III.-Квантовая-механика (1109680), страница 131
Текст из файла (страница 131)
Выполнение этого требования автоматически обеспечивается поставленным на бесконечности граничным условием к решению волнового уравнения или эквивалентным ему 1сьь 3130) правилом обхода в формулах теории возмущений. Пусть переходы с дискретного уровня п в состояния Р непрерывного спектра вызываются постоянным возмущением 1 .
Тогда поправка второго порядка к уровню энергии чн /' ~р.,)'ии Е Е~ ~ — Е„т 10 асср. 138.10)). По правилу 143.10) находим отсюда Г= — 211пЕ~ ~ =2х/ ~1г ~ б1Е~1 — Е )3и в согласии с выражением 143.1) для вероятности перехода. упРуГие Отолкновения ГЛ ХЧП интеграл должен быть постоянной величиной, как это следует из волнового уравнения. Выясним вид волновой функции, описывающей движение частицы с энергией, близкой к одному из квазидискретных уровней системы. Как и в 3128, напишем асимптотический 1на болыпих расстояниях) вид радиальной части волновой функции в форме 1128.1) Лг = — [Аг(Е) ехР( — г) +Вг(Е) ех1э( ' г)~ (134.3) и будем рассматривать Е как комплексную переменную. При вещественных положительных значениях Е Вг = — !Аг(Е)ег""+ Вг!Е)е ™), !г =, 1134.4) причем Аг!Е) = В*!Е) (см.
(128.3), (128.4)); функция Вг(Е) берется здесь на верхней стороне разреза, проведенного вдоль правой вегцественной полуоси. Условие, определяюгцес комплексные собственные значения энергии, заключается в отсутствии в асимптотическом выражении 1134.3) сходящейся волны. Это означает, что при Е = Ео — гТгг2 должен обратиться в нуль коэффициент Вг1Е)1 Вг(Ео — — гТ) = О. 1134.5) Таким образом, квазидискретные уровни энергии, как и истинные дискретные уровни, являются нулями функции Вг1Е).
Однако, в отличие от нулей, соответствующих истинным уровням, они лежат не на физическом листе. Действительно, написав условие (134.5), мы подразумевали, что искомая волновая функция квазистационарного состояния возникает из того же члена в 1134.3), который является расходящейся волной ( ег"') и при Е > О 1в 1134.4)). Но точка Е = Ео — гТ,г2 расположена под правой вещественной полуосью. Попасть в нее с верхней стороны разреза (на которой определены коэффициенты в 1134.4)), не уходя при этом с физического листа, можно лишь путем обхода вокруг точки Е = О. Г!ри этом, однако, ~/ — Е изменит знак, так что расходящаяся волна превратится в сходящуюся. Следовательно, для сохранения расходящегося характера волны переход должен совершаться непосредственно вниз через разрез, так что мы попадем на другой, нефизический, лист.
Рассмотрим теперь вещественные положительные значения энергии, близкие к квазидискретному уровню 1при этом, конечно, подразумевается малость Г; в противном случае такая близость была бы вообще невозможна). Разложив функцию Вг!Е) РезОнАнс нА кВАзнднокРетнОм уРОВне по степеням разности Š— (Ео — ЗГгг2) и ограничиваясь членом первого порядка, напишем В,(Е) = (Š— Ео+ -'Г)Ьь (134.6) Л~ = — [(Š— Ео — — Г)Ьг*е™" + (Š— Ео+ — Г)Ьге ™"~~. (134.7) Фаза бг этой функции дается формулой ехр(2гб~) = ехр(2гб~ ) = Š— Ео — гГ/2 .
(о) Š— Ео -~-гГо/2 = ~1 — ' ~ ехр(2гб, ), (134.8) где ехр(2гб ) = ( — 1)Ы ~Ь|*/Ьь (134.с)) При ~Š— Ео~ >> Г фаза б~ совпадает с б, так что б, есть (о) 1о) значение фазы вдали от резонанса. В области резонанса бг сильно зависит от энергии. Переписав (134.8) с помощью формулы ехр(1агссе Л) 1 + 1Л ехр(2г агс18 Л) = ехр( — 1 агссе Л) 1 — 1Л в виде бг = б, ) — агс18 (134.10) 2(Š— Ео) видим, что при прохождении через всю резонансную область (от Е « Ео до Е » Ео) фаза меняется на ог.
При Е = Ео — гТгг2 функция (134.7)сводится к Ге В1 = — — Ь,е г Если нормировать волновую функцию условием равенства еди- нице интеграла от )г))~2 по области внутри системы, то полный поток в этой расходящейся волне, равный е~гТЬ,*~~, должен со- впадать с вероятностью распада (134.2). Отсюда найдем ~Ь|~~ = 1/(ЬОГ). (134.11) где Ь~ постоянная. Подставив это в (134.4), получим следующее выражение для волновой функции состояния, близкого к квазистационарному: 678 гл хогг упРуГие отолкновения Полученные результаты позволяют определить амплитуду упругого рассеяния частицы с энергией Е, близкой к некоторому квазидискретному уровню составной системы, состоящей из рассеивающей системы вместе с рассеиваемой частицей. В общей формуле (123.11) в члене с тем значением 1, которому соответствует уровень ЕО, надо подставить выражение (134.8).
Тогда получим Д10) = уго)(0) — ехр(2гбг ~)Рг(соз0), (134.12) гг Š— Ее + гГ/2 где уг~) (О) — амплитуда рассеяния вдали от резонанса, не зависящая от свойств квазистационарного состояния (она определяется формулой (123.11) с бг = бг во всех членах суммы) ') . (О) Амплитуду 1'го)(0) называют амплитудой потенциального рассеяния, а второй член в формуле (134.12) -- амплитудой резонансного рассеяния. Последняя имеет полюс при Е = ЕΠ— гТ/2, находящийся, согласно сказанному выше, па нефизическом лис,ге г) Формула (134.12) определяет упругое рассеяние в области резонанса на одном из квазидискретных уровней составной системы.
Область ее применимости определяется требованием, чтобы разность ~Š— ЕО~ была мала по сравнению с расстоянием В до соседних квазидискретных уровней ~Š— ЕО~ << О. (134.13) Эта формула несколько упрощается, если речь идет о рассеянии медленных частиц, т.е. если длина волны частиц в резонансной области велика по сравнению с размерами рассеивающей системы. При этом существенно лишь з-рассеяние; будем считать, что уровень ЕО относится именно к движению с 1 = О. Амплитуда потенциального рассеяния сводится теперь к вещественной постоянной — о (см. 3 132) ') . В амплитуде же резонанс, го) ного рассеяния полагаем г = О и заменяем ехр(2гбо ) единицей, ) Если речь идет о рассеянии заряженной частицы на системе заряженных частиц, то для фаз 5) надо воспользоваться выражением (135.11).
(ег ) Отметим, что формула (133.15) для резонансного рассеяния медленных частиц на положительном уровне е с 1 Р' О при Е, близких к е, полностью соответствует резонансному члену в (134.12). При этом значения Ео и Г даются формулами (133.16), а ввиду малости Е фаза 5, мала, так что гаг ехр(2гб) ~) 1. г) Предполагается, что рассеивающее поле достаточно быстро убывает с расстоянием.
В 5 145 излагаемые результаты будут применены к рассеянию медленных нейтронов ядрами. РезОнАно нА кВАзнднОКРетнОм уРОВне поскольку 60 — — — суй « 1. Таким образом, получаем (О) В узкой области ~Š— Ео~ Г второй член велик по сравнению с амплитудой сг и последняя должна быть опущена. Однако при удалении от точки резонанса оба члена могут сравняться. В приведенных выводах молчаливо подразумевалось, что величина самого уровня Е0 не слишком мала, и резонансная область не находится в окрестности точки Е = О. Если же речь идет о резонансе на первом квазидискретном уровне составной системы, расположенном на расстоянии от точки Е = О, малом по сравнению с расстоянием до следующего уровня (Е0 « В), то разложение (134.6) может стать незаконным; это проявляется уже в том, что амплитуда (134.14) не стремится при Š— у О к постоянному пределу, как это требовалось бы для з-рассеяния согласно общей теории.
Рассмотрим случай близкого к нулю квазидискретного уровня, снова предполагая, что в резонансной области рассеиваемые частицы настолько медленны, что существенно лишь я-рассеяние. Разложение коэффициентов В~(Е) волновой функции должно производиться теперь по степеням самой энергии Е. Точка Е = О является точкой разветвления функций В~(Е), причем обход вокруг нес с верхней на нижнюю сторону разреза преврап1аст В~(Е) в В~ (Е).
Это значит, что разложение происходит по степеням уг' — Е, меняющего знак при указанном обходе. Представим первые члены разложения функции Во(Е) для вещественных положительных Е в виде Во(Е) = (Š— ео + гуъ'Е)Ь0(Е), (134.15) где ео и у-.
вещественные постоянные, а ьо(е) "- функция энергии, тоже разлагаемая по степеням ъ~Е, но не имеющая нулей вблизи точки Е = О') . Квазидискретному уровню Е = Ео — гГ/2 соответствует обращение в нуль множителя Š— ее+ туугЕ, продолженного в нижнюю полуплоскость нефизического листа; поэтому для определения Е0 и Г имеем уравнение к,-уг-„А ~,/А;-;гп=п ~пайн 2 ) Функция Ье(Е) определяет, согласно (134.9), фазу потенциального рассеяния. При рассеянии медленных частиц первые члены ее разложения: Ье(Е) = сопвс 1(1 Ь 1ОЬ). 680 гл хуу~ упРуГие столкновения 1постоянные ео и у должны быть положительными для того, чтобы были положительными Ео и Г).
Так, уровню с шириной Г « Ее соответствует соотношение ео )> 72 между постоянными ео и у. При этом из 1134.16) имеем Ео = ее, Г = 27 Яо. Выражение 1134.15) заменяет собой в рассматриваемом случае формулу 1134.6): соответствующим образом должны быть изменены дальнейшие формулы 1надо заменить везде Ео на ео и Г на 2ууУЕ).
Поэтому для амплитуды рассеяния получим вместо 1134.14) следующее выражение: лу 7 = — ГУ— У 2т(Š— ЕО -~- ГУУ Е) 1134.17) 1мы подставили здесь й = хуг2тЕ)Ь, где т —. приведенная масса частицы и рассеивающей системы). При Š— + 0 эта амплитуда стремится, как и следует, к постоянному пределу 1тем самым оправдывается форма разложения 1134.15)). Отметим, что выражение вида 1134.17) включает в себя также и случай близкого к нулю истинного дискретного уровня составной системы, получающийся при соответствующем соотношении между постоянными ео и у. Если ~ео~ (( у, то для энергий Е « у в знаменателе резонансного члена можно пренебречь первым членом 1Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
