И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1109026), страница 58
Текст из файла (страница 58)
!5.5. Двумерные пространственные группы Всего существует 17 классов симметрии односторонних плоских сеток (см., например, [23). Они изображены на рис. 8-21 аналогично иллюстрации семи классов симметрии, присущих бордюрам [см. рис. 8-9). Приведены также наиболее важные элементы симметрии и координатные обозначения классов симметрии. Первая буква !р или с) в этом обозначении относится к группе трансляций.
Следуидцие три позиции несут информацию о наличии различных элемезпов симметрии: т - плоскость симметрии, д-плоскость скользяще!.о отражения, 2, 3, 4 или 6 — поворотные оси. Цифра 1 или пустое место указывают на отсутствие элемента симметрии. Представления классов симметрии на рис. 8-21 в некотором смысле были навеяны иллюстрациями, содержащимися в книге «Злементарная кристаллография» Бургера [73.
Наряду с чисто геометрическими конфигурациями на рис. 8-21 представлень! 17 венгерских вышитых узоров. Краткое описание их происхождения дано в пояснении к рисункам [8]. В пространственных группах существует удивительное ограничение, накладываемое на возможный порядок осей симметрии. К причине этого ограничения мы обратимся позднее в главе, посвязценной кристаллам (гл. 9), так как с ней связаны и трехмерные пространственные группы.
Решетка плоской сетки с двумерной пространственной группой описывается двумя неколлинеарными трансляциями. Такая решетка показана на рис. 8-22. Вопрос заключается в там, какук> пару трансляций надо выделить, чтобы описать данную решетку. Существует бесконечное число способов выбора каждой трансляции, так как ливня, соединяющая два любых узла решетки, является трансляцией решетки. На рис.
8-23 показаны плоская решетка и несколько возможных способов выбора трансляцнонных пар для ее описания. Для описания примитивной решетки выбирают ~акис трансляционные пары, как с, и г, или сз и !». Каждая примитивная решетка содержит только один узел. Ясно, что каждый узел на рис. 8-23 принадлежит четырем соседним ячейкам или только одна четверть узла принадлежит какай-то одной ячейке. Так как у каждой ячейки четыре вершины, то все они дают целый узел.
Наоборот, в результате переноса какой-нибудь одной примитивной ячейки все примитивные ячейки будут содержать только один узел. С другой стороны, кратная ячейка содержит е!це один нли более узлов, )тд 1.ьгнл 8 рг ° в шж вю ° ю ° 1 ю) г$.а ю ф ~ю 1 'А .а 1 Ъ РЗ ~ ° ~ю ~г~ )зй Ф~ ай! А 4 Ъ Ъ~ Рис. 8-21 (продолжсиггс ! ) У У" У" г ° ю ю ° ° ю ю ° ю ° )И Вр. в В) Рис.
8-21 17 кгшссов симметрии односторонних плоских сеток, в которых отлчсчены наяболсе важныс элементы симмсгрии и ланы обозначения классов. Для соотвстствуюших типов симметрии имеете с геометрическими конфигурациями представлены примеры венгерских ггн~гиональных вышивок Ниже даегся их яра~кос описание (8!. р) и лц. Материал лля овежлы, окрашенный индиго. Шейе, округ Баранья, 1899 гц р2.
Украшение занавески )инлиго) Использован узор «огорый очень популярен в настояше» время; у), рб, рбмк, р)т) и рЗ)ш Рисунки кресгьянскаго наряда с характерным мотивам из птнн Северная Всшрия, рт Рисунок е тюлышнами дзя скмертн Вышивка крестом)нача.ю нашшо стозстия), ршм2 Узор каймы покрывала с гравповым мотивом. Северо-Западная Венгрия, Х)Х а: р4шм. Звездообразный узор каймы гюдушки. Вышивка крестом. Трггггсильвания, Х!Х в..' гт Узор каймы полушки с мотивом из вавляньих хвостов.
Вышивка крестом Весьма распространен по всей Венгрии примерно на рубеже двух сз олетий, счня2 Узор каймы покрывала с мотивом из петушиных гребней Вышивка крестом. Округ !домаль, Х)Х в., рц. Из коллекции узоров лла украшении !индиго).
Папа. округ Веспрем, 1856 г., рцц2 Узор детскои сумки, Т'рансильвания, на рубеже двух столетий. ртц2 Узор каймы полушки, украшенаыи мотивом сгеблей с вавич камн Весьма распросгранев по всей Всю рни примерно на рубеже двух столсгий, гарцы Вышивка рукава блузы Окр)з Бггч-Кишкун, Х)Х в. д".й л ы .48 ~ 48 Ф 48 ю ° ° ю ° ° 8 А .й8 ~ ° 4 Ъ рй у, гв 3 Проссрвпс~нснные ~руппы снммс~рпн 41 Ле 'ез Лк Рнс.
8-22. Плоская сетка, опредсляемая двумя неколлнневрнымн трансдяпнямя, Рнс. 8-23. Иллюстрация прнмнтнвной в элементарной ячеек плоской решетки по Азарову [22) 1с1 1960 Мсгавж-1-181, 1пс. Воспроизводится с рв~рсшення. кроме узла, распределенного по вершинам. Например, трансляционная паР 1, 1в пРеделЯет УдвоеннУю ЯчсйкУ.
ЯчейкУ называют элемшпаР- ной, если под действием трансляции из нее можно получить целиком всю решетку. Таким образом, элементарная ячейка мо;кез быть либо примитивной, либо кратной. Обычно злемегпарную ячейку выбирают, так, чтобы лучше продемонстрировать симметрию решетки Трансляции, выбранные за ребра плоской элементарной ячейки, обозначают а и в, а для пространственной решетки -и, Ь и с и называют их кристаллографическими осями. Углы между ребрами трехмерной элементарной ячейки обозначают а, 11, у (в плоской решетке присутствует только уй На рис.
8-24 показаны три плоские се ~ки, основанные иа одной и той же плоской решетке. В каждой точке этих трех сеток пересекаеотся две и только две линии. Соответственно параллелограммы всех трех сеток имеют одинаковую плошадь. Любой из них является элементарной Рнс. 8-21 (продолжение 6) !.ыис К Прос1Р ш гвсииыс ~ Рзииы ситес~гни Простраиствеииыс группы координатные (или международные) символы бесхоорлииатиые символы (Ь/а): 2 Параллелограыыатичсская Решетка (а) Прямоугольная решетка (б) Алмазная решетка (в] Гексагоиальиая или тригоиальиаи решегха (г) Квадратная решетка (д) (Л.а):2 т (а/'а):2 е (а/'а) б.т Ртт2 се~ч2 Рбее (а:а):4 и~ 8.5.1.
Некоторые простые сетки 25 п53 Рис, 8-24. Различные сетки иа ссисвс одной и той же плоской Решетки. ячеикой, а на самом деле- примитивной. Каждый из этих параллело- ~ раммов определяется двумя сторонами а и Ь н углом у между ними. Их называют параметрами ячейки. Обычная плоская сетка, показанная на рис. 8-25, , а, называется пана ис.
8-25, яв раллелограмматической решеткой. Четыре другие сетки, изоб ,изо раженные на рис. -, являются особыми случаями обычной решетки. Прямоугольная решетка (б) имеет элементарную ячейку с неравными сторонами. У так называемой алмазной решетки (в) стороны элементарной ячейки равны.
Особый случай алмазной решетки когда угль р ~ми сторонами элементарной ячейки составляют )20", и зта решетка (;) называется ромбической, или треугольно, й, так каь короткая диагональ ячейки делит ее на два равносторонних треугольника. Можно считать, что такая решетка имеет гексагональную симметрию. Наконец, существует квадратная решетка (д).
Вьппс были описаны пять особых плоских решеток в соответствии с предположенисм, что сами узлы решетки имеют наиболее высокую возможную симметрию. В этом случае симметрия пяти особых решеток такова (рис. 8-25): а~Е~~ЫЫ Рис. 8-25 Пять особых плоских решеток (от а ло я, см. текст). Комбинируя точечные группы симметрии с пяоскими решетками, в целом можно получить !7 двумерных пространственных групп, Все онн представлены на рис.
8-2 !. В действительности на возможные точечные группы, которые можно сочетать с решетками для получения пространственных групп, накладываются строгие ограничения. Некоторые элементы симметрии, подобно поворотной осн пятого порядка, несовместимы с трансляционной симметрией. Эти случаи будут подробно рассмотрены в гл.
9. Простейшая двумерная пространственная группа в четырех вариантах представлена на рис. 8-26. Эта группа не накладывает каких-либо ограничений на параметры а, Ь и у. Эквивалентные мотивы, повторяе- Рис. 8-26. Простейшая двумерная иростраисхасииая ~руана в четыРех ваРиантах НН5 1'чзьи 8 Г!!5 ч:~!5ин "нснныс ~ руины снммс ~1 нн 2Р мые трансляциями, могут быть совершенно изолированы один от другого, могут состоять из несвязанных частей„могут пересекать друг друта и, наконец, могут заполнять всю плоскость без пробелов. Конечно, такое разнообразие возможно и для любой из более сложных двумерных пространственных групп.
Особенно любопытны такие варианты, в которых вся доступная поверхность покрыта без пробелов. М. Эшер особенно знаменит своими периодическими рисунками, заполняющими всю плоскость. Их снмметрийные аспекты детально обсуждены голландским кристаллографом Каролиной Мак-Гиллаври Г92. Рис. 8-27, а заимствован из ее книги. Он характеризуется симметрией р! . Элементарная ячейка содержит комбинацию рыбы и судна !рис.
8-27. б). Мотив другого рисунка !8-28,а) из той же книги [91 составлен из сочетания птицы и рыбы !рис, 8-28,б). Можно выбрать ячейку так. чтобы в ней было по две птицы и рыбы, причем каждая соответствующая пара была бы связана поворотной осью второго порядка. Однако основной мотив !примитивная ячейка) содержит только одну птицу и одну рыбу. Это так называемая асимметричная единица. Элементарная ячейка в этой сетке содержит две асимметричные единицы. Весь узор Рис. 8-27. б а- псриолический рисунок Эшера на основе рыбы и судна с пространственной группой р1, заимствованный из книги Мак-Гиллаври Г9) Воспроизводится с разрешения Междунвролного союза крис5аллографов; 6 †элементарн ячейка: рыба и судно в качестве повторяющегося мотива.
Рис. 8-28. а периодический рисунок Эшера нз основе рью и птиц с пространственной группой р2, заимствованный из книги Мяк-! ил.иври !9], Воспроизводится с разреп5сния Международного союза криствгысЧРафов. б -примитивная ячейки и элементарная ячейка с поворотной осью 2 можно получить действием двойных поворотных осей и трансляций. Его двумерная пространственная группа есть р2.
Как отмечалось выше, н этом изображении присутствуют в целом четыре п5па двойных пгеоротных осей. Они всегда находяэся на расс5ояниях !1,'2)а, !1/2)/> и !1/21 !а+ Ь) дру2 ог друга независимо от иыбора элементарной ячейки. Канадский кристаллограф Франсуа Бриссе создал серию рисунков, представляющих двумерные просгранствснныс группы, относящиеся к Канаде ) 10). Серия была посвшцена Х1! конгрессу Международною союза кристаллографов, состоявшемуся в Оттаве в 198! г. Рисунки должны были отобразить канадские провинции и канадские просторы. Один из них приведен на рис. 8-29, а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
