III.-Квантовая-механика (1109680), страница 144
Текст из файла (страница 144)
з 146 взхимоднйотвин в коннчном состоянии пгн гкхкциях 741 ОСНОВНОЙ ВКЛаД В гдр ДаЕт СфЕРИЧЕСКаЯ ВОЛНа (СОДЕРжаЩаЯ МНО- житель ) ~г). Эта волна представляет собой совокупность парциальных волн с различными эначениялги 1, амплитуды которых являются соответствующими амплитудами рассеяния. Для определения квадрата ~гор(а) ~ достаточно при этом ограничиться лишь з-волной, поскольку при малых энергиях амплитуды рассеяния с 1 ф 0 относительно малы. Согласно формуле (133.7) имеем, таким образом, (146.2) где зс = эужен/й, а е есть энергия связанного (или виртуального) состояния системы двух нуклонов') .
Подставив это выражение в (146.1), получим йпр — — сопзФ ., д'р Е+ (е~ (146.3) Е4Е сйпе = сопзФ. Е-Г ф (146.4) Мы видим, что взаимодействие нуклонов приводит к появлению в области малых Е максимума в распределении (при Е ~е~) ') . Малым значениям относительного импульса (р « ро) отвечают в лабораторной системе координат малые углы 0 между импульсами обоих нуклонов. Поэтому наличию максимума в распределении по Е соответствует в лабораторной системе угловая корреляция между направлениягии вылета нуклонов, проявляющаяся в повышенной вероятности малых значений О.
) Мы имеем здесь в виду пару пр с параллельныл~и или антипараллельнымн спинами, или пару ип с антипараллельными спинами. В случае же пары рр ситуация осложняется кулоновым отталкиванием; этот случай должен рассматриваться на основе теории, изложенной в З 138. ) Строго говоря, от Е ъюгут зависеть (через посредство остальных частей волновой функции всей систелгы продуктов реакции) также и постоянные коэффициенты в формулах (146.3), (146.4). Эта зависимость, однако, слабая — как функция от Е этот коэффициент заметно меняется лишь на протяжении всего интервала энергий ( Ее), которую может приобрести в данной реакции пара нуклонов. Поэтому для распределения в области Е « Ес этой зависимостью можно пренебречь по сравнению с сильной зависимостью, характеризуемой формулой (146.4).
Таким образом, распределение по направлениям импульса (в системе центра инерции двух нуклонов) иэотропно. Распределение же по энергиям относительного движения дается формулой 742 ГЛ ХУП! неупгуГие Отолкновения Пусть р1 и р2 . импульсы нуклонов в лабораторной системе. Тогда 1 Ро = Р1+Рзр Р = (Р2 — Р1) (напомним, что приведенная масса двух одинаковых частиц есть туР2). Перемножив векторно эти два равенства, получим ~РОР1 = ~Р1Р2]; пРи Р << РО ОтСЮДа имЕЕм 2 рор г = р1р2 з)п д — д, РВ или 0 = 4Р Г/РО, гДе РХ попеРечнаЯ (по отношению к напРавлению ро) компонента вектора р, а д малый угол между направлениями р1 и р2. Переписав формулу (146,3) в виде 2ерх4р2 у1р~~ Г12пр — — сопз1 .
(121т)(Рх -Р Р1) -Р е и проинтегрировав по Г1р~р найдем распределение вероятностей по углу д. Ввиду быстрой сходимости интеграла интегрирование можно распространить по области от †до оо,и окончательно находим 2,=- .р В у10 (146.5) у ° ~у~уе 0 «.« . «у .. у 2-2уруу .р пределение имеет максимум при О,Я~Ею. й 147. Поведение сечений вблизи порога реакции Если сумма внутренних энергий продуктов реакции превышает таковую у первоначальных частиц, то реакция имеет порог: она может иметь место, лишь если кинетическая энергия Е сталкивающихся частиц (в системе центра инерции) превышает определенное, пороговое, значение Е„. Рассмотрим характер энергетической зависимости сечения реакции вблизи ее порога.
При этом будем считать, что в результате реакции образуются снова всего две частицы (реакция типа А+ В = А'+ В'). Вблизи порога относительная скорость н' образовавшихся частиц мала. Такая реакция является обратной по отношению к реакции, в которой мала скорость сталкивающихся частиц. Зависимость ее сечения от 2У может быть поэтому легко найдена с помощью принципа детального равновесия (144.13) по известной энергетической зависимости реакции, для которой и' было ПОВЕДЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РЕАКЦИИ 743 з 147 бы скоростью во входном канале Я 143). В широкой категории реакций, когда между частицами А' и В' нет кулонова взаимодействия (таковы, например, ядерные реакции с образованием медленного нейтрона), мы находим, таким образом, что сечение реакции пропорционально и' (1/и'), т.
е.') о„со и. (147. 1) Тем самым мы находим и зависимость сечения от энергии сталкивающихся частиц: скорость п, а с ней и сечение реакции тсропорциональны корню из разности Š— Е„; и„= А,/Š— Е„. (147.2) Амплитуды рассеяния по различныл1 каналам связаны друг с другом соотношениями унитарности. Благодаря этой связи открытие нового канала приводит к появлению определенных особенностей в энергетических зависимостях сечений также и других процессов, в том числе упругого рассеяния (Е.
%г9пег, 1948; А. И. Б зь, 1957; С. Вге11, 1957). Для выяснения происхождения и характера этого явления рассмотрим простейший случай, когда ниже порога реакции возможно лишь упругое рассеяние. Вблизи порога частицы А' и В' образуются в состоянии с орбитальным моментом 1 = 0 (именно этому и соответствует закон (147.2)). Если участвующие в реакции частицы не имеют спина, то орбитальный момент сохраняется, и потому система частиц А+ В тоже находится в В-состоянии. Согласно (142.7) парциальное сечение реакции для 1 = 0 связано с элементом Я-матрицы, соответствующим упругому рассеянию, формулой (147.3) где 1с волновой вектор сталкивающихся частиц.
Приравняв (147.2) и (147.3), найдем, что выше порога реакции, вблизи от НЕГО, МОдуЛЬ !ЯО! С тОЧНОСтЬЮ дО ВЕЛИЧИН ПОрядКа т7ГŠ— Ен раВЕН !ЯО/ = 1 — — 'А Е7Š— ЕРО Е ) Ево (147.4) где й„= т72шЕ„/6 (ш приведенная масса частиц А и В). В области ниже порога имеется лишь упругое рассеяние, так что Фо~ = 1, Е ( Е„. (147. 5) ) Отмеченное в конце З 144 постоянство предела, к которому стремится амплитуда 7п прн рг -э О, как раз соответствует этому результату — сечение (144.4) пропорционально рн 744 неупгугие столкновения Гл х! и1 Но амплитуда рассеяния, а с нею и Яе, должны быть аналитическими функциями во всей области изменения энергии. Такая функция, принимающая значения (147.4) и (147.5) выше и ниже порога, дается с той жс точностью формулой ЯО = е ' е (1 — ЬА Š— Еп), (147.6) где де постоянная (при Е < Ен корень х/Š— Еп становится мнимым и модуль стоящего в скобках выражения отличается от единицы лишь на величину более высокого порядка малости).
При всех же! ф О неупругое рассеяние отсутствует, так что о! = е~~~!, 1 у= О, (147. 7) причем в области вблизи порога фазы д! следует положить равными их значению при Е = Е„') . Подставив гюлученные значения Я! в формулу (142.2), найдем следующее выражение для амплитуды рассеяния вблизи порога реакции: ~(0,е) = ~п(0) — — 'А;/е- ео.гме, где ~„(0) амплитуда рассеяния при Е = Е„. Отсюда диффе- ренциальное сечение рассеяния — = /~„(0)!~+ — Ач/Š— Еп 1пг11„(0)е ~'~е) пРи Е > Е„, о 2е — = ~~„(0)~ — — "АНУŠ— Еи КеЦЕ(0)е '!~с) пРи Е < Ен.
!1о 2!г Е >Е„, Е <Е„. (147.9) В зависимости от того, находится ли угол 26о — сг в 1-м, 2-м, 3-м или 4-м квадранте, описываемая этой формулой энергетическая зависимость сечения имеет вид, изображенный на рис. 50 а, б, в или а Во всех случаях мы имеем две ветви, лежащие по обе стороны от общей вертикальной касательной. При интегрировании выражений (147.9) по до в интегралы от вторых членов отличный от нуля вклад дает только изотропная часть амплитуды 7„(0)-- парциальная амплитуда упругого ) Поскольку функции о!(Е) вещественны как при Е > Е„, так и при Е < < Е„, они разлагаются по целым степеням разности Š— Е„. Представив амплитуду у„в виде ~~„~е!о!~) ! запишем окончательно этот результат в форме ПОВЕДЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РЕАКЦИИ 745 з 147 з-рассеяния: (есме — 1) /(2тй„).
В результате получим для полного сечения упругого рассеяния вблизи порога следующее выражение: , — уз„~~я — хл) . 4 у в 4444.ущ ) уйпб1соабе пРи Е ( Еп. ,ун ' (147. 11) т. е. за порогом реакция возникает сразу с конечным сечением. ') При отличных от нуля спинах система частиц А' + В' в з-состоянии может иметь отличный от нуля полный момент, в связи с чем появляется возможность различных орбитальных состояний системы А -у В.
Эта зависимость имеет вид а или б на рис. 50 соответственно при положительном или отрицательном знаке а1п бс соа бо. Таким образом, существование порога реакции приводит к появлению характерной особенности в энергетической зависимости сечения упругого рассеяния. Наличие спина у частиц меняет, разумеется, количе- зе ственные формулы, но общий характер явления остается тем жс') . Если ниже порога возможны, наряду с упругим рассеянием, также и другие реакции, то аналогичные особенности появляются и в их сечениях. Все они имеют при Е = Е„особенность, вблизи которой являютм $У 4 4 УГх — е,/ различными наклонами выше и ниже порога. В ядерных реакциях с вылетом положительно заряженной частицы имеем дело со случаем, когда между продуктами реакции (частицы А' и В') действуют силы кулонова оттал- зе ,' кивания.
В этом случае сечение реакции при и' †> О (т.е, Е э Е„) экспоненциально стремится к нулю вместе со всеми своими производными по энергии и никакой особенности в —. --.,--. —. - ь' сечениях других процессов не возникает. Наконец, рассмотрим реакции с образованием двух разноименно заряженных медленных частиц, между которыми действуют силы кулонова притяжения. Сечение такой реакции связано принципом детального равновесия с сечением (143.6) обратной реакции между двумя медленными притягивающимися частицами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
