III.-Квантовая-механика (1109680), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Р о ш с н и е. При е -» 0 интеграл во вгором члене формулы (130.13) принимает вид = ))) , „, ,„ „, 8 й' о — — — «1 й = — /)) ПГГ)П)г )е' " " — — ГЛ»а717 = 1 Р2 а2 2 / / П(г)П(г ) ,I,Г' (г — г ( мы воспользовались здесь формулой ,ЕГ„ , ~ 4л «1~7« 1 е' 82 (2я)~ ~г — г'~ (см. П, 3 51). Таким образом, амплитуда рассеяния 3 132 РАссеяние медленных НАстиц (2) х 1 у=— 21г 1п)г2г( уlгго)] откуда сечение г я 1 = 2~~Я й 1пг г2((ЗЬ о)) + х~/4 (4) В случае центрального поля эта формула дает 2т /' г 8т )г)г' >. г бг l ггг /l '> Второй член в формуле (Ц всегда положителен 1как это ясно из исход- ного выражения интеграла в е-пространстве).
Отсюда следует, что в поле отталкивания (с' ) 0) первое борновское приближение дает всегда завы- шенный, а в поле притяжения (У < 0) — заниженный результат для сечения рассеяния при малых энергиях. т. Определить зависимость от энергии амплитуды рассеяния медленных частиц в двумерном случае. Р е гп е н и е. Волновая функция на больших расстояниях дается в дву- мерном случае формулой ( Ц задачи к 3 124.
Рассуждения, аналогичные про- веденным в трехмерном случае, показывают, что главный вклад в рассеяние при малых энергиях вносит состояние с т = О, так что амплитуда рассе- яния 1 но зависит от угла рассеяния ~р. Это позволяет записать волновую функцию на всех расстояниях р )) а, просто заменив е* Р/ 'р на точное ре- шение уравнения Шредингера свободного движения, имоющсс такую асимп- тотику. (См. примеч. на с. 204 и задачу б к 3 126.) Таким образом, Ю 2 Перейдем в (Ц к области малых расстояний р « 1гг1г, используя приближен- 00 ное выражение для Н1 11х) при малых х: Н1 11х) = — г — 1и, ,'х~ << 1, я Тх у = е, С вЂ” постоянная Эйлера.
Получаем с г)г 1 + 1 — 1п — — 1" — 1п р. Формула (2), как и должно быть, соответствует общему ревгению уравнеа' 1 8 г1г)г 1 ния — — р = О, справедливого в области — » р» а, где в уравне2т р 11р г1р е нии Шредингера можно пренебречь членами с 1г"(х) и Е: сг -~- со 1пр. Как н в (132.3), (132.9) отношение постоянных сг /сг определяется репгением уравнения Шредингера с Е = 0 в области р а. Это отношение вещественно и не зависит от энергии. Обозначим сг/сг = — !Его, (3) где го — постоянная размерности длины.
Сравнивая (2) с (3), находим упРуГие стОлкнОВения ГЛ ХЧП я 133. Резонансное рассеяние при малых энергиях Особого расслютрения требует рассеяние медленных (Йа « 1) частиц в поле притяжения в случае, когда в дискретном спектре отрицательных уровней энергии имеется а-состояние с энергией, малой по сравнению с величиной поля с,г в пределах радиуса а его действия; обознаэим этот уровень буквой е (е < 0). Энергия Е рассеиваемой частицы, будучи малой величиной, близка к уровню е, т.
е. находится, как говорят, почти в резонансе с ним. Это приводит, как мы увидим, к значительному увеличению сечения рассеяния. Наличие неглубокого уровня можно учесть в теории рассеяния формальным методом, основанным на следующих замечаниях. В точном уравнении Шредингера для функции у = тйд(т) (при 1 = 0) ~л + —,1~Š— бг(т))~ = О, во «внутренней» области поля (т < о) агожно пренебречь Е по сравнению с 11': — — 1У(т)~ = О, т а. г. бг (133.1) Во «внешней» же области Ут » а), напротив, можно пренебречь ВЕЛИЧИНОЙ ПОЛЯ 11": ,"си+ —,Еу = О, т » а.
(133.2) Решение уравнения (133.2) должно было бы быть «сшито» при некотором т1 (таком, что 111Й » т1 » а) с решением уравнения (133.1), удовлетворяющим граничному условию ~(0) = 0; условие сшивания заключается в непрерывности отношения ~'/~, нс зависящего от общего нормировочного множителя волновой функции. Однако вместо того, чтобы рассматривать движение в области т а, мы наложим на решение во внешней области должным образом подобранное граничное условие для зг'/у при малых т; поскольку внешнее решение медленно меняется при т » О, можно формально отнести это условие к точке т = О. Уравнение Мы види»1,что в двумерном случае,вотличие от трехмерного, сечение рассеяния возрастает с уменыпением энергии. Заметим, что при рассеянии на бесконечно-высоком цилиццрическом потенциальном барьере радиуса а постоянная го в (3) совпадает с а.
О1ЗЗ РЕЗОНАНОНОЕ РАООЕЯНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ 667 (133.1) в области Г а не содержит Е; поэтому заменяющее его граничное условие тоже не должно зависеть от энергии частицы. Другими словами, оно должно иметь вид (133.3) где гг-. некоторая постоянная. Но раз АГ не зависит от Е, то зто же условие (133.3) должно относиться и к решению уравнения Шредингера для малой отрицательной энергии Е = — ~е~, т.е. к волновой функции соответствующего стационарного состояния частицы.
При Е = — (е~ имеем из (133.2) х = Ао ехр( — г) (133. 4) (Ао--. постоянная), и подстановка этой функции в (133.3) пока- зывает, что гг есть положительная величина, равная МГ2т)я) АГ = а (133.5) Применим теперь граничное условие (133.3) к волновой функции свободного движения Х = сопзо зш(йг+ бо), представляющей собой точное общее решение уравнения (133.2) при Е ) О. В результате получим для искомой фазы бо гг (е( с16бе = — — = — ~г— ~/ Е (133.6) ( огбо 1) 2гА Ь(сГК ба — г) Подставив сюда (133.6), получим У=- .гг -г. ге (133.7) Поскольку энергия Е ограничена здесь лишь условием ай « 1 (но она не должна быть малой по сравнению с ~е~), то фаза бо, а с нею и амплитуда е-рассеяния могут оказаться не малыми величинами.
Фазы же бг с 1 ) О, а с ними и соответствующие парциальные амплитуды остаются по-прежнему мальвин. Поэтому полную амплитуду можно по-прежнему считать совпадающей с амплитудой э-рассеяния 668 упРуГие Отолкноиения ГЛ ХЧП и для полного сечения рассеяния (133.8) Таким образом, рассеяние по-прежнему нзотропно, но его сечение зависит от энергии, и в области резонанса (Е ~е~) оказывается большим по сравнению с квадратом радиуса действия поля аз (поскольку 1/Г' » а). Подчеркнем, что вид формулы (133.8) не зависит от деталей взаимодействия частиц на малых расстояниях между ними и всецело определяется значением резонансного уровня ').
Полученная формула имеет несколько более общий характер, чем сделанное при ее выводе предположение. Подвергнем функцию 11(г) небольшому изменению; при этом изменится и значение постоянной 1е в граничном условии (133.3). Соответствующим изменением 01Г) можно добиться обращения те в нуль, а затем сделать малой отрицательной величиной. При этом мы получим ту же формулу (133.7) для амплитуды рассеяния и ту же формулу (133.8) для сечения.
В последней, однако, величина ~е~ = б Рез/2П1 является теперь просто характерной для поля 111,Г) постоянной, но отнюдь не уровнем энергии в этом поле. В таких случаях говорят, что в поле имеется виртуальный уровень, имея в виду, что хотя в действительности никакого близкого к нулю уровня нет, но уже неболыпого изменения поля было бы достаточно для того, чтобы такой уровень появился. При аналитическом продолжении функции (133.7) в плоскости комплексного Е на левой вещественной полуоси гй переходит в — ъ/ — 2шЕ(й (см. 3 128), и мы видим, что амплитуда рассеяния имеет полюс при Е = — ~е ~ в соответствии с общими результатами 3 128.
Напротив, виртуальному уровню, как и следовало, не соответствует на физическом листе никакой особенности в амплитуде рассеяния (полюс жс Е = — ~е~ амплитуда рассеяния имеет на нефизическом листе — см. примеч. На с. 637). С формальной точки зрения формула (133.7) соответствует случаю, когда в выражении (125.15) 1 ,79 = ве(1) —. 111 первый член разложения функции до® отрицателен и аномально мал. Для уточнения формулы можно учесть еще и следующий ') Формула (133.8) была впервые получена Вагнером (Е '111дпег, 1933); идея изложенного вывода принадлежит Бете и Пайерлеу (П. А. Ве111е, Я.
Ре1еГЬ, 1933). 5133 РЕЗОНАНОНОЕ РАОСЕЯНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ 669 член разложения, написав то= (133.9) — ме -~- (1/2)той — Ж (Л. Д. Ландау, Я. А. Сморвдинский., 1944); напомним, что при достаточно быстром убывании поля функции 67(й) разлагаются по четным степеням )с см. 5 132.
Мы обозначили здесь через — »го величину йо(О), имея в виду сохранить обозначение»г для величины (133.5), связанной с уровнем энергии е. Согласно сказанному выше Аг определяется как значение — гй = тс, обращающее в нуль знаменатель в (133.9), т.е.корень уравнения Рг = »го + (1/2)тот« . Поправочный член то'к27'2 в знаменателе в (133.9) мал по сравнению с»го в силу предполагаемой малости й, но сам по себе он имеет «нормальный» порядок величины: коэффициент то а (этот коэффициент всегда положителен — см.
задачу 1). Следует подчеркнуть, что учет этого члена является еще законным уточнением формулы для амплитуды рассеяния, в которой пренебрежено вкладами от моментов ) ф О: он дает в Т" поправку относительного порядка ай, между тем как вклад от рассеяния с 1 = 1 имеет относительный порядок (ай) . При к, — » О амплитуда То — » — 1/»со, т.е. 1/»го совпадает с введенной в предыдущем параграфе длиной рассеяния о. Коэффициент то в формуле 60()с) ив э й с1650 = — 1!а+ Я2)ток0 (133 11) называют эффективным радиусол« взаимодействия г) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
