III.-Квантовая-механика (1109680), страница 153
Текст из файла (страница 153)
(т -~ и — П де" Если к тому жс 7 = т, где т целое положительное число, то имеет место также и формула — 1 -!- — 1 Г( — И,т,Е) = Е' „,(Е еги). (С).12) т(т+ 1) ., (т+ и — 1) ие Эта формула получается применением формулы Коши к интегралу, получающемуся из (с).8) подстановкой ~ — ! е — ~. Полиномы Р'( — п,т, е) (О < Ги < и) совпадают, с точностью до постоянного множителя, с обобщенными иолиномами Лагерра: (и!)2 А„(г) = ( — 1) г') — )и — т),т+1,е) = т! (и — т)! ! — А и — т ! ° !т и А — и! — А и е — е е =! — 1) е е „е (и — Ги)! сь" (и — т)! сЬ" (Г). 13) Полиномы Ь™ при т = 0 обозначают через Ьи(е) и называют просто полиномаА!и Лагерра; согласно (Г).13) имеем Ь„(Е) = Е' — „(Е 'Еи). Интегральное представление (Г).8) удобно для получения асимптотического разложения вырожденной гипсргсометричсской функции при больших ю Деформируем контур так, что он превращается в два контура С! и С.
(см. рис. 56), обходящих соответственно точки ~ = 0 и ~ = е; нижнюю ветвь пути Ст и верхнюю ветвь С! надо представлять себе смыкающимися на бесконечности. Имея в виду получить разложение по обратным степеням е, выносим в подынтегральном выражении ( — е) '" за скобку. В интеграле по контуру Сз делаем подстановку ~ — ~ ~ + е; тем самым мы преобразуем контур Сз в контур С!. В результате представляем формулу (с).8) в виде Р(ГГ, у,е) = ( — г) С(о,а — '7+ 1, — е)+ г~т) г(т-, ) + е'е ОС(7 — а, 1 — ГГ, е), (с).14) Г(О) 791 ВМРожденнАИ гипеРгеометРи гескАя Функция где С(а Д е) = ( ) I (1+ — 1 1э ~есс11 (с1 15) 2яг / ', е/ с, При возведении в степень в формуле (сг.14) — е и е должны браться с наименьшим по абсолютной величине значением аргумента.
Наконец, разлагая в подынтегральном выражении (1+1гге) по степеням 1гге и применяя формулу (с).7), получим в результате для С(а,)э', е) асимптотический ряд ,( ) с4 о(о.~- 1)ЯГЗ+ 1) ( ) 1!е 2Ь~ Формулами (с1.14) и (с1.16) определяется асимптотическое разложение функции г'(а, 7, е). При целом положительном 7 второй член в общем решении (с).4) уравнения (с).2) либо совпадает с первым (если у = 1), либо теряет вовсе смысл (если 7 > 1). В качестве системы двух линейно независимых решений можно в этом случае выбрать два слагаемых в формуле (с1.14), т.е. интегралы (с1.8), взятые по контурам С1 и С2 (эти контуры, как и контур С, удовлетворяют требуемым условиям, так что интегралы вдоль них тоже решения уравнения (с).2)). Асимптотический вид этих решений определяется уже по.пученными формулами; остается найти их разложение по восходящим степеням е.
Для этого исходим из равенства (с).14) и аналогичного равенства для функции е '"Г(а — у + 1, 2 — г, е). Нз этих двух равенств выражаем С(а,а — у+ 1,— е) через г(а, у,е) и г(а — у+ 1,2 — у,г), после чего полагаем г = р+ е (р — целое положительное число) и переходим к пределу е — Р О, раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя. В результате довольно длинного вычисления получается следующее разложение: е1н яо ° Г(р — о) С(а,а — р+1,— е) = — ' е 1НЯ.Г(а,р,е)+ КГ(р) + Е Г(р)Г(о+ А)(4(о Т Р) — ф(р+ э) — р(А + 1)] Е + Г(о)Г(у -~- р)Г(А Ь 1) Р=О р — 1 + ( — 1)'+1 е' ' (с) 17) г г — г Г(о)Г(р — е) А=1 где г1) обозначает логарифмическую производную от Г-функции: ф(а) = Г'(а)ггГ(а).
792 гл х\ и1 мАтемАтические дОЛОлнения 'й' е. Гипергеометрическая функция Гипергеометрическал функция определяется внутри круга ~е~ ( 1 рядом ой х о(о+ 1)3(!3+ 1) х 1! у(у Е1) 2! а при ~е~ ) 1 получается аналитическим продолжением этого ряда (см. (е.б)). Гипергеометрическая функция является одним из частных интегралов дифференциального уравнения е(1 — е)ил+ (у — (а+ уз+ 1)е1и' — аузи = О. (е.2) Параметры а и )з произвольны, а у ~ О,— 1,— 2,... Функция г'(а,,З, у, е), очевидно, симметрична по параметрам а и,6') . Второе независимое решение уравнения (е.2) есть Р-ОЕ(В у+1,а — у+1,2 — у,е); оно имеет особую точку при е = О.
Мы приведем здесь для справочных целей ряд соотнопусний, которым удовлетворяет гипергеометрическая функция. Функция Р(а,)з, у, е) может быть представлена при всех е, если Ке (у — а) ) О, в виде интеграла Г(а,)3, у,е) = 1 Г(1 — о)Г(З) )" 2я!' Г(у — о) / с взятого по контуру С', изображенному на рис. 57. В том, что этот интеграл действительно удовлетворяет уравнению (е.2), легко убедиться непосредственной подстановкой; постоянный множитель подобран так, чтобы при е = О получилась единица. Подстановка и = (1 — е)~ ~иу ) Вырожденная гипергеометрическая функция получается из г'(о, 1!, т, з) предельным переходом г'(о, у, х) = 1!Ии г'(О, р', у, — при !ч — ! оо.
Дl В литературе используется также обозначение зг !(о, !У, Ч, л) для гипергеометрической и !с!(о, т, л) для вырожденной гипергеометрической функций. Индексы слева и справа от буквы г указывают число параметров, фигуриру!Ощих соответственно в числителях и знаменателях членов ряда. ГипеРГеометРи »ескАя Функция в уравнение (е.2) приводит к уравнению того же вида с параметрами у — а, у — )», у соответственно вместо а, )»', у.
Отсюда следует равенство Е(а,»э,у,е) = (1 — е)У " »'Г(у — а, у — р, у,е) (е.4) (обе части равенства удовлетворяют одному и тому же уравнению и их значения при е = 0 совпадают). Подстановка 1 — » ~,»(1 — е + е1) в интеграле (с.З) приводит к следующему соотношению между гипсргеометрическими функциями от переменных е и е/(е — 1): Г(а,)», у,е) = (1 — е) Р(а, у — »э, у, ).
(е.б) Значение многозначного выражения (1 — е) в этой формуле (и аналогичных выражений во всех следующих ниже формулах) определяется условием, что возводимая в степень комплексная величина берется с наименьшим по абсолютной величине значением аргумента. Далее, приведем без вывода важную формулу, связывающую гипергеометрические функции от переменных е и 1»»е: Г(а,(1, уГ е) = г(у)гр — о) ( — е) Р(а, а+ 1 — у,а+ 1 — Д, -)+ 1'» г(»))г(» — *) + ( — е) г~ р,р+1 — у,»3+1 — а,— ). (е.б) Г(»)Г(а —,3) д 7 1'» Г(а)г(у — »») Эта формула выражает г'(а,)», у, е) в виде ряда, сходящегося при ~е~ ) 1, т.
е. представляет собой аналитическое продолжение исходного ряда (е.1). Формула Р(а,~,у,е) = ~ У Г(а,Д,а+Д+1 — у,1 — е)+ Г(у — о)Г(» — »1) + Г(у)г(а т»» — у) — — Я (1 — )У " г(у — аГу — р,у+1 — а — р,1 — ) Г(о)г(ф) (е.7) связывает гипергеометрические функции от е и 1 — е (мы также приводим ее без вывода).
Комбинируя (е.7) с (е.б), получим «94 гл хаю МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ соотношения Г1а,«э', у,з) = 11 — е) Г(а, у — )«,а+1 — )«, )+ г«у)газ - *) ГР)Г« « — о) 1, + 11 — е) «'Г(«8, у — а,)«+1 — а, ), 1е.8) Г~ )Г«» — Д) 1 — а гР«)г«у — — «У) г«-« — Р)г«у — ) — учу)Г( +«У — у) хе Г(а,а+1 — у,а+В+1 — у, )+ х ) г1О)г1«У) х 11 — е)у «уе«у ЧГ(1 — )«, у — «э, у+ 1 — а — )8, ), 1с.9) Каждый из членов сумм в правых частях равенств «е.б) — 1е.9) представляет сам по себе решение гипергеометрического уравнения. Если а 1или «8) есть целое отрицательное число «или нуль), а = — п, то гипергеометрическая функция сводится к папиному и-й степени и может быть представлена в виде « — т«1 )т~- — Е «а Г) — п,)3,'у,е)= — )г'«" 111 — г)«у '«]. 1е.10) у«у+1)...
1»т — П уа" Эти полиномы совпадают, с точностью до постоянного множителя, с поли«юмами Якоби определяемыми как „, 11 — е) '11+я) — „]11 — з)' "11+Я) "]. 1е.11) При а = Ь = 0 полиномы Якоби совпадают с полиномами Лежандра. При п = 0 Ро' ' = 1. 1а,Ь) ~ 1. Вычисление интегралов с вырожденными гипергеометрическими функциями Рассмотрим интеграл вида .У = е 'е Г1а, у,ие)дю о Предполагается, что он сходится. Для этого должно быть В,е и > > — 1 и Ке Л > ] Ко )с]; если а есть целое отрицательное число, 1«ивтвггАлы с вы«ежи«иными гипвггвомвтг. фув«явями 795 « « 1 Г(1 а)Г(')Л «Г( + 1)х 2««1'( у — е) х ( «) 1(1 «)з 1(1 (й(ЛМ) «сМ с Учитывая (е.З), находим окончательно ,7;„ч = Г(и+ 1)Л ' Е(а,и+1, У,й,(Л).
(1.2) В случаях, когда функция г (а, и+ 1, у, Й /Л) сводится к полиномам, получаем соответственно и для интеграла 1' выражения через элементарные функции: Ге"-"=( — 1) Г(7)" [Л вЂ” (Л вЂ” ))- <, 7и ( 1)п«(~ ь Ц(л — «) +" ' д [Л вЂ” и — 1(Л )с и — т-ь« (г 4) т(з-«ц ..(з- и — ц «л" ( — «) «. '(1 — а)(2 — о)... (т — 1 — а) 1)( «[Л вЂ” «(Л ~)™ — а — 1]+ +и!(т — и — 1)... (т — 1)Л" " 1(Л вЂ” й) ~~ " х х ~ „.„[Л (Л вЂ” Ю) («.5) (т, и пелые числа, 0 < и < т — 2). Далее, вычислим интеграл е 'г [Р( — пь "(,Йг)] дг 0 (Е.б) (и целое положительное, Ве и > 0). Для вычисления исходим из более общего интеграла, содержащего в подынтегральном выражении е л' вместо е ~'. Одну из функций г'( — и, у,йв) пил«ем в виде интеграла («1.9), после чего интегрирование по дв с то вместо второго условия достаточно потребовать, чтобы было 1«е Л > О.
Воспользовавшись для Г(о, у, «в) интегральным пред- ставлением (Й.9) и произведя интегрирование по йе под знаком контурного интегрирования, получим 796 гл хиш МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ помощью формулы (йЗ) дает е 'е" '(Г( — и, у, ее)) СЬ = — — ( — 1)", х Г 1 ИГ(1 -~- п)Г ( у)Г(ы) 2пг Г (у+и) О х (Л вЂ” ьА — й)чтп ( — А) " 1(1 — 1)чтп "х ~ с х и ((.уу — и) ()у — ет — е) ) ю. ПА" Производную и-го порядка по Л можно, очевидно, заменить, выразив через производную того же порядка по 1: сделав это, полагаем Уу = к, возвращаясь, таким образом, к интегралу,Х„: 1 Г(п+ ЦГ(и)Г (у) Г'(у+ п)Ь х ( — 1)~- -'(1 — 1)чтп- ' — '~(1 — 1)-'( — 1)' ч) ~(1 и Производя и-кратное интегрирование по частям, переносим операу1ию (г(,УС(г)п на выражение ( — 1)ч и 1(1 — г)т " 1 и раскрываем производную по формуле Лейбница.
В результате получаем сумму интегралов, каждый из которых сводится к известному интегралу Эйлера. Окончательно получается следующее выражение для искомого интеграла: Г(и)п! х й'т(э +1) ". (ч»- — ц и — 1 х 1+~ ( х — ~ п(п — 1) .. (и — А)(у — и — А — 1)(у — и — э)... (у — и+ А) ~ (( ~-1)')'ч(э+1) "(чт е) (й7) Легко видеть, что между интегралами,1, имеет место следующее соотношение (р целое число): (ч-г — 1)(т — г)" (ч+г — 1) .7ч е„— .7Т 1„. Аналогичным образом вычисляется интеграл ,У = е 'е' Г(о, у, Ье)Г(су', у, Й'е)гЬ. (й9) О 798 гл хюп МАТЕМАТИЧЕОКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ согласно (911), можно также написать 00( / 2тг(у)гну ОКу О +1).
(у О +п 1) Х вЂ” п,О) = 20 х у( у -(- Ц... ( у т п — 1) х ( — 1)" (й + )с'Г "+ (й — й')" х х Е[ — и, О',О'+ 1 — и, — у, ~,) 1. (814) Общая формула для Х'„"(О, О') может быть выведена, но она настолько сложна, что ею неудобно пользоваться. Удобнее пользоваться рекуррентными формулами, позволяющими свести интегралы Х,' (О,О~) к интегралу с е = р = О ') Формула ,У'"(О,О') = ~ ~Х"" ~(О,О') — Х"" ~(Π— 1,О')) (815) дает возможность свести Х "(О,О') к интегралу с р = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
