И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1109026), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Можно также располагать ребра наклонно по от.ношению к другим ребрам. Пусть размеры элементарной единицы спайности равны а и Ь (рис. 9-7), тогда !й 0, = Ь/а, а гй Оз = Ь/2а н вообще !й 0 = ьлЬ/ла, где ьл и л — радиональные целые числа. Если продолжить в третьем направлении, то мы получим отрезки а, Ь, с, отсекаемые гранью на соответствующих осях. Отрезки, отсекаемые любой другой гранью, должны быть пропорциональны этим отрезкам. Это и называют законом кратных отрезков.
Обычно грани кристаллов описывают обратными величинами кратных отношений стандартных отрезков; отсюда возникает другое название †зак рациональных индексов. На рис, 9-7 три линии, выбранные в качестве осей, могут быть также ребрами кристалла. Рассматриваемая грань АВС отсекает на этих осях отрезки а, Ь, с. Какая-то другая грань кристалла, например /ЭЕС, может быть описана через эти отрезки как а/Ь, Ь/Ь. с//. Здесь Ь, /г, / простые целые числа или нуль.
Их называют индексами Миллера. Отрезок бесконечен, если грань параллельна какой-то оси, тогда Ь, Ь или / соответственно будут равны нулю. Для ортогональных осей индексы граней куба - (!00), (О!О) и (001). Индексы грани 17ЕС на рис. 9-7 равны (231). В самом леле, простая теория спайности Гаюи вскрыла много важного в строении кристаллов. Однако в общем случае она не применима, так как раскалывание не всегда приводит к формам спайности, которые обязательно смогут заполнить все пространство при повторении.
Как уже отмечалось в предыдущей главе, существует ограниченное число полиэдров, способных без остатка заполнить пространство. Установление закономерностей во внешней форме кристаллов привело к признанию трехмерной периодичности в их внутренней структуре. Это было сделано задолго до того, как появилась возможность определения расположения атомов в кристаллах с помощью различных дифракционных методов. Уже за 200 лет до Дальтона и за 300 лет до рентгеновской кристаллографии Кеплер обсуждал расположение атомов в кристаллах.
В своей 409 Симмсзрия н крисгал.ыт юг в~~'~ аа Рис. 9-7. Ребра, наклонные к единицам спайностн, и лемонстрапия закона кратныт от- резкои. работе «О шестиу~ ольных снежинках» он предложил плотную упаковку шаров (рис. 9-8,а). Плотная упаковка пушечных ядер и скулыггура, являющаяся ее выражением. показаны на рис.
9-8,п и е. Основное значение идеи Кеплера состоит в том, что он впервые связал внешнюю форму твердого тела с его внутренним строением. Поиск Кеплера гармонических сооыюшений является мостом между с~о эпохальными открытиями небесной механики и менее известными, но тем не менее продуктивными идеями, которые теперь объединились в кристаллографию. Как пипзет Шпеер ь!11, эпоха Ренессанса явилась стимуззирующим фоном для заложения основ науки о кристаллах. Следует отмстить, что даже после открытия модели Газон все внимание было сконцентрировано на упаковке в кристаллах. Задача состояла в том, чтобы найти такие расположения в пространстве, которые согласуются со свойствами кристаллов. Наиболее важное свойство кристаллической структуры †трехмерн периодичность атомного расположения, объяснение которой мы находим в плотной упаковке участвующих частиц.
Симметрия внешней формы кристалла -следствие его внутреннего строения. Однако такая же высокая симметрия внешней формы может быть легко достигнута для куска стекла путем специальной механической обработки. Но кусок стекла, которому придали внешнюю форму, обычную для алмаза, не приобретает всех других свойств, которыми П9. 44 Рис. 9-б. Ромбы спайности и.их стыковка по Гаюи т91 410 411 Симметрия в крг1ш ш.шг !лава 9 ОА Яв .Ра ф, арф а Рис. 94Ь а — плотноупакованные шары по Кеплеру [101; б .плотноупакованные пушечные ядра; Лакания, шг Нью-Хэмпшир.
Фото авторов; в музей скульптуры под открытым небом недалеко от г. Печ, Венгрия. Фото авторов. обладает алмаз. Разница в цене алмаза н его имитации давно была известна. В Индии в Л в. по описанию, данному в Кама сутра, каждая куртизанка должна была овладеть минералогией [наряду с химией). Если ей платили драгоценными камнями, то она должна была уметь отличить настоящие кристаллы от стразов [!23.
Мно~ие замечательныс свойства кристаллов определяются главным образом их структурой, а соответственно с этим их внешней и внутренней симметрией. Механические, электрические, магнитные н оптические свойства кристаллов могут быть описаны в тесной связи с их симметрией [!3!. В реальных кристаллах атомы находятся в постоянном движении. Однако это движение гораздо больше ограничено, чем в жидкостях, не говоря уже о газах. Поскольку атомные ядра значительно меньше и тяжелее электронных облаков, их движение может быль очень хорошо описано малыми колебаниями относительно равновесных положений. В нашем рассмотрении симметрии кристаллов будем приближенно считать все структуры полностью жесткими. Между тем, в современном определении молекулярной структуры кристалла движение атомов должно быть учтено.
Как при использовании методики структурного анализа, так н при интерпретации резулыатов должно приниматься во внимание движение атомов в кристалле. В этом месте дадим слово поэту [!41: Му шо1есп1е и яс1г Апй ! Ьаге сапйщ гйе й!пега гоо. Тгяо агогпв Ьаяе гегпрегагпгеа уГгщсЬ аге пека!1»е. Апг! гг»о аге по! геьо1яед аг 411 Ноге сап 1 бпб а сше ТЬе и-1асгог и епоппопа Апд ьйгесг шербока гаг1 пге? РегЬара и и пог гпу шеиег, То Ье а мгпсшге апа1ум. (Моя молекула больна, И я тоже бален. Два атома имеют Отрипательнунг гемперагуру, А два не найдены воасе.
Как могу я найти яехарство— Я-Фактор огромен, А прямые методы обманули мои надежды? Может бьыь, это нс моя профессия Быть струкгуршиком.) 9.2. Зэ криста|!до! р!1фические точечные ГРУПП1г! Хотя слово «крис| алл» в повседневном употреблении является почти синонимом симметрии, важно знать, что существуют строгие ограничения, налагаемые на симметрию кристаллов. В то время как в принципе не существует ограничений числа классов симметрии молекул, не так обстоит дело для кристаллов. Что касается формы, то все кристаллы принадлежа г к одному из 32 классов симметрии, возможных для кристаллов.
Их гакже называют крисапи г говрайгическими точечными группами. На рис. 9-9, а и б приведены примеры точечных г рупп реальных минералов и соответствующие стсрсографические проекции элемензов симметрии. 4!2 Гнггпгг 9 Сггггтгегрия в криста.г.ых Рис. 9-9, Представ кик тоне нералы Гл акции Рис. 9- (ггродо 417 Глана 9 Г'нкзззс~1»ия н крлс,лл ык 9.3. Ограничения граням кристалла. Теперь соединим все точки северного полушария с южным полюсом и отм стим точки, в которых соединительные линии пересеказот зквато р ' " риальную плоскость. Это создаст представление о гранях верхней полусферы кристалла внутри одного круга, как показано на пис.
9-10, б. В р . -,б. Выполнив аналогичную операцию лля точек на зквато е , ушарин 19-10, г). мы получим представление обо всем кристалле внутри круга проекций (9-10,д). Точки северного полушария отлтечены темными кружками, а южного -светлыми. На ис. 9-11 приведены примеры стереографических проекций некоторых п осгых ото ых простых Наличие только 32 классов симметрии внешней формы к ист ., очеви н р сталлов, р ия. рансляционд о, является следствиелз их внутреннего строения. Т ная периодичность ограничивает злемецгы симметрии, кото ые могут присугствовать в кристалле.
Наиболее строгое ограничение -это отсутствие в кристаллах поворотных осей пятого . Р порядка. ассмотрим, например, плоские сетки многоугольников, обладатоших поворотными осями второго, третьего, четвертого, пятого и т. д. порядков грие. 9-12). Многоугольники с во ос . у . д йными, тронными, четверными и шестернь. ями покрывают всю поверхность без каких-либ Р 1МИ о промежутков, в то время как многоугольники с осями симметрии пятого, седьмого и восьмого порядков оставляют ца поверхности промежутки. в с Типичные примеры полного покрытия доступной поверхности п )уар с. - .
амегно имеюильными шестиугольниками показаны на ис. 9-13. 3 шееся сходство с плотноупакованными кругами. На самом деле, когда из воска строятся пчелиные соты, сначала образуется сетка из кружков. Пчелы почти одинаковы по величине, и они постоянно совершаюг кругообразные движения. Сетка из кругов не будет полностью пок ывать всю доступную поверхность. В)сети)тальники будут образовываться по мере того, как жидкий воск будет затекать в полости меж цилиндрами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
