III.-Квантовая-механика (1109680), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Операторы Хх, Хл имеют матричные элементы только для переходов с изменением !Г на единицу, а ХС --. только диагональные элементы (см. формулы (27.13), в которых надо писать Х, Л вместо Ь, ЛХ). Поэтому операторы 1~, /„..7-, а с ними и Й имеют 1 ъсз кВАнтОВАние ВРАщения ВОл 1кА (103.12) Функции, отличающиеся индексом + и —, обладают различной сиълметрией (по отношению к ъъеняющеълу знак Й отражению в плоскости, проходящей через ось ~), .а потому матричные элементы для переходов между ниъли исчезают. Следовательно, можно составлять секулярные уравнения в отдельности для состояний + и состояний —.
Гамильтониан (103. Ц (вместе с правилами коммутации (103.3)) обладает специфической симметрией он инвариантен по отношению к одновреъъенному изменению знака любых двух из операторов Х4,,7ш Х4. Такая симметрия формально соответствует группе Пг. Поэтому уровни асимметричного волчка можно классифицировать по неприводимым представлениям этой группы. Таким образоъц имеется четыре типа невырожденных уровней, соответствующих представлениям А, Вы Вз, Вз (см. табл. 7, с.
460). Легко установить, какие именно состояния асимметричного волчка относятся к каждому из этих типов. Для этого надо выяснить свойства симметрии функций ~ ъь и составленных из них функций (103.12). Это можно было бы сделать непосредственно на основании выражений (103.8). Проще, однако, исходить из более обычных сферических функций, заметив, что по своим свойствам симметрии волновые функции состояний с определенными значениями проекции момента на ось ~ совпадают с собственными функциями момента ъ)0ь Ъ ъь(В, У) е '~"'Озь(0), (103.13) матричные элементы лишь для переходов с й — ъ й, й щ 2.
Отсутствие матричных элементов для переходов между состояниями с четными и нечетными Й приводит к тому, что секулярное уравнение степени 27+ 1 сразу распадается на два независимых уравнения степеней 7 и 7 + 1. Одно нз них составляется из матричных элементов для переходов между состояниями с четными, а другое с нечетными значениями Й. Каждое из этих уравнений в свою очередь может быть приведено к двум уравнениям более низкой степени.
Для этого надо пользоваться матричными элементами, определенными не с помощью функций ф ъы а с помощью функций 504 мнОГОАтомные мОлекулы ГЛ ХП! где й, с7с — сферические углы в осях Щ, а знак означает здесь слова «преобразуется как»; комплексное сопряжение в (103.13) связано с измененным знаком в правых частях соотношений коммутации (103.3) . Поворот на угол н вокруг оси 7, (т. с. операция симметрии Сз~~~ ) умножает функцию (103.13) на ( — 1)~: С~~О: ~7ь — с ( — 1) ~~,77с. Операцию Сз~~~ можно рассматривать как результат последовательно проведенных инверсии и отражения в плоскости ~~; первая операция умножает с7с7ь на ( — 1), а вторая (изменение ,7 знака ес) эквивалентна изменению знака 7с. Учитывая определение функции 07 Ь (28.6), получим поэтому Сз: т',и -+ ( — 1) +"сг7 ы Наконец, при преобразовании С~~ = С~~~)С74) имеем сс) 7л (4 С2": 4~д, — > ( — 1)~сГ7 Учитывая эти законы преобразования, найдем, что состояния, отвечающие функциям (103.12), относятся к следующим типам симметрии: (103.14) Путем простого подсчета легко найти число состояний каждого типа при заданном значении,7.
Именно, типу А и каждому из типов В7, Вз, Вз соответствуют следующие числа состояний: (103.15) четные 7, четные,7, нечетные 7, нечетные,7, четные 7, четные 7, нечетные,7, нечетные .7, четные нечетные четные нечетные четные нечетные четные нечетные 7с — А, й — ВМ 7с — Вь 1 — Вм ю — в, 7с — В, 7с — А, й — Ве. 6702 кВАнтОВАние ВРАщения ВОл'лкА У асимметричного волчка имеют место правила отбора для матричных элементов по отношению к переходам между состояниями типов А, Вп В2, Вз, которые легко получить обычным способом из воображений симметрии.
Так, для компонент векторной физической величины А имеют место правила отбора: для А ' А «э В' ) ВК) «-у В'и) а АВ: А « ' В2~) Вул~~ ' ' Взл~) (103.16) з А~:А«уВ«~~, В2~~~+Вз~~ (для ясности указываем в виде индекса у символа представления ось, поворот вокруг которой имеет в данном представлении характер +1). Задачи 1. Найти волновые функции состояний ~УЛХА) симметричного волчка прямым вычислениелг как собственных функций операторов Л, Х„Х« (Р. аелс)ле, Н. Набетасбег, 1926). Р е я е н и е. Имея в виду получить уэмл в функции углов Эйлера а, д, т, надо выразить через них операторы проекций мол«ента на неподвижные оси х, у, -. Поскольку оператор проекции момента на какую-либо ось есть — лд«дел, где р — угол поворота вокруг этой оси, то можно написать, д-.д-.д з = — л, д„= — « —, э, = — л' дзл, ' дрв дел ' где р,, рю р„углы поворотов вокруг соответствующих осей.
Производные по этим углам можно выразить через производные по а, д, у, вспомнив, что бесконечно малые повороты складываются как векторы (направленные вдоль осей поворотов). Направления векторов ба, бд, бт бесконечно малых поворотов, описываемых в зйлеровых углах, показаны на рис.
20 (с. 270). Проецируя их на неподвижные оси хуе, найдем углы поворотов вокруг этих осей в виде 6«е, =- — япа бд+ сова япдб у б«ев —— сова бд-Р япаяпд6 у, 6«е, = ба+ совд6 у. Отсюда обратно ба = — сск д сов а 6лл — осе д яп а бр„+ б р„ бд .= — япа б~р, е сов а бр„, сова б япа б т= . «г, = . Фв. япд ' япд С помощью этих выражений находилл д . д ° ° ду — л ( — совасскд — япа + ), да дд япд ду) д д влпа д 'у — л ( — сов а с«к д — — сов а — + — ), да дд япдду) ' д 506 гл хп1 многоктомные мОлекулы при воздействии на функцию ~йзмь операторы э', =- — гд/да и Хс =- — н3/дз (О есть угол поворота вокруг оси Д заменяются на М и й 1соответствующая зависимость волновой функции от углов Эйлера а и т дается множителем ехр1гОЛХ+ г уй)).
После этого будет Х> .=,7, + ч/г =- е' ( — — М с18)1 4- ~,дб юп,З/ ' ,„Г д й / = .7, — г/э — — е '" ~ — — — 34 с18,3 -> д,З з|пр/ Дальней|пий вывод в точности соответствует выводу, произведенному в конце 3 28. Исходим из равенства Хг15ззь =- О, имеющого место для волновой функции с ЛХ =- /, Отсюда имеем уравнение (- д й — — /с183 9 4~ззь = О. д,3 зш/4/ Нормированное решение этого уравнения — 12/ + Ц' (со ~)"'(---')""";"' 1нормировочный интеграл сводится к В-интегралу Эйлера). Это выражение действительно совпадает, с точностью до фазового множителя, с функцией 2/-~ 1 00 1 ° сер.
158.26)); фазовый множитель выбран в соответствии с определением в 1103.7). Волновые функции с ЛХ ( / вычисляются затем путем повторного применения к фззь формулы Окончательный ответ совпадает с 1103.8), где функции 17ьм даются фор- 00 мулами 158.9Н58.1Ц (причем надо учесть свойство симметрии этих функций (58.18)). 2. Вычислить матричные элементы (./й'~Н~/й) для асимметричного волчка. Р е ш е н и е. С помощью формул 127.13) находим 1й)/С Д = Д3ч ~й) =. — ~р/1з -~- Ц вЂ” й~], 2 1й) /~з)й + 2) = 1й + 2'ь/с (й) = - 1й)/„~й + 2) = - (й + 2(/„~й) = 1 йИ 7 й — Ц1з + й+ Ц1/ + й 4- 2) 4 1диагональные индексы 3, / у матричных элементов для краткости везде опускаем).
Отсюда получаем для искомых матричных элементов 507 8103 кВАнтОВАние ВРАщения ВОл 1кА гамильтониана ) 6' 62 (Ь(Н(Ь) .= — — (а+ Ь)(г(Е -~- Ц вЂ” 6 ) — , '— 06, 4 2 (6 Н Ь + 2) = (Ь -~ 2~Н~Ь) =- = — (а — Ь)ДЛ вЂ” 6)(Š— 6 — Ц(Е+ 6+ Ц(Е+ Ь+ 2). (Ц 8 Матричные элементы по отношению к функциям (103.12) выражаются через элементы (Ц согласно соотнопгениям (Ь ~ ~Н~Ь~) = (ЦН)Ь), (1 ш )Н(1ш) = (1)ЕЕ(Ц к (1(ЕЕ! — Ц, (Ь ~')Н~Ь+ 2, +) = ЯН~Ь+ 2), 6 ф О, (О+ )Н/2+) = 212(0/Н/2). 3. Определить уровни энергии асимметричного волчка при Е =.
1. Р е ш е н и с. Секулярное уравнение третьей степени распадается на три уравнения первой степени. Одно из них дает 62 Ег = (О + /Н!О+) = — (а + Ь). (3) 2 Отсюда можно сразу написать два других уровня энергии, так как заранее очевидно, что три параметра а, Ь, с входят в задачу симметричным образом. Поэтому 6г 62 Ег = — (а-~ с), Ег = — (Ь-(-с). (4) 2 2 Уровни Ег, Ег, Ег относятся соответственно к типам симметрии Вг., Вг, Вг ) . Волновые функции этих состояний Ы1 = ф10 Фг = 411 'Ьг = Ф11. 4. То же при,Е = 2. Р е ш е н и с. Секулярное уравнение пятой степени распадается на три уравнения первой и одно второй степени.
Одно из уравнений первой степени дает 62 Ег =- (2 — )Н~2 — ) =- 26 с+ — (а -~- Ь) (5) 2 (уровень типа В1 ). Отсюда делаем вывод, что должны быть еще два уровня (типов Вг и Вг): 62 62 Ег = 262Ь+ — (а+ с), Ег = 2620+ — (Ь+ с). 2 2 ') В задачах 2 — 5, с целью упрощения записи формул, пользуемся обозначениями а = 1/ЕА, Ь = 17ЕВ, с = 1!Ес. ) Это следует непосредственно из соображений симметрии. Так, энергия Ег симметрична по отношению к параметрам а, и Ь; такой должна быть энергия состояния, симметрия которого по отношению к осям С и П одинакова (состояние типа Вг). 508 Гл хп! многоьтомные мОлекулы Этим трем уровням отвечают волновые функции Фг Фзз Фз Фз1 Фз Фзг Уравнение второй степени будет следующим: (О+ ~Н)0+) — Е (2-> )Н(0+) = О. (6) (2+ ~Н,'О+) (2 Е )Н(2З-) — Е Решив его, получим Еч з =- 6~(а е Ь+ с) к 6 )(а -1- Ь т с) — 3(ЕЬ т Ьс т ас)) ~ .
(7) Эти уровни относятся к типу А. Соответствующие им волновые функции— линейные комбинации функций 1Ьзе я 4~э~к 6. То же для У =- 3. Р е ш е н и с. Секулярнос уравнение седьмой степени распадается на одно первой и три второй степени. Уравнение первой степени дает Е1 =- (2 — ~Н~2 — ) =- 26~(а+ Ь+ с) (3) 1уровень типа А). Одно из уравнений второй степени есть уравнение (6) предыдущей задачи (с другим значением 3). Его корни Екз =.
(56й/2)(а+ Ь) + 6~с х 6~~41а — Ь) + с + ЕЬ вЂ” ас — Ьс)Н~ 19) (уровни типа В1). Остальные уровни получаются отсюда перестановкой параметров а, Ь, с. 6. Определить расщепление уровней системы, обладающей квадрупольныл1 моментом, в произвольном внешнем электрическом поле.
Р е ш е н и е. Выбрав в качестве осей координат главные оси тензора д~1г/дл,дзз (ср. задачу 3, 3 76), приведем квадрупольную часть гамильтониана системы к виду Й = Ау, + Вуэ + Сэ,', А+ В+ С =- О. Ввиду полной формальной аналогичности этого выражения с гамильтонианом (103.1) поставленная задача эквивалентна задаче о нахождении уровней энергии асимметричного волчка, с тем лишь отличием, что теперь сумма коэффициентов А + В -~- С = О, а момент может иметь и полуцелые значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
