И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1109026), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Полярный медведь является Г.ыи,! ! 1!зос~ !тзпс~ я пнью ~ руины спчтю рпн Рис. 8-29. и периодический рисунок Бр!гссе «Северо-западныс зсчлюь Воспроизводится с р|зрс~нения из работы «Ваучерная симметрия и Канала» (зо!. б. примитивная ячейка н ьтсчснтарная ячейка с 1юяоротной осью 2 символом Канадских северных земель. Его стищпованное изображение — асимметричная единина. на которую сначала действуют поворотцой осью 2 (рнс.
8-29. б), а затем гранслнпиями. Удобно выбрать элементарную ячейку так, чтобы она содержала два изображения полярного мелвеля. связанные поворотной осью 2 В орш'инале изображение полярного медведя белое и голубое„но в настоящем обсуждении цвет не принимается во внимание. Символом Х!! конгресса Международного союза кристалло! рафов было изображение из четырех стилизованных кленовых листьев, связанных осью 4 (рпс. 8-30. а). Более естественный кленовый лист, являющийся символом Канады, изображен на почи!вой марке (рис. 8-30, и).
Симметрийные свойства изображения на рис. 8-30,а были подробно обсуждены в мазериалах Х!1 копн росса ( 11). Двумерный рисунок. полученный повторением вьнпеприведснпой единицы. показан на рис. 8-30,б. И здесь изначальная чередующаяся бело-красная окраска в нашем обсуждении в расчет не принимается.
Тогда двумерная пространственная группа узора -)з40!ггг 1!О). Узор, изображенный на рис. 8-30,о, Рис. 8-30. а — кленовый лист и его стилизованный яариант. Элементарная ячейка, солсржагцая поворотную ось 4, была симаолоч Х!! кон| ресса Международного союза криеталлографоа, Оттава. !98! г „б псриоди |еский рисунок Бриссе «Канада». Воспроизводится с разрешения из работы «Даумерная симметрия и канида» г !03.
уже был использован Пойя [12) в его представлении 17 двумерных пространственных групп. Интересно отметить, что подобный рисунок встречается также в качестве примера типичных украшений в непал!оком искусстве 113), а одномерный вариант используется в виде ленточного орнамента (14]. Повторение мух, бабочек, соколов и летучих мышей иа рисунке Эшера (рис. 8-31,а) достигается плоскостями зеркального отражения. На рис. 8-31,6 изображена двумсрная пространственная группа рпгнг и примитивная ячейка ограничена специально выделенными плоскостями зеркального отражения. Симметрия еще одно! о периодического рисунка Эшера (рис. 8-32) иногда описывается неправильно.
С первого взгляда кажется, что точки, в которых «сходятся» четыре раковины моллюсков и четыре морские звезды, имеют симметрию 4. Однако раковины улиток, расположенные между:п ими точками, обладают симметрией 2. Настоящие бои 4 можно обнаружить в точках, в которых соприкасаются четыре раковины улиток и чез ыре морские звезды. Все остальные точки обладают только симметрией 2 без других злсментов симметрии г9) зчо Гывах Рис. Ч-31.
а периодический рисунок Эшера на основ мух. бабочек, соколов и летучих мышей из книги Мак-1иллаври 1Я Воспроизводится с разрешения Международного сепоза крнсталлографов, б квадратная примитивная ячейка, стороны которой являются фрагментами зеркальных плоскостей, сушсствунвних в периодическом рисунке Слелуюшие три периодических изображения были созданы Х.
Мамедовым, азербайлжавским кристаллографом, и представлены в превосходной кингс о симметрии. названной «Украпзения напоминаютв 115]. Рнс. 8-33 представляет декор пилиндрического мавзолея в Бадре ГАзсрбайджан) Основной мотив. слово «Аллахи, повторяется 200 раз в оригинальном мозаичном изображении, покрываюшим во|о поверхность сооружения Рис.
8-33 при бесконечном прололжении имеет двумерную пространственную ~руппу р4двк такую жс, как и рис. 8-30. Мамедову прпнадлежиг рисунок, названный им «Единство ю 1рис. 8-34). Ело пространственная группа .р1, а основной мотив состоит нз пожилого и молодого мужчин Повторяемость одинаковых форм точно удовлетво- Рис. 8-33. Периодический рисунок Эшера иа основе раковин моллюсков, морских звезд и раковин улиток и~ книги Мак-Гиллаври Гчф Воспроизводится с разрешения Межлунаролаого союза кристаллографов. Рис. 8-33.
Рис 8-34. Декор мавзолея в Бадре (Азербайд- Пернолический рисунок Мамедова жан] Г153. «Единствов 1153. 395 !(Рос~рлпс~всппыс ~пупсы спммс~рнп рьвл х Рис. 8-38 (продолжение) могут также достигать подобных эффект'ов, как показано, например, на рис. 8-7, и, вызывающем ощущение движения, и на рис. 8-7,6, символизирующем неподвижность. При взгляде на рис.
8-37,в возникает аналогия с двусторонним уличным движением. Двумерные неортогональные пространственные группы без плоскостей симметрии подчеркивают наклонное движение, как, например, узоры на рис. 8-27, а и 8-28, а, а также на фотографии кирпичной стены (рис. 8-38, а). Ощущение горизонтального движения передается узорами, Рис.
8-38. а кирпичная стена. Ее двумерный узор с нсортогонвльнымн грансляпнями и отсутствием плоскостей зеркального отражеяня передает впечатление наклонного движения. Фото авторов; б — горизонзальная трансляция в отсутствие вертикальных плоскостей симметрии создает ощущение горизонтального движения (египетский декор (2)); в †одновременн присутствие вертикальных плоскостей симметрии и осей 2 псрсдасз влача~ление движении вверх н вниз (яенгерская вышивка); г- наличие вертикальных плоскостей симметрии создает ощущение движения либо вверх. либо вниз (венгерский узор). и горизонтальные оси трансляции и не содержащими вертикальной плоскости симметрии.
Примером этого является рис. -3,б Плоскость симметрии всегда передает впечатление невозможности дви- Рис. 8-39. Двумерные узоры, содержащие помимо трансляции только поворотные оси, динамичны; они могут вызывать ощущение вращения и таина. Рис. 8-40. Узоры с плоскостями скользящего отражения [2). зч7 11р ~с ~,за не ~ не ни мс ~ рг сны сихгхгс ~ рви .зоб 1 мни х жения в перпендикулярном направлении. Так, симметрия вышивки, изображенной на рис. 8-38, е, кажется препязствующей горизонтальному движению, тогда как движение вверх и вниз представляется возможным.
Любой из двух узоров рис. 8-38., передает ощущение движения либо вверх, либо вниз. В них присутсгвуюг вертикальные плоскости зеркального отражения. Различие между узорами на рис. 8-38,и и, состоит в добавлении на первом рисунке поворотных осей 2, которые создают в Рнс. 8-41. Украшение нерскрьпия нол главным куполом Капитолия в Вагггингтоггс Фого анз оров.
Рис 8-42. Индейский угор из Кькной Америки [173 этом узоре впечатление движения в двух направлениях. Двумерные пространственные группы, содержащие кроме трансляции только поворотные оси, создаюз ощущение вращения или даже танца. Такие узоры показаны на рис. 8-39. Узоры с плоскостями скользящего отражения выражаюз хаотичность и передают ощущение неуверенности 1рис. 8-40).
С другой сгороны, считается, что плоскости симметрии, проходящие в нескольких направлениях, являюгся символом власти 1рис. 8-41). Наконец. сугце- Рис. 8-43. Мосговые с плоскостями зеркального и скользящего отражения Фото ннгорон а — главная площадь в Байя, Нсш рня. Плоское~и з рка гьиого о~раисина проходя~ а горизонтальном нанрааленни и плоскости скггльзя~вя~гг о~раисина в всргнказьном Эзн злеме|пы симмсзрии сущсствуюг ~озько весьма ириблггиснно, а- вблизи здания законолагсльного органа, Лннанолис, шз Мзрилевл, СШЛ шх 1 лав«Х к « к в и » я и к Ю х й я е, с 1 в о «» Е ~ ствуют узоры, в которых встречаются плоскости и зеркально~о и скользящего отражения. Детали подобных узоров, согласно Шубникову и Копцику [2з, вызывают чувство движения, но в целом они создают ощущение покоя.
И те, и другие присутствуют в примерах, приведенных на рис. 8-42 и 8-43. 8.5.3. Муаровые узоры Выставка под названием «Муаровые изделияв была организована несколько лет назад в Берне (Швейцария) [!8). Так называемые муаровые (волнообразные) узоры создаются путем наложения бесконечных плоских рисунков. Полученный результат представляет собой новую двумерную сетку. Простейший случай изображен па рис. 8-44, где две идентичные системы линий, существующие на прозрачном материале, наложены одна на другую. Исходная н полученная системы имеют периоды )' и г(соответственно и накладываются под углом О.
Эти параметры связаны соотношением (см., например, [2]) ). = 2 Нз)п (О/2) Это выражение известно как закон Брзгга для дифракции рентгеновских лучей от кристаллов, где ).— длина волны рен.п.сновских лучей, Ы-расстояние между атомными слоями и О/2-угол, под которым ренпеновские лучи падают на эти слои. Узоры, приводимые на рис. 8-44, содержат оси 2, перпендикулярные их плоскости, Таким образом, наложение под углом О приводит к тому же результату, что и под углом 180" + О. Рис. 8-45 показывает результат наложения двух идентичных бесконечных систем из малых кружков под несколькими углами. Кружки располагаются в вершинах ромбнческих сеток. При малых углах О полученный узор чрезвычайно похож на исходный: он просто кажется увеличенным вариантом оригинала.
С возрастанием О степень увеличения уменьшается и сходство с оригиналом утрачивается. Однако центрированная ромбическая симметрия сохраняется. Шубников и Копцнк [2з описали разнообразные примеры муаровых узоров в различных сферах. Здесь мы приведем одно, возможно неожиданное, применение: только капли определенного размера могут образовывать одновременно две или три радуги во время дождя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
