И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1109026), страница 62
Текст из файла (страница 62)
. ежду На рнс. 9-14 п ез р . — р дсгавлены две плоские сетки восьмиугольников. Очевилно, что правильные восьмиугольпики не могут покрывать поверхность без промежутков. Среди восьмиугольников встречаются мень- Рнс. 9-12 Плоские сетки прнвнльных многоугольников, обладающих симметрией вплоть до поворотной осн восьмого парилка Рнс.
9-13. Сетки правильных шестиугольников, покрывающих поверхность без оромежум ков н перекрываний иные сщы. Фататрвфия прелаешвленв нраф. Пвлам За.пенам Нреши, 1чхз е пчелиные с а зшвтфармы лля лобычи нефти, сооруженные н северном море. Рисунок сл .. с .. "елен па ли»аз,нйии, лривеленнай в отчете 1979 ~ компанией ч твзайз», р л», Ца ввозя; в с~албааб, взрф ные бвзялыавыс саелннения, Риаунак Ференив Лвнюшв. злим зваввнный, в - нз г15» в т ыз мотыльке 1ори увеличении лрнбянзизельно в 2ООО рвз1. Фататрвфия любезно нреластввленя л ром Дж Маррзлам, Универскзтез шз Коннектикут, 19йе Ыд сзрукзурв графитового слоя 41'1 Соиыстрик в ьрис~ллллк 1лавл 9 Рис 9-13 1ороиоаисввс) Рис. 9-14.
Восьмиусольныс илоскис сетки и узор по Вашарсю 11б]; б венгсрскак вышивка с17]. 4 П Гы:ы ч шие по величине квадраты. Один из узоров нарисован по Вашарею, а другой представляет собой рисунок венгерской вышивки. Было высказано предположение [16], что рисунок Вашарея из восьмнугольников создан под некоторым влиянием народного искусства. Теперь рассмотрим возможные типы осей симметрии в пространственных группах (см., например, [3]). На рис.
9-15 приведен узловой ряд с периодом ь Через каждый его узел проходит поворотная осыз-го порядка, 6.'„. Поскольку и поворотов всякий раз на угол зр должны приводить к самосовмещению, неважно в каком направлении они выполняются. Два поворота на угол йз вокруг двух осей в противоположных направлениях показаны на рис. 9-15. Полученные таким образом два новых узла обозначим р и д. Эти два новых узла находятся на равных расстояниях от исходного ряда, и, следовательно, сосдиняннцая их линия парацчельна исходному узловому ряду. Длина параллельного отрезка, соелцняющего р и 9, должна быть равна произведению целого числа т н периода и Если это не так, то линия, соединяющая новые узлы р и д, не будет трансляцией решетки и полученное множество не будет периодическим.
Используя рис. 9-15, можно определить углы поворота йз, которые могут существовать в решетке: т1=г-ь21соззр, т=О,+1, +2, +3,... где + т нли — т зависит от направления поворота, а сох йз =(т — 1)/2 Следует рассматривать только решения, соответствующие области — ! < соз<р < 1 Эти решения приведены в табл. 9-1. Возможны только пять решений, и соответственно лишь пять типов поворотных осей совместимы с решеткой. Таким образом, в кристаллических структурах недопустима не только симметрия пятерной осн, но невозможны также все осн порядка выше шести. Естественно, это с таким же успехом применимо н к плоским сеткам. Допустимый порядок зеркально-поворотных осей имеет те же ;7 с„ с„ с„ Рис. 9-15.
Иллюстрации определении возможных цоридков поворогцых осей, козорые могут присутствовать в пространственных группах [3]. 0с 1960 МсОгац-гр!й!,!пс. Использовано с разрешения. и„з сгр;ы и крисы Таблица 9-1. Допустимые поворотные оси и в решетке ецз с пщ Вазы зииые знзз .иии и — ! 180 2 112 120 0 90 4 -~- 1,'2 60 6 +1 360 1 или 0 — 2 — 1 0 -~- 1 42 где п и т — целые числа. Из этого уравнения получаем Т= тба где т, конечно, может быть О, 1, 2, 3 н т. д., но и может быть только 1,2, 3, 4 илн 6. Теперь можно определить допустимые значения шага винтовых осей в решетках.
Их сводка дана в табл. 9-2, при этом принимается также во внимание, что (3/2 1) = 1 4 (112) г, (5!4) 1 =- 1 + (114) 1 и т.д. Существует только 11 винтовых осей, и, которые допустимы в решетке в соотвез.ствии с табл. 9-2. Нижний индекс в обозначении (т) взят из выражения Т= (тг),~и. Простые поворотные оси можно рассматривать как частный случай винтовых осей с т = О и т = п. На рис. 9-16 изображены 11 винтовых осей. Ясно, что некоторые пары отличаются только направлением поворота. Такие винтовые оси являются энантиоморфными.
Следующие пары винтовых осей энантиоморфны: 3, н 3з, 4, и 4,, 6, и 6,, 6з и 6ы Наконец, единственный элемент симметрии, который осталось рассмотреть, — плоскость симметрии скользящего отражения. Она вызывает скользящее отражение в результате отражения и переноса. Трансляционная компонента Т плоскости скользящего отражения представляет собой половину обычной трансляции решетки в направлении скольжения. Скольжение вдоль оси а равно Т= (1/2)а н называется плоскостью скользящего отражения а. Подобным образом диагональное скольжение может иметь Т= (! /2) и + (! /2) с. Различные возможные плоскости скользящего отражения приведены в табл.
9-3. ограничения, что и порядок простых поворотных осей. Рассмотрим теперь ограничения, налагаемые на винтовые оси. В решетке винтовые оси должны быть параллельны трансляционному напранлению. После и поворотов на угол зр н и переносов на расстояние Т, т. е. после и переносов вдоль винтовой осн, общее число трансляционных расстояний в направлении этой оси должно быть равно некоторому кратному числу трансляпий решетки тг. пТ= т! Симметрия в крпсгпддпх 1'.шв.с и и Т Ос, Ос. Ос.
Ос. Ос, !!. 2с,... (1!2) с, (212) с, (1!3) с, (2,с3) с, (1!4) с, (2,'4) с, (1!6) с, [2сб) с, (3! 2) с,... (313) с, (4с'3) с,... (3с4) с, (4,'4) с, (5/4) с... (3/6) с (4'6) с (5,'6) с (бсб) с (7сб)с 2 2 и Т (иск.сксчеиы Тв с) 3 з з -с 3, 4, б, 32 4х бз 4з бз 4, ба бз Таблица 9-2. Возхсожссые значения шага Тлпя винтовой оси и-го порядка (1)2) с, (!с 3) с, <2с'3) с, ()с*4) с.
(2,'4) с, (3,'4) с, ( 1 !6) с, (2)6) с, (3,'б) с, (4)6) с, (526) с и Обозначение винтовых осей, ссоптстныых в репсетке Тот факт, что кристалл имеет решетчатую структуру, накладывает строгие ограничения на симметрию его внешней формы. Между тем возникает вопрос: можно ли получить любую информаиию о кристаллической решетке, зная симметрию внешней формы? 32 кристаллографические точечные группы могут быть классифицированы по симметрийным критериям.
Их обычно группируют в соответствии с осью наиболее высокого порядка, которую они содержат. Полученные ~руины называкзт кристаллографическими системами. Таких систем существует всего семь, и они представлены в табл. 9-4. Чтобы получить пространственные группы, крист аллографические точечныс группы следует комбинировать со всеми возможными пространственными решетками. оси 2, 3, 4 11 винтовых осей. Для полноты сравнения показаны также поиоротныс оси и б (3).
Ос 1960 Мсхсгашй(с!1, 1пс. Использовано с разрешения. Гыни 9 <'нмме!рня и крист гл.шч 3 ни скояыксная Трансляпнонная компонент~ Координатное Координатное Координатное Диагональное Л.тмнзное' и<2 Ь,'2 гу2 иг2 -1 Ь,'2; Ь<2 -1- т22 или г <2 -1- и!2 а<4 ч ы4; ь74 9 г<4 или г<4-1- 704 ' Трпнсляциопнпя компонента равна половине истинной транслмшн ндопь лннгональнон ~ рени цен грн ран гиней п.шской решетки Система Минимальна» снмметрн» <лнм- нпсо1ческис зле- менгы симметрии) Соот ношения между ребрпмн и угламн элемен- тарной ячейки Гнп Нумерааня на рис.
9-17 решетки 1 (или 1) Триклинная пдЬФс Р 1 а И 0 ге у д 90' С 5 Ромбичсск !я 222 (или 222) аи'<Ь ас а = В =- у = 90' Р С (или )3, или А) ! Р Тригональная 3 (3) <ромбоздрическая) и=Ь=-с и Я а = 13 = у И 90' Гексагонапьная б (б) и=ЬФг а = 13 = 90" ; = !20' Р 9 ~ЕЕ Тетрагональная 4 (или 4) а=бит Р 10 а = 13 =- у = 90' ! !! 12 13 Кубическая Четыре 3 (или 3) а=б=г Р а=в=у=90' 13 Р 14 Рис. 9-17.
14 решеток Брнпз Таблица 9-3. Возможныс плоскости скользящего отражения Таблица 9-4. Характеристика крисзаллографи шских систем Монокчиппан 2 <или 2) аыбдс Р а=у=90 Ир С(или А) 3 <3.4. 230 3)ростр(3!)ствснных групп В трсхмерном пространстве существует всего 14 бесконечных решеток, назынаемых решетками Брава (рис.
9-17). Они являются аналогами пяти бесконечных решеток в двумерном пространсгве. Решетки Бравз представляются в виде точек в вершинах параллелепипедов. Соотвстствуюшие параллелепипеды способны заполни~ь все пространство без промежутков н перекрываний. Представление решеток в виде систем точек особенно полезно, так как зто позволяет соединить точки решетки любым желаемым образом в соответствии с требованиями симметрии. Таким образом, не только первоначальные формы параллелепипедов, но и любые другис возможные фигуры могут быть использованы как злемензы для построения пространственной решетки.
6Ы6 П ~'ЕЕ Гиви Ч !4 решеток Бравз перечислены в табл. 9-4. Решетки характеризуются следующими типами: примитивная (Р, Р), базоцентрированная (С), гранеценчрированпая (Р), объемноцентрированная !1). Число решеток Б рава в табл. 9-4 соответствует их числу на рис. 9-!7. Параметры решетки такжс перечислены в таблице. Кроме того, показано распределение типов решеток по крисчаллографическим системам. фактически существуюшие бесконечные решетки получают в результате параллельных переносов решеток Бравэ в качестве элементарных ячеек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
