Главная » Просмотр файлов » В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах

В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 88

Файл №1108910 В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах) 88 страницаВ.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910) страница 882019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 88)

а) „, „;, ',; б) О, если я четное числа; л, з гг[2т)![2я г 2 ' -" т!я![т-1-я)!' если и.- нечетное число; в) гг/2"; г) [г/2") аш[ггя/2). 28. а) [8/27)[10з/ГО— — 1); б) [ел + 1)/4; в) 1п 18 [к/4+ а/2); г) 4а[1+ т/3!и[1 ж т/3)/з/2); д) ба; е) 1 ~- [!п[1-1- т/2))/з/2. ж) 32а; з) каЯ -1-4згз ж [а/2)!п[2л -1- т/Т-~ 4згз)! и) Яа; к) Згга/2; л) 19/3. 30. а) [аЬ/2)[агсяш[хг/а) — агссбп[хо/а)] -Ь [Ь/2а) х х (хг г/аз — х,' — хо,/аз — хз); б) 9/2: в) 1/3 + 2/я; г) 4аз/3; д) 0,5 ссЬ [к/2). 31. а) [а~/3)(4яз+ Зк); б) бка . 32. а) Зка /2; б) ка'/4; в) 11к; г) 2/3.

Глава ГХ 451 ЗЗ. а) За /2; б) аз. 34. [лЬ/6)[(2А+ а)В 4- [А ж 2а)Ь]. 36. а) 2абс/3; б) 4лабс/3, в) 8лабс/3; г') 16аз/3; д) 2лаз/3 — 8а /9. 37. а) Згабз/7; б) 16л/15; в) 8л/3; г) лз/2; д) 2лз; е) 5лзаз; ж) блзоз. 38. 2аз; лаз/2. 39. [р /8)[ь«2+ 51в[1+ 3/2)]. 40. 652/6; ЬЬ«/12. 41. М = ла63/4; Мз = ла~Ь/4. 42. ЗВЬГ/16 46. 41гз 46 хо = [о,31па)/сб уо = 0 47 хо = 9а/20; уо = 9а/20. 48. хо = 0; уо = 0; зо = За/8.

49. 2«оо = 0; го = Ьа/б. Глава 1Х 1. а) Достаточно каждому числу и из первого мно«кества поставить в соответствие число 2п из второго множества; б) функция у = [Ь вЂ” а)х -'; а осуществляет взаимно однозначное соответствие между элементами сегл 2х — а — 6 ментов [О, 1] и [а, Ь]; в) функция у = 18 осуществляет взаимно 2[6 — о) однозначное соответствие между элементами интервала [а, Ь) и числовой прямой Я. 2. 6) Элемевты объединения счетного числа счетных множеств 1х,), ~16), 13,], 1и,), 1и,), ..., [и«,), ...

можно занумеровать по следующей схеме: Х1 «Х2 ХЗ «Х4 Зз л У1 У2 УЗ У4 Уз 31 ЗЗ ЗЗ 34 Зз и« из из и4 из из из и4 из л 4. * а) Используйте метод примера 2 из 5 1; б) воспользуйтесь равенством А = [.4 ««В) + АВ [см. упр. 5) и результатоь1 упр. 4, а); в) воспользуйтесь результатом упр. 4, б); г) воспользуйтесь результатом упр. 4, б). 6. а) Докажем, что: 1') любой элемент х из множества [А4-В)С принадлежит также множеству [АВ+ ВС); 2') обратно: любой элемент х из множества [АВ 4- ВС) принадлежит также множеству [А 4- В)С.

1'. Если х 6 [А-1-В)С, то х Е [А+ В) и х 6 С. Так как х Е (А-~-В), то х принадлежит хотя бы одному из множеств А или В. Пусть, например, х Е А. Тогда х б АС и, следовательно, х б [.4С+ ВС). 2'. Если х Е (АС+ ВС), то х принадлежит хотя бы одному из множеств АС или ВС. Пусть, например, х б АС. Тогда х б А и х б С. Значит, х Е [А+ В) и х б [А+ В)С. 6. Докажем, что любой элемент х из множества 0.4~ принадлежит также ьтожесгву ПАы Если х 6 Ь«Аь, то х ф 12 Аь и, следовательно, х ф А1. Ч)4. Поэтому х б Аь Чл, а значит, х б Г«Аь. Остаетсн доказать, что любой элемент х из маожества Г«Аь принадлежит таклге множеству 0 Аг.

Сдеь ь лайте это самостонтельно. 7. Если предположить, что какая-то точка х 6 С не является внутренней точкой С, то х окажется предельной точкой Е (обънсните, почему) и, следовательно, х б Е. Но это невозможно, так как СЕ = Е«. Таким образом, любая точка х 6 С является внутренней точкой С, т. е. С вЂ” открытое мно«кество. 8. * Воспользуйтесь тем, что Я+ Я = [а, Ь] и 1142 = 0 [см, пример 4 из Ь' ГП отсюда р4',) = Ь вЂ” а. 9 и 10.

* Воспользуйтесь определением измеримого множества. 12. * а) Используйте метод примера 1 из 3 2; б) воспользуйтесь результатом в) примера 5 из 3 1; 15" Ответи и указания 452 в) воспользуйтесь результатом д) примера 5 из 3 1. 13. * Рассмотрите функцию у(х) = х на сегменте [О, Ц и носпользуйтесь свойствами 5' и 1' измеримых функций. 15. Интегрируемость по Лебегу следует из измеримости /(х) (см. упр.

12, а). Чтобы доказать, что /(х) неивтегрируема по Рил|ану па [О, Ц, достаточно доказать, что нижний и верхний интегралы Дарбу не равны: 1 ф 1. Рассмотрите произвольное разбиение [О, Ц на частичные сегменты и покажите, что для ного з = О, Я > 1 — а (з и Я суммы Дарбу). Отсюда следует, что! = О, 1 > 1 — а > О. 16. /' /(х)р(р(х) = 1 — а. (о,ц 17. /)0(х)|((з(х) = (1 — о)/2. 19. * Составьте разность /(х) — у(х) и восо пользуйтесь для нее результатом упр. 18. 20. * Воспользуйтесь тем, что мно|кество всех нижних (верхних) интегральных сумм Дарбу, получающихся при разбиениях [а, Ь) на конечное число частичных сегментов, содержитсн во ыножестве всех пик|них (верхних) интегральных сумм, получа|ощихсн при разбиениях [а, Ь) на конечное число попарно непересекающихся изк|еримых множестн.

21. * Воспользуйтесь тем, что для лебеговского разбиении Т мно|кества Е выполняется нераненство Бт — зт ( 6 рЕ, где 6 = шах (уь — у|. |), а также тем, что 1 — 1 ( Ят — от. 22. * Для |<|< доказательстна необходимости воспользуйтесь тем, что для лебеговского разбиения Т множества Е выполниется неравенство Бт — зт ( 6. РЕ, где 6 = швх (ур — уы).

Для доказательства достаточности воспользуйтесь |<|< неравенством 1 — 1 ( Ят — зт. 23. * Воспользуйтесь том, что любая лебеговская интегральная сумма 1(Ер,бр) лебеговского разбиения Т = (Е|.) множества Е удовлетворяет неравенствам от ( 1(Е|.,В|) ( Ят, а также тем, что Бт — зт ( 6 дЕ. Глава Х 5.х,=у,+(з,— у,)1, |=1,2,...,т;(0Л. 7. а) а|-мерныйшар;б) тмерный шар; в) пммерная сфера. 13. а) а; б) 2; в) ез; г) 0; д) 0; е) 0; ж) 0; з) 1. 15. * б) Рассмотрите случай, когда точка 61(х, у) стремитсн к точке 0(0, 0) по параболе у = йхз. 16.

а) 1 и Ц б) 1/2 и 1/3; в) — 1/2 и 1/2; г) 1 и — Ц д) 1/2 и — 2/3: е) 0 и Ц ж) 1/2 и Ц з) чРЗ/2 и 1. 17. а) Предел пе существует, !пп [!пп /(х, у)) = 1, 1пп [ 1пп /(х, у)) = — Ц б) предел не *-рО р-рО ' р-ро -рО существует, 1пп [ 1пп /(х, у)) = 1., 1пп [ 1пп /(х, у)) = срз; в) 1|ш /(х, у) = р о ' ' р о | ' ' . р р о 1пп [ 1|и| /(х,у)) = 1йп ( 1|и| /(х, у)) = 1.

18. а) 0(0, 0); б) все точки — |О р-ро р-ро -ро окружности х + уз = 4; в) все точки конической поверхности х ф уз = хз; г) все точки прямой у = 0; д) все точки прямых х = 0 и у = 0; е) нсе точки прямых х х у = яа, п 5 У, ж) все точки сфер хо+ у + = я/2 + лй, й = О, 1, 2, ... 19. а) В точке 0 функции непрерывна по отдельным переменным и разрывна по совокупности переменных, в точке Л непрерывна как по отдельным переменным, так и по совокупности переменных: б) в точках 0 и А функция непрерывна по отделы|ым переменным и по сонокупности переменных; в) в точке 0 функции непрерывна по отдельным переменным и разрывна по совокупности переменных, в точке А разрывна по отдельным переменным и по совокупности переменных; г) в точке О функции Глава Х 453 непрерывна по переменной т и разрывна по переменной у и по совокупности переменных, в точке А непрерывна по отдельным переменным и по совокупности переменных; л) в точне О функция непрерывна по отдельным псремепвым и по совокупности переменных, в точке А разрынпа по отдельным переменным и по совокупности переменных; е) в точках О и Аз функция непрерывна по отдельным переменным и по совокупности переменных, в точке А~ разрывна по отдельным переменным и по сонокупности переменных.

20. а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет. 21. а) апр и = 1 достигается, например, в точке (1, 0); ш(и = — 1 достигается, например, в точке (О, Ц: б) анри = 81 достигается, например, в точке (О, 3); 1пб и = 0 не достигается; в) япри = 0,5 достигается, например, в точне (1, Ц; ш(и = 0 достигается, например, в точке (О, Ц; г) апр и = 1/е достигается, например, в точке (1, Ц; ш(и = 0 достигается, вапример, в точке (О, 0); д) анри = а достигается, например, в точке (1,0, 0); 1пЕи = Ь достигается, например, в точке (0,0, Ц.

23. а) Равномерно непрерывна; б) не является равномерно непрерывной; в) равномерно непрерывна на множестве Йы не ивлнетсн равномерно непрерывной на множестве Йм г) равномерно непрерывна на множестве Йы не является равномерно непрерывной на множестве Йьб д) ие явлнется равномерно непрерывной; е) равномерно непрерывна. 24. а) и, = 2х+ бхуз, ил — — Зуз -1-Охзуз: б) и, = уз 4- —, их —— хз — +-, у р и, = ху — -хт, в) и = у соз(ху -~- уз), иа — — (х -~- з) соа(ху ф уз), и- = у х ру' х соз(ху+ уз); г) и, = — '"*, и„= — д — у, д) и,, = — -~~ — — 4- гя(х + гх ж Р) е'Г" —, их — — — — г — — 4- сд(х ж У)е" ~" ~ — т , .е) и„= — — х( — ( — т, иа = = — — *~ад — ф; ж) и„= — т:" — т, их —— — т-х — ь, з) и, = У1п(хУ) + У, их — — худ(хУ) + х -~-р ' х -~-у х -~-р-' 4-х; и) и„= — й(У), и„= й(У), и.

= (У) 1и о; к) и, = з'Г" 1пз- Ь, = х" у' 1пу1пх; м) и, = х' у " з' + хху'з'1пз, и„= хху з' 1пх+ ха х х у' 'з"+', и, = х" у з' 1пу 4- х" 4'у з' '. 25. Нет. 26. а) и (О О) и их(0.,0) не сушествуют, функция и(х,у) не дифференцируема в точке О(0,0):, б) и,(0,0) = и„(0,0) = 0 и функция и(х,у) дифференцируема в точке О; в) и,,(0, 0) = и„(0, 0) = О, но функция и(х, р) не дифференцируема в точке О; г) и,(0, 0) = их(0, 0) = 0 и функция и(х, у) лифференцируема в точке О: д) и„(0, 0) и их(0, 0) не существуют, функция и(х, у) не дифференцируема в точке О; е) и„.(0, 0) = их(О, 0) = 1, но функция и(х, у) не дифференцируема в точке О; ж) и; (О, 0) = их(0, 0) = 0 и функция и(х, у) дифферепцируема в точке О; з) и(0, 0) = их(0, 0) = 0 и функция и(х, у) дифференцируема в точке О; н) и,(0, 0) = их(0, 0) = 0 и функция и(х, у) дифферснцируема в точке О; к) и,,(0,0) = и„(0,0) = 0 и функция и(х,у) дифференцируема в точке О: л) и„(0, 0) = их(0, 0) = 0 и функция и(х, у) дифференцируема в точке О; м) и, (О, 0) = и„(0, 0) = 0 и функция и(х, у) дифференцируема н точке О.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,72 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее