Л.Г. Антошина, С.В. Павлов, Л.А. Скипетрова - Общая физика (сборник задач) (1109674), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Затем пластиныраздвигают до расстояния d2 = 2,5 · 10–2 м. Найти энергию конденсатора до W1 и после W2a и W2б раздвижения пластин, еслибатарея перед раздвижением а) не отключается; б) отключается.Решение. Так как емкость конденсатора зависит от его геометрических размеров (3.3.3), тоC1 = ε0εS/d1.Энергию конденсатора до раздвижения пластин можно определить по формуле (3.3.6):W1 = C1U 2 /2 = ε0εSU 2/2d1 = 4,43 ⋅ 10–6 Дж.После раздвижения пластин емкость будетC2 = ε0εS/d2.178В случае а), когда во время раздвижения пластин напряжениена обкладках постоянно, т.е. U = const, энергия определится поформуле (3.3.6):W2а = C2U 2/2 = ε0εSU 2/2d2 = 1,77 ⋅ 10–7 Дж.В случае б) на пластинках будет неизменным первоначальныйзаряд q = C1U.
Поэтому для нахождения энергии конденсатораследует воспользоваться выражением (3.3.7):W2б = q 2/2C2 = ε0εSd2U 2/2d12 = 1,11 ⋅ 10–5 Дж.Ответ: W1 = ε0εSU 2/2d1 = 4,43 · 10–6 Дж, W2а = ε0εSU 2/2d2 == 1,77 ⋅ 10–7 Дж, W2б = ε0εSd2U 2/2d12 = 1,11 ⋅ 10–5 Дж.3.3.22. Конденсатор емкостью C1 = 6 · 10–10 Ф зарядили до разности потенциалов U = 1500 В и отключили от источника напряжения. Затем к конденсатору присоединили параллельно второй,незаряженный конденсатор емкостью С2 = 4 · 10–10 Ф. Какое количество энергии ΔW, запасенной в первом конденсаторе, былоизрасходовано на образование искры, проскочившей при соединении конденсаторов?Решение. Согласно (3.3.5) суммарная емкость двух конденсаторов С0 = С1 + С2.
В связи с тем, что конденсатор отключили отисточника, заряд в системе сохранится и будет равен первоначальному q = C1U. Количество энергии, запасенной в первом конденсаторе (формула (3.3.7)),W1 = q 2/2С1.Количество энергии, которой будет обладать система из двухконденсаторов, после подключения второго конденсатораW2 = q 2/2С0.Изменение энергииΔW = W1 – W2 = q 2/2С1 – q 2/2С0 = С1С2U 2/2(С1 + С2) == 0,27 мДжи будет израсходовано на образование искры.Ответ: ΔW = С1С2U 2/2(С1 + С2) = 0,27 мДж.3.3.23. Шар радиусом R1 = 0,06 м заряжен до потенциалаϕ1 = 300 В, а шар радиусом R2 = 0,04 м — до потенциала ϕ2 = 500 В.Определить потенциал ϕ шаров после того, как их соединили ме179таллическим проводником. Емкостью соединительного проводника пренебречь.Решение.
Емкости шаров зависят от их размеров (см. (3.3.2)):C1 = 4πε0εR1,(1)C2 = 4πε0εR2.(2)Согласно (3.3.1) можно посчитать заряды, сообщенные шарам:q1 = C1ϕ1,(3)q2 = C2ϕ2.(4)После того как шары соединили, общий заряд системыq = q 1 + q 2.(5)После соединения шаров проводником потенциал ϕ системыстал постоянным, следовательно, для нахождения суммарной емкости следует воспользоваться формулой (3.3.5):С = С1 + С2.(6)Используя определение емкости проводника (3.3.1) и учитывая(1)–(6), можно оценить потенциал системыϕ = q/C = (R1ϕ1 + R2ϕ2)/(R1 + R2) = 380 В.Ответ: ϕ = (R1ϕ1 + R2ϕ2)/(R1 + R2) = 380 В.3.3.24. Металлический шар радиусом R1 = 0,05 м окружен шаровым слоем диэлектрика (ε = 7) толщиной d = 0,01 м и помещенконцентрично в металлической сфере с внутренним радиусомR2 = 0,07 м (рис.
3.20). Чему равна емкость С конденсатора?Рис. 3.20Решение. Задачу можно решить двумя способами.Первый способ. Используем определение емкости конденсатора(3.3.1)180C = q/(ϕ1 – ϕ2).(1)Для этого нам необходимо рассчитать разность потенциаловϕ1 – ϕ2 (3.2.2) между обкладками конденсатора — сферами с радиусами R1 и R2:ϕ1 − ϕ2 =R2R1 + dR1R1 ∫ E dr =∫ E1 dr +R2∫ E2 dr ,(2)R1 + dгде Е 1 = q/4πε 0εr 2 — напряженность поля в диэлектрике,Е2 = q/4πε0r 2 — напряженность поля в воздушном зазоре (получены с помощью теоремы Гаусса (3.1.5)).С учетом выражений для Е1 и Е2 перепишем (2) в видеϕ1 − ϕ2 ==q ⎛⎜4πε0 ⎜⎝R1 + d∫R1R2drdr ⎞⎟q ⎛ 1=+⎜−∫22 ⎟4πεrεr⎝ εr0R1 + d⎠q R2d + εR1 [ R2 − (R1 + d )].4πε0εR1R2 (R1 + d )R1 + dR1−1rR2R1 + d⎞⎟=⎠(3)Учитывая (1), окончательно получимC =4πε0 εR1R2 (R1 + d )= 38, 9 пФ.R2d + εR1 [ R2 − (R1 + d )](4)Второй способ. Концентрические сферы можно рассматриватькак систему конденсаторов, соединенных последовательно.
Тогдасуммарная емкость системы рассчитывается по формуле (3.3.4):C = C1C2/(C1 + C2),(5)где С1 и С2 — емкости конденсаторов, образованных сферами срадиусами R1 и R1 + d и радиусами R1 + d и R2 соответственно. Дляэтого, прежде всего, рассчитаем емкость сферического конденсатора C0, у которого внутренняя обкладка имеет радиус Ra, а внешняя — Rb.Найдем напряженность поля Е между обкладками конденсатора (см. (3.2.5)):E(r) = q/4πε0εr 2.По формуле (3.2.2) найдем разность потенциалов ϕa – ϕb между обкладками конденсатора:ϕa – ϕb = q(Rb – Ra)/4πε0εRaRb.181Используя (3.3.1*), определим емкостьC0 = 4πε0εRaRb /(Rb – Ra).(6)Учитывая (6), запишем формулы для C1 и C2:4πε0 εR1(R1 + d ),d4πε0 R2 (R1 + d ).C2 =R2 − (R1 + d )C1 =(7)(8)Подставим (7) и (8) в (5) и получим емкость С в виде (4).4πε0 εR1R2 (R1 + d )Ответ: C == 38, 9 пФ.R2d + εR1 [ R2 − (R1 + d )]Задачи без решений3.3.25.
Получить формулы для последовательного и параллельного соединения кондесаторов.3.3.26. В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S и расстоянием d между ними вставлена параллельно обкладкам металлическая пластинка, площадь которой равна площадиобкладок. Определить емкость С конденсатора после внесенияпластинки, если ее толщина много меньше d и расположена онана расстоянии l от одной из обкладок конденсатора.3.3.27.
Между обкладками плоского воздушного конденсатора(расстояние между обкладками d, площадь обкладки S ) вводитсяпараллельно обкладкам конденсатора металлическая пластинкатакже площадью S, толщина которой d1 < d. Определить емкостьС конденсатора с введенной проводящей пластиной.3.3.28. В плоский воздушный конденсатор вводится параллельно обкладкам диэлектрическая пластинка, толщина которой d1меньше расстояния между обкладками d.
Определить емкость Сконденсатора с диэлектрической пластинкой. Диэлектрическаяпроницаемость материала пластинки ε. Площадь пластинки и каждой обкладки S.3.3.29. Плоский воздушный конденсатор емкостью С = 1 нФзаряжен до разности потенциалов U1 = 300 В. После отключенияот источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено до d2 = 5d1. Определить: 1) разность потенциалов U2 на обкладках конденсатора после их раздвижения, 2) работу A внешних сил по раздвижению пластин.1823.3.30. Между обкладками плоского конденсатора емкостьюС = 1 ⋅ 10–10 Ф вставлена фарфоровая пластина. Диэлектрическаяпроницаемость фарфора ε = 5.
Конденсатор зарядили до разностипотенциалов U = 600 В и отключили от источника напряжения.Какую работу A надо совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора?3.3.31. Конденсатор емкостью С1 = 0,6 мкФ был заряжен донапряжения U1 = 300 В и соединен со вторым конденсатором емкостью С2 = 0,4 мкФ, заряженным до напряжения U2 = 150 В.Найти величину заряда Δq, перетекающего с пластин первого конденсатора на второй.3.3.32.
Показать, что при малой толщине изолирующего слояемкость шарового конденсатора можно рассчитать по формулеемкости плоского конденсатора.3.3.33. Определить емкость С конденсатора, состоящего из двухшариков диаметром d = 0,01 м, центры которых находятся в воздухе на расстоянии l = 0,20 м друг от друга, приняв, что заряды наих поверхностях распределены равномерно.3.3.34.
Определить емкости Са и Cб батарей конденсаторов, соединенных по схемам, показанным на рис. 3.21. Показать, что есливыполняется условие С1/С3 = С2/С4, то емкости этих батарей равны.Рис. 3.213.3.35. Два одинаковых воздушных конденсатора емкостьюС = 1 нФ заряжены до напряжения U = 900 В. Один из конденсаторов погружается в заряженном состоянии в керосин, после чегоконденсаторы соединяются параллельно. Определить работу Апроисходящего при этом разряда. Диэлектрическая проницаемостькеросина ε = 2.3.3.36. Определить емкость С уединенного шарового проводника радиусом R1, окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем однородного диэлектрика с проницаемостью ε инаружным радиусом R2.1833.3.37.
Определить емкость С цилиндрического конденсаторадлиной l. Внутренний радиус конденсатора R1, внешний — R2.Показать, что при малой толщине d изолирующего слоя емкостьцилиндрического конденсатора можно рассчитать по формулеемкости плоского конденсатора (считать d = R2 – R1 << R1).3.3.38. Определить емкость С участка единичной длины двухпроводной линии, изображенной на рис. 3.22. Линейная плотностьзарядов равна τ, r — радиус проводов, l — расстояние между ними(известно, что r << l).Рис.
3.22ТЕМА 3.4ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕЭквипотенциальные поверхности — геометрическое место точек,имеющих одинаковый потенциал. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Поверхность проводника вэлектростатическом поле всегда является эквипотенциальной.Условия равновесия зарядов на проводниках. В металлическихпроводниках имеются носители тока — электроны проводимости(свободные электроны), которые под действием электрическогополя перемещаются по всему проводнику и образуют так называемый электронный газ в металле.В отсутствие внешнего электрического поля проводник в целомнейтрален, поскольку электрические поля электронов и положительно заряженных ионов в узлах кристаллической решетки взаимно компенсируются.Перераспределение зарядов как в проводнике, так и в диэлектрике, под влиянием внешнего электростатического поля называется явлением электростатической индукции.Вектор напряженности поля у поверхности проводника направленпо нормали к ней, так как касательная составляющая вектора E вызвала бы перемещение носителей тока по поверхности, что противоречит условию равновесия зарядов в проводнике.
Для проводниковв электростатическом поле выполняются следующие условия:– всюду внутри проводника напряженность поля Е = 0, а у егоповерхности E = En;– весь объем и поверхность проводника эквипотенциальны,так как в любой точке проводника и для любой линии на его по∂ϕверхности= − El = 0;∂l– некомпенсированные заряды располагаются в проводникетолько на его поверхности.Так как согласно теореме Гаусса заряд q, охватываемый произвольной замкнутой поверхностью S, проведенной внутри проводника, равен нулю, q = ∫ ε0 E dS = 0, поэтому во всех точках поверхSности S, проходящей внутри проводника, Е = 0.Поляризация диэлектриков. Если полярный диэлектрик не находится во внешнем электрическом поле, то в результате тепло-185вого движения молекул векторы их дипольных электрическихмоментов ориентированы хаотически. Сумма дипольных моментоввсех молекул, находящихся в бесконечно малом объеме dV, равнанулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
