Л.Г. Антошина, С.В. Павлов, Л.А. Скипетрова - Общая физика (сборник задач) (1109674), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В вакууме образовалось скопление зарядов в форме шарарадиусом R с постоянной объемной плотностью ρ. Найти напряженность поля Е в точках, лежащих внутри и вне шара.Решение. В данном случае непрерывное распределение зарядовобладает центральной симметрией, поэтому для нахождения напряженности поля Е воспользуемся теоремой Гаусса (3.1.5).Рассмотрим вначале точки, лежащие внутри заряженного шара.В качестве поверхности интегрирования S1 выбираем сферу радиусом r1, концентрическую заряженному шару (рис. 3.7, а). Тогда 2∫ E1 dS = ∫ E1 dS cos α = E1 ∫ dS = E1 ⋅ 4πr1 .S1S1S1Здесь мы учли, что cos α = 1 (α = 0), так как положительнаянормаль n1 к поверхностиS1 совпадает с направлением векторанапряженности E1.Рис.
3.7160Такая сфера заключает в себе заряд q1 = 4π r13 ρ/3. Используя(3.1.5), запишем E1 · 4πr12 = 4π r13ρ/3ε0. С учетом того, что r1 быловыбрано произвольно (r1 < R), окончательно получим напряженность E1 внутри заряженного по объему шара:E1 = ρ r/3ε0.Аналогично поступаем для точек, лежащих на сфере с радиусомr2 > R, т.е. 2E∫ 2 dS = ∫ E2 dS cos 0 = E2 ∫ dS = E2 ⋅ 4πr2 .S2S2S2Однако при r2 > R внутрь произвольной сферы попадает весьзаряд q, создающий поле, следовательно, E2 ⋅ 4πr22 = ρ ⋅ 4πR3/3ε0.Так как r2 выбрано произвольно (r2 > R), тоE2 = ρR3/3ε0r 2.При значениях r1 = r2 = R напряженность E = ρR/3ε0; следовательно, в точке r = R вектор напряженности Е не терпит разрыва,а имеет конечное значение.На рис.
3.7, б изображен график зависимости величины напряженности поля Е заряженного по объему шара от расстояния r.Ответ: E1 = ρr/3ε0, E2 = ρR3/3ε0 r 2.Задачи без решений3.1.33. В центр квадрата, в вершинах которого находится позаряду q = 2 ⋅ 10–9 Кл, помещен отрицательный заряд. Найти величину этого заряда Q, если результирующая сила F, действующаяна каждый заряд q, равна нулю.3.1.34. Вычислить, чему равна напряженность поля Е равномерно заряженной бесконечной плоскости. Поверхностная плотность заряда σ.3.1.35.
Две бесконечные параллельные пластины равномернозаряжены с поверхностной плотностью заряда σ1 = 10–2 мкКл/м2и σ2 = –3 · 10–2 мкКл/м2. Какова сила взаимодействия F/S, приходящаяся на единицу площади пластин?3.1.36. Две параллельные, бесконечно длинные прямые нитинесут заряд, равномерно распределенный по длине с линейнойплотностью τ1 = 0,1 мкКл/м и τ2 = 0,2 мкКл/м. Определить силу161взаимодействия F/l, приходящуюся на единицу длины нити, еслирасстояние между нитями r = 0,1 м.3.1.37. Два точечных заряда q1 = 2q и q2 = –q находятся на расстоянии d друг от друга.
Найти положение точки на прямой, проходящей через эти заряды, в которой Еl = 0.3.1.38. Две бесконечно длинные равномерно заряженные нитирасположены параллельно друг к другу на расстоянии а = 0,1 м.Найти геометрическое место точек, где результирующая напряженность поля равна нулю, если нити заряжены с линейнымиплотностями τ1 = 4 ⋅ 10–7 Кл/м и τ2 = 2 ⋅ 10–7 Кл/м.3.1.39. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе заряженная капелька ртути находится в равновесии при напряженности электрического поля Е = 6 ⋅ 104 В/м. Заряд каплиq = 8 ⋅ 10–19 Кл.
Найти радиус r капли. Плотность ртути ρ == 13,6 ⋅ 103 кг/м3.3.1.40. Два одинаковых шарика массой m = 5 ⋅ 10–3 кг подвешены на двух нитях так, что их поверхности соприкасаются. Какойзаряд q0 нужно сообщить шарикам, чтобы натяжение нити сталоТ = 0,098 Н? Расстояние от точки подвеса до центра шарикаl = 0,1 м.3.1.41. Вычислить напряженность электрического поля Е внутри и вне конденсатора, поверхностная плотность заряда пластинкоторого равна σ.3.1.42.
Вычислить, чему равна напряженность поля E вблизиповерхности металлического проводника, заряженного с поверхностной плотностью заряда σ?3.1.43. Определить напряженность поля Е внутри и вне безграничного плоского слоя толщиной d, в котором равномерно распределен положительный заряд с объемной плотностью ρ?3.1.44. Плоская квадратная пластина со стороной а = 0,1 мнаходится на некотором расстоянии от бесконечной, равномернозаряженной плоскости (σ = 1 мкКл/м2).
Плоскость пластины составляет угол β = 30° с линиями поля. Найти поток NE векторанапряженности через эту пластину.3.1.45. К бесконечной вертикальной заряженной плоскости нанепроводящей нити прикреплен одноименно заряженный шарикмассой m = 4 ⋅ 10–5 кг с зарядом q = 6,67 ⋅ 10–10 Кл. Натяжениенити, на которой висит шарик, равно Т = 4,9 ⋅ 10–4 Н. Найти поверхностную плотность заряда σ плоскости.1623.1.46. Диск радиусом R заряжен равномерно с поверхностнойплотностью σ. Определить силу F, действующую на заряд q0, помещенный в точке, находящейся на перпендикуляре к диску, проходящем через его центр, на расстоянии h от диска.3.1.47. Тонкий стержень длиной l0 = 0,1 м равномерно заряженположительным зарядом Q = 10–7 Кл. Найти силу F, действующуюна точечный заряд q = 2 ⋅ 10–9 Кл, расположенный на продолжениистержня на расстоянии x0 = 0,2 м от него.
Найти напряженностьполя Е(х) в точках, лежащих на продолжении стержня, как функцию расстояния х от стержня.3.1.48. В центре полукольца радиусом R = 0,05 м, по которомуравномерно распределен заряд Q = 3 ⋅ 10–7 Кл, расположен точечный заряд q = 1,5 ⋅ 10–9 Кл. Найти силу F, действующую на точечный заряд со стороны полукольца.3.1.49. Две концентрические металлические заряженные сферырадиусом R1 = 0,06 м и R2 = 0,10 м несут соответственно зарядыq1 = 1 нКл и q2 = –0,5 нКл. Найти напряженности поля Е1, Е2 иE3 в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 = 0,05 м,r2 = 0,09 м и r3 = 0,15 м.3.1.50. Вычислить напряженность электрического поля E между двумя коаксиальными металлическими цилиндрами.
Заряд,приходящийся на каждую единицу длины цилиндра, равняется τ.3.1.51. Заряд с постоянной объемной плотностью ρ распределенв виде тонкого длинного цилиндра радиусом R. Найти напряженность поля E в точках, лежащих внутри и вне цилиндра.ТЕМА 3.2.РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.ПОТЕНЦИАЛИз определения напряженности электростатического поля Eследует, что работа сил поля A12 по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 по контуру l2211A12 = ∫ Fl dl = q ∫ El dl .(3.2.1)Интеграл, стоящий в правой части (3.2.1), равен разности потенциалов ϕ1 – ϕ2 между рассматриваемыми точками2∫ El dl = ϕ1 − ϕ2 .(3.2.2)1Таким образом, работу сил поля А12 можно найти из формулыА12 = q(ϕ1 – ϕ2).(3.2.1*)Для точки 2, удаленной на бесконечность, потенциал ϕ2 будемсчитать равным нулю.
Тогда работа по перемещению единичногоположительного заряда из данной точки 1 в бесконечность оказывается равной ϕ1.Если поле создано одним зарядом q1, то потенциал точки поля, удаленной от заряда на расстояние r0 − r1 ,ϕ1 =1q 1,4πε0 r0 − r1(3.2.3)где r0 — радиус-вектор рассматриваемой точки поля, r1 — радиусвектор, характеризующий положение заряда q1.Для вычисления потенциала поля нескольких зарядов qi, положение которых характеризуется радиус-векторами ri , полезно использовать свойство аддитивности потенциала. Тогда потенциалв точке r0q1(3.2.4)ϕ= i .∑4πε0 i r0 − riПри непрерывном распределении зарядов суммирование в(3.2.4) должно быть заменено интегрированием.164В ряде случаев полезным бывает использование дифференциального соотношения, определяющего связь между напряженностью поля и потенциалом:(3.2.5)E = −gradϕилиE = −dϕ / dn,(3.2.6)где направление n совпадает с нормалью к эквипотенциальнойповерхности.Качественные задачи3.2.1. На рис.
3.8 дана картина расположения эквипотенциальных поверхностей электростатического поля. Известно также, чтоϕ1 > ϕ2. Каково примерное направление силовых линий этогополя? Определите, в какой области напряженность поля больше?3.2.2. Электрическое поле создано точечным зарядом +q(рис. 3.9). Определите работу A, совершаемую силами поля приперемещении некоторого заряда из точки D в точку В. Сравнитеработы по перемещению того же заряда на участках DC и ВС.3.2.3. В электрическом поле неподвижного точечного заряда+Q переносят малый заряд –q из точки M в точку N по траекториям 1, 2 и 3.
Точки M и N находятся на одинаковом расстоянииот заряда +Q (рис. 3.10). В каком случае работа сил электрическогополя будет наибольшей?3.2.4. На упругий шарик A, несущий заряд +q и закрепленныйнеподвижно (рис. 3.11), начинает падать с высоты Н с начальнойскоростью, равной нулю, такой же шарик B и после упругого удара о шарик А подскакивает вверх. Как высоко поднимется шарик В, если он также заряжен зарядом +q?Рис. 3.8Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
