к целым значениям 1 отвечает квазистационарным состояниям системы. Тем самым для этих состояний возникает тот же классификационный принцип, что и для строго стационарных состояний; каждой траектории Редже может отвечать целое семейство дискретных и квазидискретных уровней.
Рассмотрение ! как комплексной переменной позволяет получить полезное интегральное представление для полной амплитуды рассеяния (при Е > 0), даваемой рядом (123.11) ~(!з) = — ~ ~(2!+ 1)[Е(1,Е) — 1)Р~()т), (з = созд. (141.14) ~=о Для этого надо прежде всего определить функции Р~()т) не только при целых ! > О, но и при комплексных значениях !. Это можно сделать, понимая под Р1()т) решение уравнения (с.2) (1 — д)'Рн()1) — 2дР,,'(д)+ ((!+1)Р(д) = О (141.1б) с граничныъ1 условием Р1(1) = 1. Определенная таким образом Р1 ()т) как функция ! Не имеет особенностей при конечных значениях этой переменной') . Легко видеть, что ряд (141.14) совпадает с интегралом )(д) = — ' " '[Е(1,Е) — 1)Р,( — р)!1, (141.10) с взятым по пути С, обходящему в отрицательном направлении (по часовой стрелке) все точки ! = О, 1, 2, ...
на вещественной оси., и замыкающимся на бесконечности: При этом все полюсы ! = оы сто,... функции Ь'(1, Е) (расположенные при Е > 0 не на вещественной оси) должны оставаться снаружи от контура С. Действительно, интеграл (141.16) сводится к (умноженной на — 2л!) сумме вьг1етов подынтегрального выражения в точках ! = О, 1, 2, ...- полюсах функции 1/Е1пл1, причем выче- ) Путем сравнения (141.15) с уравнением (е.2), можно выразить Р1(н) через гипергеометрическую функцию Р1(н ) == Е ( — 1,! ~- 1, 1; ) . 3 141 полюсы Редже ты самой этой функции равны ( — 1)~ггп.
Заметив также, что при целых 1П Рг ( — Гг) = ( — 1)1Р1()г), сведем (141.16) к (141.14) ') . Задача ГГоказать, что фазовые сдвиги, соответствующие последовательным целым значениям 1, удовлетворяют неравенству бг~.г(Е) — б~~Е) < я/2. Р е ш е н и е. Будем рассматривать 1 как непрерывную вещественную переменную и продифференцируем по 1 уравнение (32.10): 1г1+1)1 дх ~- ~ — (Š— Гг) — 1 — = (21+ 1) —. ~пз гг г Уъиножая зто уравнение на Х, а исходное — на дХ/д1 и вычитая одно из другого находим: [х — х',] = Г21-~1),.
Проинтегрируем зто равенство по г от 0 до сю. При г = 0 выражение в квадратных скобках равно нулю, а при г — г оо можно использовать для х асимптотическое выражение (33.20). В результате получаем 4Е) — ' — — ') =- (21 + Ц д1 —,, дг > о, 01 ) с так что дб~,гд1 < я,г2.
Интегрируя зто соотношение по 1 от 1 до 1д-1, получаем искомое неравенство. Комбинируя его с формулой (133.17), можно доказать, что число дискретных уровней п~ не возрастает с ростом 1. Действительно, при Š— > со, когда справедливо борновское приближение, фазы рассеяния стремятся к нулю, так что бг(со) =- О. Тогда 1 пыг — п1 = — ~бгтг(0) — бг(0)) < 1/2, пгчг — п~ < О. ') Более подробное изложение рассмотренного в этом параграфе круга вопросов (в рамках нерелятивистской теории) можно найти в указанной в примеч. на с.
612 книге деАлъфаро и Реджа Г Л А В А ХЪ'1П НКУПРУГИК СТОЛКНОВКНИЯ я 142. Упругое рассеяние при наличии неупругих процессов Неупругими называют столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния сталкивающихся частиц. Эти изменения мы понимаем здесь в самом широком смысле, в частности, может меняться и самый род частиц. Так, речь может идти о возбуждении или ионизации атомов, возбуждении или распаде ядер. В случаях, когда столкновение (например, ядерная реакция) может сопровождаться различными физическими процессами, говорят о различных каналах реакции. Наличие неупругих каналов оказывает определенное влияние также и на свойства упругого рассеяния.
В общем случае наличия различных каналов реакции асимптотическое выражение волновой функции системы сталкивающихся частиц представляет собой сумму, в которой каждому возможному каналу соответствует по одному члену. Среди них имеется, в частности, и член, описывающий частицы в начальном неизмененном состоянии (как говорят, во входном канале). Он представляет собой произведение волновых функций внутреннего состояния частиц и функции, описывающей их относительное движенио (в системе координат, в которой покоится их центр инерции).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
