III.-Квантовая-механика (1109680), страница 151
Текст из файла (страница 151)
Положив в (2) с1 = 0 (причем Р(0) = Ц и воспользовавшись оптической теоремой (142.10), найдем гюлное сечение рассеяния на дойтроне: и! ! =- о!"! -~-п)Ю + — -Ве ) г(2с1)100(с1)1!Р!( — с1)А д. (3) 2. Определить сечение распада быстрого дейтрона на независимые нейтрон и протон при рассеянии на тяжелом поглощающем ядре; радиус ядра Ве велик по сравнению с длиной волны дейтрона (хйе » 1, Мс — импульс дейтрона) и по сравнению с радиусол! дейтрона (Е. Л. гйейиберг, 1954; й. э'. С1аибег, 1955; А, И. Атиезер и А. Г. Ситенео, 1955).
Р е ш е н и е. По отношению к падающей дейтронной плоской волне большое (1йо » Ц погл<лцающее ядро играет роль непрозрачного экрана, на котором волна дифрагирует. Волновая функция падающих дейтронов: е ч Чз(й), где !Рз(Н) — внутренняя волновая функция дейтрона 3 152 НЕУПРУГОЕ РАОСЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ (В. = В.„— В.Р радиус-вектор между нейтроном и протоном в дейтроне, г = (В.„-Р Вр)/2 — радиус-вектор их центра инерции). Наличие поглощаю- щего ядра приводит к «выеданию» части этой функции, отвечающей попе- речным координатам нейтрона и протона (р„и р„), попадающим в область «тениэ ядра, т.е.
внутрь круга радиуса йе. Другими словами, волновая функция становится равной ф = е™5(р„, р„фз(В), где о = 1 при рю рр > Ве и 5 = О, если хотя бы одно из р„или рр мень- Гпе Ле ) . Эта функция (без множителя Э2«) отвечает выражению падающей волны в виде (131.5) (в ней дифракционное искривление лучей не учитыва- ется); поэгому и множитель 3 имеет тот же смысл, что и в 3 131, 152. Аналогично (152.13), (152.14) полное сечение рассеяния дейтрона (включающее все неупругие процессы) и сечение упругого рассеяния и, даются формулами 2 /(1 о) ~2 /(о 1)2 12 где р = (р„+ р ) 12 и учтена вещественность 5; усреднение 5 производится по основному состоянию дейтрона: / 5,),24«л В качестве йм достаточно взять функцию справедливую на расстояниях В вне радиуса действия ядерных сил, действующих между нейтроном и протоном (ср.
(133.14); м = у2тф1'6, где ~с~в энергия связи дейтрона; п2 — масса нуклона). По определению о разность 1 — б отлична от нуля, если один или оба из двух нуклонов попадают внутрь круга радиуса Ле и поглощаются ядром; поэтому и„„„= /(1 — 3)д р=п2/2 (Ц есть сечение захвата одного или обоих нуклонов. С другой стороны, п2 = = а„„„+и, +пр„„, где пр„,„— интересующее нас сечение «дифракцнонного» распада дейтрона. Отсюда (2) 2 При Век» 1 в интеграле (2) существенны малые ( 1/2«) расстояния от края ядра; тогда интегрирование вдоль края дает множитель 2к11е, а интегрирование в перпендикулярном направлении можно производить так,как если бы область тени была ограничена прямой линией. Выбрав последнюю в качестве оси у (а ось х — в направлении наружу от тени), имеем пр „— — 2ягге / л(х)(1 — л(х)) пх, о ) Кулоновым взаимодействием дейтрона с ядро««пренебрегаем. 778 неупругие Отолкновения гл хуп) причем интеграл г 4) ) )) ) 4))я)яхя ях, я- х' х' х, берется по области Х„, Хр > 0 при заданном значении х = (Х„-~- Хр)))2 или, что то же, по области )Х~ = )Մ— Хр~ < 2т.
Интеграл преобразуется переходом к переменным Х, 42 и полярному углу в плоскости 1'л (причелл )11')4Я вЂ” ) 2ЕВНВ) и приводится к виду г е — г о(я) =- 1 — е * -Ь 4ях / — )1б. 4 (3) Интеграл (2) с этой функцией о(я) вычисляется путем повторных интегрирований по частям с использованием формулы — щ) — = 1))2. В результатс получается я ( пр, —— 12с)1п2 — — ). зя ~ 4)' При этол) же условии яЛе » 1, сечение захвата г х1ге и„„= игле +в 4я )гЛо Пя : Юя р 4я (й. Бербер, 1947). (интеграл (1) по области р > Ве вычисляется с помощью (3), н интеграл по области р < 22с дает яхье~).
Это сечение включает в себя как захват дейтрона в целом, так и захват лишь одного из нуклонов с освобождением другого (реакция срыва). Сечение последней реакции вычисляется как (усредненная по )))4) прицельная площадь, отвечающая попаданию ли)пь одного из двух г нуклонов в область тени,и равно МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 9 а. Полиномы Эрмита Уравнение уа — 2ху' + 2пу = 0 (а. Ц относится к типу уравнений, которые могут быть решены с помощью метода Лапласа ') .
Этот метод применим вообще к линейным уравнениям вида 1а +Ь х) ~=0, ш=е коэффициенты которого не вьппе первой степени по х, и заключается в следующем. Составляем полиномы Р(1) = ~~~ а 1, су(г) = 2 Ь 1 ° =О ш=е и с их помошью функцию х1с) = — ехр 1 — сМ, Г ° определенную с точностью до постоянного множителя.
Тогда реп1сние рассматриваемого уравнения может быть выражено в виде комплексного интеграла у = х (т)е*'Ж, с где путь интегрирования С выбран так, чтобы интеграл имел значение конечное и отличное от нуля, причем функция 17 = е*'дг должна возвращаться к своему начальному зна гению, после того как 1 опишет всю линию С (контур С ъюжет быть как замкнутым, так и незамкнутым). В случае уравнения (а.1) имеем 22 4 1 „,24 Р=12+2п Я= — 21 х = — е '7~ Ъ'= — е*' '7~ 21" т' ') См., например, Э. Гуров. Курс математического анализа.
Т. Н. — Мс Гостехиздат, 1933; В. О. Смирнов. Курс высшей математики. Т. Н1, часть 2. — Мс Наука, 1974. 780 гл хгш мАтемАти 1еокие дОпОлнения так что его решение имеет вид (а.2) Для физических применений достаточно ограничиться рассмотрением значений и ) — 1/2. Для таких и можно выбрать в качестве пути интегрирования контуры С1 или С2 (рис. 52), удовлетворяющие необходимым условиям, поскольку на их концах 1г = +ос или 1 = — ОО) функция И обращается в нуль ') . Выясним, при каких значениях параметра и уравнение (а.1) имеет решения, конечные при всех конечных значениях х и стремяшиеся при х — ь жоо к бесконечности не быстрее конечной степени х. Рассмотрим сначала нецелые значения и.
Интегралы (а.2) по С1 и С2 дают здесь два независимых решения уравнения (а.1). Преобразуем интеграл по См введя переменную и согласно 1 = 2(х — и). Находим, опуская постоянный множитель, (а.З) / (и — х)"~ с,' где интегрирование производится по контуру С11 в плоскости комплексного переменного и, изображенному на рис. 53. о =Э— 1 Рис. 52 Рис. 53 При х — + +со весь путь интегрирования С1 сдвигается на 1 бесконечность, и интеграл в формуле (а.З) стремится к нулю, как е * . Но при х — ь — оо путь интегрирования простирается вдоль всей вещественной оси, и интеграл в (а.З) не стремится к нулю экспоненциально, так что функция у(х) обращается в бесконечность в основном, как ек . Аналогично легко убедиться в том, что интеграл (а.2) по контуру С2 расходится экспоненциально при х -+ оо. При целых же положительных значениях и (включая значение нуль) интегралы вдоль прямолинейных участков пути интегрирования взаимно уничтожаются, и оба интеграла (а.З) -- по С11 и С2 сводятся к интегралу по замкнутому пути вокруг ) Эти пути непригодны при целых отрицательных и, поскольку при таких п интеграл (а.2) вдоль них обратился бы тождественно в нуль.
781 ФУНКЦИЯ ЭЙРИ точки и = х. Таким образом, мы получим решение г д(х) = е* „„, г4и, / (и — х) удовлетворяющее поставленным условиям. Согласно известной формуле Коши для производных от аналитической функции кй ~ У(1) 2яг / (1 — х)" Ф' это есть, с точностью до постоянного множителя, полином ЭрН„(х)=( — 1) ех „е х. (а.4) В раскрытом виде полином Н„, расположенный по убывающим степеням х, имеет вид Н„(х)=(2х)" — (2х)" 2+ (2х)" 4 —... (а.б) 1 12 Он содержит степени х только той же четности, что и число п. Выпишем несколько первых полиномов Эрмита На =1, Н1 =2х, Н2 =4х2 — 2, Нз =8хз — 12х, (а.б) Н4 = 16х — 48х + 12. ,г Для вычисления нормировочного интеграла заменяем е * Н„ выражением из (а.4) и, интегрируя п раз по частям, получим -Р 00 -'; оо -~-00 г Г г г1" 1г„ е * Н„(х)сгх = (-1)"Н„(х) „е * г1х = / е * „г1х.
— ОΠ— ОΠ— ОО Но д"Но/дх" есть постоянная, равная 2"и'.; в результате получим Фоо е * Н2(х) г1х = 2"п)оугя. (а. 7) 8 Ь. Функция Эйри Уравнение у — ху = 0 (Ь.1) тоже относится к типу Лапласа. Следуя общему методу, составляем функции Р = 1~, 1) = — 1, х' = — ехр( — 1 /3), 1' = ехр(х1 — 1,г3), 782 гл хчп1 мАтемАтичеокие дОпОлнения так что решение может быть представлено в виде у(х) = сопв1 ехр(хб — 1 /3) М, (Ъ. 2) с причем путь интегрирования С должен быть выбран так, чтобы на обоих его концах функция е" обращалась в нуль.
Для этого эти концы должны уходить на бесконечность в тех областях плоскости комплексного псременного 1, в которых Кс(г ) > > О (на рис.54 эти области заштрихованы). )э з Рсшснис, конечное при всех х, полу- А /и чим, выбрав путь С так, как это изоб- ражено на рисунке. Он может быть смез щен произвольным образом, при условии только, чтобы его концы уходили на бесс,с сз конечность в тех же двух заштрихован- ных секторах (1 и 1П на рис. 54). Заметим, Рис.
64 что, выбрав путь, проходящий, например, в секторах П1 и П, мы получили бы решение, обрагцающееся при х †» оо в бесконечность. Смещая путь С так, чтобы он совиал с мнимой осью, получаем функцию (Ь.2) в виде (делаем подстановку 1 = ги) 0 .3) Ф(х) = — ~ сов~их+ — )с1и. ,Г-/ '1 З) о Постоянную в (Ь.2) мы положили равной — з/2А/к и обозначили определенную таким образом функцию через Ф(х): се называют функцией Эйри ') .
Асимптотическое выражение для Ф(х) при болыиих значениях х можно получить, вычисляя интеграл (Ь.2) методом Перевала. При х > О показатель степени в подынтсгральном выражении имеет экстремум при 1 = ~~/х, а направление его «наиболее крутого спада» параллельно мнимой оси. Соответственно этому, для получения асимптотического выражения для больших положительных значений х разлагаем показатель по степеням ') Мы следуем определению, предложенному В. А. Фоком (см. Г.Д. Яковлева.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
