Л.Г. Антошина, С.В. Павлов, Л.А. Скипетрова - Общая физика (сборник задач) (1109674), страница 22
Текст из файла (страница 22)
3.9Рис. 3.10Рис. 3.111653.2.5. Почему при работе с электрическими схемами рекомендуется работать одной рукой, а другую держать в кармане, а такжекатегорически запрещается касаться заземленных предметов?3.2.6. Если после аварии провод под высоким напряжениемкасается земли, то как следует удаляться с места аварии: а) уходитьширокими шагами или б) отпрыгивать на одной ноге?3.2.7. Существует ли в области между двумя равными положительными зарядами точка, в которой напряженность электрического поля равна нулю? Точка с нулевым потенциалом?3.2.8.
Если металлическим шарам, имеющим разные диаметры,сообщить равные отрицательные заряды, то будет ли ток в проводнике, которым соединяются шары после их заряжения?3.2.9. Маленький металлический шарик заряжен до потенциала ϕ1 = 1 B. Его вносят внутрь большой полой металлическойсферы, заряженной до потенциала ϕ2 = 1000 B, и касаются имповерхности большой сферы. Заряд с маленького шарика переходит на большую сферу. Объяснить кажущееся противоречие: переход положительного заряда произошел в направлении от болеенизкого потенциала к более высокому, тогда как должно происходить как раз обратное.3.2.10. 1) Если в некоторой точке пространства ϕ = 0, то обязательно ли в этой точке E = 0? 2) Если в некоторой точке E = 0,то всегда ли и ϕ = 0 в этой точке? Проиллюстрируйте ответ примерами.3.2.11. Могут ли эквипотенциальные поверхности пересекаться? Объясните.3.2.12.
Что можно сказать о векторе напряженности электрического поля в области пространства с одним и тем же потенциалом?3.2.13. Из двух одинаковых проводящих шаров один нейтрален, а другой обладает зарядом Q. Вначале шары изолированыдруг от друга, а затем приводятся в соприкосновение. а) Что можно сказать о потенциале каждого из шаров, когда их соединили?б) Перейдет ли заряд с одного шара на другой? Если да, то в какомколичестве?3.2.14. На шарик А, несущий заряд +q и закрепленный неподвижно, начинает падать без начальной скорости с высоты Н такойже шарик В, заряженный таким же зарядом +q (рис. 3.12).
Недолетая до шарика А, шарик В останавливается и начинает под166ниматься вверх. На какую высоту поднимется шарик В? Оба шарика находятся в стеклянной трубке, расположенной вертикально.3.2.15. Две точки имеют одинаковый потенциал. В каком случае при перемещении пробного заряда из одной точки в другуюсилами поля не совершается работа? Верно ли, что в этом случаедля перемещения заряда не надо прикладывать силу?3.2.16.
Электрическое поле создано двумя положительнымизарядами, расположенными на некотором расстоянии друг от друга. Известно, что потенциалы поля в точках А и В равны (рис. 3.13).Значит ли это, что при перемещении пробного заряда из точки Ав точку В силами поля не совершается работа? Верно ли, что дляперемещения заряда не надо прикладывать силу?Рис. 3.12Рис. 3.13Задачи с решениями3.2.17.
Электростатическое поле создано двумя разноименнозаряженными с поверхностной плотностью σ = 0,4 мкКл/м2 бесконечными параллельными плоскостями. Найти работу А по перемещению заряда q = 1 ⋅ 10–8 Кл из точки 1 в точку 2, еслиl = 0,03 м (рис. 3.14, а).Рис.
3.14Решение. Для нахождения работы сил поля по перемещениюзаряда воспользуемся формулой (3.2.2). Для определения потенциалов ϕ1 и ϕ2 проведем через точки 1 и 2 эквипотенциальные167поверхности. Это будут плоскости, так как поле однородно. Дляоднородного поляϕ1 – ϕ2 = Еl,где Е — напряженность поля, l — расстояние между эквипотенциальными поверхностями.Используя (3.2.5), можно найти напряженность поля Е междупараллельными разноименно заряженными плоскостямиЕ = σ/ε0.Окончательно работаA = q(ϕ1 – ϕ2) = qЕl = ql σ/ε0.Ответ можно получить и другим способом. Так как поле однородно, то сила кулоновского взаимодействия F постоянна, и работа силыA = Fs cosα,где F = qE = qσ/ε0, а s — перемещение точки приложения силы.Из рис.
3.14, б видно, что s cosα = l, и тогдаA = qlσ/ε0 = 1,36 ⋅ 10–5 Дж.Ответ: A = ql σ/ε0 = 1,36 ⋅ 10–5 Дж.3.2.18. Электрическое поле создано точечным зарядом. В точке, удаленной от заряда на r = 0,12 м, потенциал поля ϕ1 = 24 В.Определить величину напряженности поля Е и направление градиента потенциала dϕ/dn в этой точке.Решение.
Так как эквипотенциальные поверхности точечногозаряда представляют coбой концентрические заряду сферы, тонормаль n к эквипотенциальной поверхности будет совпадатъ с направлением вектора r = r0 − r1 (рис. 3.15), соединяющего точечный заряд и точку с данным потенциалом ϕ1, т.е. нормаль n будетнапpaвлена по радиусу. Тогда выражение (3.2.6) можно упроститьследующим образом: E = −dϕ / dn = −dϕ / dr = −(ϕ2 − ϕ1 )/ r0 − r1 = −(ϕ2 − ϕ1 )/ r . (1)Учитывая (3.2.2), запишем ϕ1 = 24 В, ϕ2 = 0 В и тогда выражение (1) примет вид Е = ϕ1 /r = 200 В/м, т.е. Е > 0.Мы получили, что работа по перемещению единичного положительного заряда из точки с потенциалом ϕ1 в бесконечность168Рис.
3.15(ϕ2 = 0) есть величина положительная, т.е. вектор E направлен отзаряда.Тогда согласно (3.2.5) и (3.2.6) gradϕ = dϕ/dn направлен по радиусу к заряду. Таким образом, приходим к ответу:Е = ϕ1/r = 200 В/м; вектор E нanpавлен по радиусу к заряду.Ответ: Е = ϕ1/r = 200 В/м; вектор E нanpавлен по радиусу кзаряду.3.2.19. Вычислить потенциал ϕ внутри и вне сферы радиусом R,равномерно заряженной зарядом Q, и построить графики зависимостей Е(r) и ϕ(r).Решение. Используя теорему Гаусса (3.2.5), определим нaпpяженность поля Е внутри и вне сферы: при r < R Е = 0;при r > R Е = Q/4πε0r 2;при r = R Е = Q/4πε0R2.Потенциал точки 1, расположенной вне сферы, определяетсяпо формуле (3.2.2):∞ ∞∞ Q ∞QQ.ϕ1 = ∫ E (r )dr = ∫ E (r )dr cos α = ∫dr = −r1 =2r4πεr4πεr4πε0100r1r1r1Здесь мы учли, что нормаль n к эквипотенциальной поверхности направлена по радиусу, т.е.
α = 0 и cosα = 1 (рис. 3.16, а).Так как точка 1 выбрана произвольно (r1 > R), то для всех точекr > R можно записатьϕ = Q/4πε0r.На поверхности сферы (r = R)ϕ = Q/4πε0R.169Рис. 3.16Taк как согласно (3.2.6)E = –dϕ/dn = –dϕ/dr,то при r < R, когда Е = 0, ϕ = const, т.е. потециал внутри сферыравен потенциалу сферы на поверхности:ϕ = Q/4πε0R.Следовательно, окончательно можно записать, чтопри r ≤ R ϕ = Q/4πε0R; при r ≥ R ϕ = Q/4πε0r.Ответ: при r ≤ R ϕ = Q/4πε0R; при r ≥ R ϕ = Q/4πε0r.3.2.20. Металлический шар А радиусом R1, несущий заряд +Q,окружен расположенным концентрически полым металлическимшаром В с внутренним радиусом R2 и внешним — R3.
Заряд внешнего шара В равен нулю. Построить график зависимости напряженности поля Е от расстояния r до центра шаров. Найти потенциалы ϕA и ϕB шаров, если в бесконечности потенциал равен нулю.Изменятся ли потенциалы шаров ϕA и ϕB, если внешний шар заземлить?Решение. Заряд внешнего шара В равен нулю, но в силу электростатической индукции на внутренней поверхности радиусом R2шара B появится наведенный заряд –Q, а на внешней поверхностирадиусом R3 — заряд +Q (рис. 3.17, а).
По теореме Гаусса (3.2.5)найдем напряженность поля:при 0 < r < R1 Е = 0,при R1 < r < R2 E =170Q/4πε0r2,(1)(2)при R2 < r < R3 Е = 0,(3)при r > R3 E = Q/4πε0r2.(4)Рис. 3.17Используя полученные результаты, построим график зависимости Е(r) (рис. 3.17, б).Из рисунка видно, что внутри металла, т.е. при r < R1 и R2 < r << R3 напряженность Е = 0. На поверхностях шаров напряженностьменяется скачком, и в воздухе Е(r) изменяется по законуЕ(r) = Q/4πε0r2.Используя (3.2.2), найдем сначала потенциал ϕВ шара В:∞ ∞∞QQ ∞Qdr = −ϕB = ∫ E dr = ∫ E dr cos α = ∫. (5)R3 =2rR44πεπε4πεr0030RRR333Здесь мы учли, что вектор напряженности поля направлен порадиусу, таким образом, α = 0 и cosα = 1.Потенциал ϕA шара А∞ ϕ A = ∫ E dr .(6)R1Так как для значений R1 < r < ∞ функция Е(r) терпит разрыв,то интеграл в (6) разобьем на три интеграла, в каждом из которыхЕ(r) имеет свое значение, т.е.ϕA = R3 E∫ dr + ∫ E dr +R2R1R2∞ ∫ E dr .(7)R3Учитывая (3), перепишем (7):ϕA =R2∞R1R3∫ E dr cos α +=−Q 14πε0 rR2R1−∫ E dr cos α =Q 14πε0 r∞R3=Q4πε0R2∫R1∞drQdr+=∫24πε0 R r 2r3Q ⎛ 111 ⎞+⎜ −⎟.4πε0 ⎝ R1 R2 R3 ⎠(8)171Если шар B заземлить, то заряд с его внешней поверхностистечет, и у этого шара останется только заряд –Q на внутреннейповерхности радиусом R2.Тогда потенциал шара В будет ϕ′B = 0 (см.
вывод формулы (5)),и соответственно потенциал шара А (формула (8)) cтaнeтϕ′A =Q ⎛ 11 ⎞⎜ −⎟.4πε0 ⎝ R1 R2 ⎠Однако, используя свойство аддитивности потенциала (3.2.4),задачу можно решить проще.В задаче 3.2.19 было получено, что потенциал внутри любойзаряженной сферы радиусом Ri есть величина постоянная, равнаяϕi = Q/4πε0Ri.Следовательно, потенциал ϕА шара А будет складываться изпотенциалов ϕ1, ϕ2 и ϕ3 окружающих его заряженных сфер: сферырадиусом R1 с зарядом +Q, сферы радиусом R2 с зарядом –Q исферы радиусом R3 с зарядом +Q, т.е.ϕ A = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 =1 ⎛QQQ⎞+⎜ −⎟.4πε0 ⎝ R1 R2 R3 ⎠(9)Сравните с формулой (8).Аналогично потенциал шара В определяется только потенциалом ϕ3 заряженной сферы радиусом R3:ϕB = Q/4πε0R3.Ответ: ϕ A =1 ⎛QQQ⎞+⎜ −⎟ , ϕ = Q/4πε0R3.4πε0 ⎝ R1 R2 R3 ⎠ BЗадачи без решений3.2.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
