III.-Квантовая-механика (1109680), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Значение М! = 1 может осуществляться как прн 1 = 1, так и прн 1 = 2. Вычтя соответственно этому из второго представления первое и разлагая результат на непрнводимые части, найдем, что спину 1 = — 1 соответствуют состояния В14, Ввю Вз Наконец, значение М1 = О может осуществляться во всех случаях, когда возможно Л1! = 1 н, кроме того, при 1 =- О. Вычитая соответственно этому нз третьего представления второе, найдем два состояния Ак, соответствующие спину 1 = О. 2. Определить типы симметрии полных (координатных) волновых функций и статистические веса соответствующих уровней для молекул 521 3105 КЛАССИФИКАЦИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ТЕРМОВ ггСггН4, ггСггН4, 44ЕггэО4 1все молекулы имеют одинаковую форму); спины г Н) =- 1, 4('~С) = 1/2, 4(МН) = 1). е ш е н и е.
Тем же способом, который был применен в тексте к молекуле Сг Н4, найдем следующие состояния (оси координат выбраны так гг же, как и в тексте): 3. То же для молекулы Н Нг Р е ш е н и е. Подобно тому как это было сделано в тексте для молекулы Ы41'Нг находим состояния: ЗОАИ ЗАг, 24Е. Для нормального электронного и колебательного герма при различных значениях квантового числа А. возможны следующие состояния: 4.
То же для молекулы Сг Нэ (см. рис. 43 е, симметрия ТУгз). гг Р е ш е н и е. Возможны состояния следующих типов: УАгк, 1А4„, ЗАг, 13Аг, ОЕА, 11Е„. Для нормального электронного и колебательного терма получаются следующие состояния: 5. То же для молекулы метана С Н4 (атомы Н в вершинах, атом С— в центре тетраэдра). Р е ш е н и е. Молекула относится к типу шарового волчка и имеет симметрию Тз. Следуя тому же методу, найдем, что возможны состояния типов: 5Аг, 1Е, ЗЕ4 (им соответствует полный спин молекулы, равный соответственно 2, О, 1).
Вращательные состояния шарового волчка классифицируются по значениям 4 полного момента. (24 -~- 1) вращательных функций, относящихся к данному значению 4', осуществляют (24' -~- 1)-мерное представление группы О, изоморфной группе 2"4, из которой она получается 522 многоатомные мОлекулы Гл хп! заменой всех плоскостей симметрии перпендикулярными им осями второго порядка. Характеры этого представления определяются по формуле (98.3). Так,например, для 7 = 3 получаем представление с характерами Е 8Сз 6Сг 6С4 ЗС4 7 1 — 1 — 1 — 1 В ием содержатся следующие неприводимые представления группы Сп Аг, гг, гю Рассматривая снова вращательную структуру нормального электронного и колсбательного терма, имеем отсюда, что при з = 3 состояния с симметрией Аг полной волновой функции могут быть только положительными, а уровни состояния Г'! — как положительными, так и отрицательными.
Для нескольких первых значений,У получаются таким жс образом следующие состояния (пи!нем их вместе с их ядерными статистическими весами): Г Л А В А Х1Ъ' СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ 8 106. 3~-символы Полученное в 231 правило сложения моментов определяет возможные значения полного момента системы, состояп1ей из двух частиц (или более сложных частей), обладающих моментами 11 и 22 ') . Это правило в действительности тесно связано со свойствами волновых функций по отношению к пространственным вращениям и непосредственно следует из свойств спиноров. Волновые функции частиц с моментами 21 и 12 представляют собой симметричные спиноры рангов 221 и 212, а волновая функция системы дается их произведением ггг ггг ,Р) Лл...ф121, (106.1) Симмстризуя это произведение по всем индексам, получим симметричный спинор ранга 2(21 + 12), отвечающий состоянию с полным моментом у1+ у2.
Далее, упростим произведение (106.1) по одной паре индексов, из которых один должен принадлежать гр~ ~, а другой гр~ ~ (в противном случае получится нуль); при этом, в силу симметрии каждого из спиноров ф10 и гр121, безразлично, какие именно индексы берутся из Л, р,..., и р, сг,...
После симметризации получим симметричный спинор ранга 2(21+ 22 — 1), отвечающий состоянию с моментом г1+ 22 — 1г) . ') Строго говоря, мы везде будем иметь в виду, не оговаривая этого каждый раз особо, систему, состоящую из частей, взаиьюдействие которых настолько слабо, что в первом приближении их моменты можно считать сохраняющимися. Все излагаемые ниже результаты относятся, конечно, не только к сложению полных моментов двух частиц (или систем), но и к сложению орбитального момента н спина одной и той жс системы в предположении достаточной слабости спин-орбитальной связи.
г) Во избежание недоразумений полезно сделать следующее замечание. Волновая функция системы из двух частиц есть всегда спинор ранга 2Ог т гг), вообще говоря, отличного от 2г', где 1 — полный момент системы. Такой спинор, однако, может быть эквивалентен спинору более низкого ранга. Так, волновая функция системы двух частиц с моментами д = гг = 1/2 есть спинор второго ранга: но если полный момент у = О, то зтот спннор антисимметричен и потому сводится к скаляру. Вообще полным моментом 1 определяется симметрия спинорной волновой функции системы: она симметрична по 21 индексам и антисимметрична по остальным индексам. сложение мОментОВ ГЛ.
ХГ" Продолжая этот процесс, мы найдем в соответствии с известным уже нам правилом, что ) пробегает значения от )1 + )з до (()1 — уэ(, причем каждое по одному разу. С математической точки зрения, реп идет здесь о разложении прямого произведения П(л) х .0(т') двух неприводимых представлений группы вращений (с размерностями 2т1 + 1 и 2ув + 1) на неприводимые части.
В этих терминах правило сложения моментов записывается в виде разбиения г)(л) пЫ р01-ем) + р01-ем 1) + + 1)(л мй Для полного решения задачи о сложении моментов мы должны еще рассмотреть вопрос о составлении волновой функции системы с заданным значением полного момента по волновым функпиям составляющих се двух частиц. Начнем с наиболее простого случая сложения двух моментов в равный нулю суммарный момент. При этом, очевидно, должно быть Т1 = )2, а проекции моментов НТ1 = — тз. Пусть ф „,— нормированные волновые функции состояний одной частицы с моментом ~ и его проекцией тп (в неспинорном представлении).
Искомая волновая функция системы фо представляет собой сумму произведений волновых функций обеих частиц с противоположными значениями пм О общее значение )1 и )э). Множитель перед суммой есть результат нормировки. Что касается коэффициентов в сумме, то все они должны быть одинаковы по своей абсолютной величине — уже в силу того, что все значения проекций т моментов частиц равновероятны. Порядок же чередования знаков в (106.2) легко найти с помощью спинорного представления волновых функций. В спинорных обозначениях сумма в (106.2) представляет собой скаляр (полный момент системы равен нулю!) Ф(1)ЛН- Ф(2) (106.3) составленный из двух спиноров ранга 2)1 Заметив это, мы найдем знаки в (106.2) непосредственно из формулы (57.3).
Следует, однако, иметь в виду, что однозначными являются, вообще говоря, лишь относительные знаки членов суммы (106.2), общий же знак может оказаться зависящим от зюз Ззтсимволы «порядка сложенияз моментов. Действительно, если опустить все спинорные индексы (среди которых 1 + т единиц и 1 — т двоек) у ф(~) и поднять у ф(~), то скаляр (106.3) умножится на ( — 1) г, т. е. при полуцелом з изменит знак. 2' Далее, рассмотрим систему с равным нулю полным моментом, составленную из ТРех 1асттЩ с з!Омснтами Уы 22, зз и их пРоекЦиЯми ты тг, тз. Условие Равенства полного момента нУ- лю подРазУмевает, что тз + тг + тз = О, а гы 22, гз имеют такие значения, что каждое из них может получиться в результате вектоРного сложениЯ ДвУх ДРУгих, т.е.
геометРически зм 22, зз должны быть сторонами замкнутого треугольника: другими словами, каждое из них не меньше разности и не больше сумъзы двух других: Й вЂ” 22 ~ ~ .гз ~ А + гг и т. д. Очевидно, что алгебраическая сумма 11 + 22 + зз является при этом целым числом. Волновая функция рассматриваемой системы имеет вид суммы — ( уз 22 уз ) (Н,(2) 00 106 4 ~тЗ тг т~( з'ВтАгтАзтз тзтзтз взятой по значениям каждого из тг в пределах от — гз ДО ги Коэффициенты в этой формуле называют 32-символами Вагнера. По определению, они отличны от нуля только при условии т1+ тг+ тз = О.
При перестановке индексов 1, 2, 3 волновая функция (106.4) может измениться лишь на несущественный фазовый множитель. Фактически Зутсимволы могут быть определены как чисто вещественные (см. ниже) и тогда неоднозначность фе может заключаться лишь в неопределенности ее общего знака (как это имеет место и для функции (106.2)). Это значит, что перестановка колонок Ззтсимвола может либо оставлять его неизменным, либо менять его знак.
Наиболее симметричный способ определения коэффициентов в сумме (106.4), которым и принято определять Зг-символы, заключается в следующем. В спинорных обозначениях фо представляет собой скаляр, составленный как произведение трех спиноров з1 ( ) "", зР( т'""', зг(~)~'""', упрощенное по всем парам индексов, каждая из которых относится к двум различным спинорам. Условимся, что в каждой паре, относящейся к частицам 1 и 2, спинорный индекс будет писаться сверху у ~(1) и снизу у ф(2>; в паре, относящейся к частицам 2 и 3, -- сверху у ф~ ~ и снизу 526 СЛО'КЕНИЕ МОМЕНТОВ ГЛ. ХГ у ф~~); в паре, относящейся к частицам 3 и 1, — сверху у ф~~~ и снизу у л/г ~ 1легко подсчитать, что всего имеется соответствен- ИО 11 + 12 — 33, 12 + Уз — 11 и 11 + 13 — 12 па|1 кажДОТО из этих «сортовз).
Этим правилом знак 4ле устанавливается однозначно. Очевидно,что при таком определении циклическая перестановка индексов 1, 2, 3 оставляет уЗО неизменной. Это значит, что 3/тсимвол не меняется при циклической перестановке его столбцов. Перестановка же двух 1лкзбых) индексов приведет, как легко сообразить, к необходимости поднять нижние и опустить верхние индексы во всех 11 + 12 + уз парах. Это значит, что л/1о умножится на 1 — 1)л зз+!', другими словами, 31тсимволы обладают свойством з2 зл зз ) ( 1)ль/зтзз (31 32 33 1 и т д (106 5) ( )= 1 ') д т2 шл шз/ 1,1111 Ш2 ШЗ/ т.е. меняют знак при перестановке двух колонок, если 31+ 12+ + 33 нечетное числО. Наконец, легко видеть, что !1 .6 уз ) ( 1)зльззл-!3 ( !1 уз 23 ) (106 6) ( — п11 — т2 — тз/ (Ш1 Ш2 1113/ Действительно, изменение знака 3-компонент всех моментов может рассматриваться как результат поворота на угол я вокруг оси у.
Но такое преобразование эквивалентно поднятию всех нижних и опусканию всех верхних спинорных индексов 1см. 158.5)). От выражения 1106.4) можно перейти к важной формуле, определяющей волновую функцию ф системы, состоящей из двух частиц и обладающей заданными значениями 1 и т. Для этого будем рассматривать совокупность частиц 1 и 2 как одну систему. Поскольку момент 3 этой системы вместе с моментом 13 частицы 3 складывается в равный нулю суммарный момент, должно быть 2 = /3, т = — тз. Согласно 1106.2) можно тогда написать 4~~ =,: — —, ~~' 1 — ~)' Фз 1, 1106.7) т Эту формулу надо сравнить с выражением 1106.4) 1в котором пишем /, — т вместо уз, шз). При этом, однако, надо предварительно учесть, что правило составления суммы в 1106.7) согласно 1106.3) не соответствует правилу составления суммы 1106.4): для приведения 1106.7) к 1106.4) надо, как легко сообразить, переставить верхние и нижние индексы в парах, соответствующих 527 8 л06 83-символы частицам 1 и 3; это приводит к появлению дополнительного мно- жителя ( — 1)3' дгтдг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
