В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 88
Текст из файла (страница 88)
а) „, „;, ',; б) О, если я четное числа; л, з гг[2т)![2я г 2 ' -" т!я![т-1-я)!' если и.- нечетное число; в) гг/2"; г) [г/2") аш[ггя/2). 28. а) [8/27)[10з/ГО— — 1); б) [ел + 1)/4; в) 1п 18 [к/4+ а/2); г) 4а[1+ т/3!и[1 ж т/3)/з/2); д) ба; е) 1 ~- [!п[1-1- т/2))/з/2. ж) 32а; з) каЯ -1-4згз ж [а/2)!п[2л -1- т/Т-~ 4згз)! и) Яа; к) Згга/2; л) 19/3. 30. а) [аЬ/2)[агсяш[хг/а) — агссбп[хо/а)] -Ь [Ь/2а) х х (хг г/аз — х,' — хо,/аз — хз); б) 9/2: в) 1/3 + 2/я; г) 4аз/3; д) 0,5 ссЬ [к/2). 31. а) [а~/3)(4яз+ Зк); б) бка . 32. а) Зка /2; б) ка'/4; в) 11к; г) 2/3.
Глава ГХ 451 ЗЗ. а) За /2; б) аз. 34. [лЬ/6)[(2А+ а)В 4- [А ж 2а)Ь]. 36. а) 2абс/3; б) 4лабс/3, в) 8лабс/3; г') 16аз/3; д) 2лаз/3 — 8а /9. 37. а) Згабз/7; б) 16л/15; в) 8л/3; г) лз/2; д) 2лз; е) 5лзаз; ж) блзоз. 38. 2аз; лаз/2. 39. [р /8)[ь«2+ 51в[1+ 3/2)]. 40. 652/6; ЬЬ«/12. 41. М = ла63/4; Мз = ла~Ь/4. 42. ЗВЬГ/16 46. 41гз 46 хо = [о,31па)/сб уо = 0 47 хо = 9а/20; уо = 9а/20. 48. хо = 0; уо = 0; зо = За/8.
49. 2«оо = 0; го = Ьа/б. Глава 1Х 1. а) Достаточно каждому числу и из первого мно«кества поставить в соответствие число 2п из второго множества; б) функция у = [Ь вЂ” а)х -'; а осуществляет взаимно однозначное соответствие между элементами сегл 2х — а — 6 ментов [О, 1] и [а, Ь]; в) функция у = 18 осуществляет взаимно 2[6 — о) однозначное соответствие между элементами интервала [а, Ь) и числовой прямой Я. 2. 6) Элемевты объединения счетного числа счетных множеств 1х,), ~16), 13,], 1и,), 1и,), ..., [и«,), ...
можно занумеровать по следующей схеме: Х1 «Х2 ХЗ «Х4 Зз л У1 У2 УЗ У4 Уз 31 ЗЗ ЗЗ 34 Зз и« из из и4 из из из и4 из л 4. * а) Используйте метод примера 2 из 5 1; б) воспользуйтесь равенством А = [.4 ««В) + АВ [см. упр. 5) и результатоь1 упр. 4, а); в) воспользуйтесь результатом упр. 4, б); г) воспользуйтесь результатом упр. 4, б). 6. а) Докажем, что: 1') любой элемент х из множества [А4-В)С принадлежит также множеству [АВ+ ВС); 2') обратно: любой элемент х из множества [АВ 4- ВС) принадлежит также множеству [А 4- В)С.
1'. Если х 6 [А-1-В)С, то х Е [А+ В) и х 6 С. Так как х Е (А-~-В), то х принадлежит хотя бы одному из множеств А или В. Пусть, например, х Е А. Тогда х б АС и, следовательно, х б [.4С+ ВС). 2'. Если х Е (АС+ ВС), то х принадлежит хотя бы одному из множеств АС или ВС. Пусть, например, х б АС. Тогда х б А и х б С. Значит, х Е [А+ В) и х б [А+ В)С. 6. Докажем, что любой элемент х из множества 0.4~ принадлежит также ьтожесгву ПАы Если х 6 Ь«Аь, то х ф 12 Аь и, следовательно, х ф А1. Ч)4. Поэтому х б Аь Чл, а значит, х б Г«Аь. Остаетсн доказать, что любой элемент х из маожества Г«Аь принадлежит таклге множеству 0 Аг.
Сдеь ь лайте это самостонтельно. 7. Если предположить, что какая-то точка х 6 С не является внутренней точкой С, то х окажется предельной точкой Е (обънсните, почему) и, следовательно, х б Е. Но это невозможно, так как СЕ = Е«. Таким образом, любая точка х 6 С является внутренней точкой С, т. е. С вЂ” открытое мно«кество. 8. * Воспользуйтесь тем, что Я+ Я = [а, Ь] и 1142 = 0 [см, пример 4 из Ь' ГП отсюда р4',) = Ь вЂ” а. 9 и 10.
* Воспользуйтесь определением измеримого множества. 12. * а) Используйте метод примера 1 из 3 2; б) воспользуйтесь результатом в) примера 5 из 3 1; 15" Ответи и указания 452 в) воспользуйтесь результатом д) примера 5 из 3 1. 13. * Рассмотрите функцию у(х) = х на сегменте [О, Ц и носпользуйтесь свойствами 5' и 1' измеримых функций. 15. Интегрируемость по Лебегу следует из измеримости /(х) (см. упр.
12, а). Чтобы доказать, что /(х) неивтегрируема по Рил|ану па [О, Ц, достаточно доказать, что нижний и верхний интегралы Дарбу не равны: 1 ф 1. Рассмотрите произвольное разбиение [О, Ц на частичные сегменты и покажите, что для ного з = О, Я > 1 — а (з и Я суммы Дарбу). Отсюда следует, что! = О, 1 > 1 — а > О. 16. /' /(х)р(р(х) = 1 — а. (о,ц 17. /)0(х)|((з(х) = (1 — о)/2. 19. * Составьте разность /(х) — у(х) и восо пользуйтесь для нее результатом упр. 18. 20. * Воспользуйтесь тем, что мно|кество всех нижних (верхних) интегральных сумм Дарбу, получающихся при разбиениях [а, Ь) на конечное число частичных сегментов, содержитсн во ыножестве всех пик|них (верхних) интегральных сумм, получа|ощихсн при разбиениях [а, Ь) на конечное число попарно непересекающихся изк|еримых множестн.
21. * Воспользуйтесь тем, что для лебеговского разбиении Т мно|кества Е выполняется нераненство Бт — зт ( 6 рЕ, где 6 = шах (уь — у|. |), а также тем, что 1 — 1 ( Ят — от. 22. * Для |<|< доказательстна необходимости воспользуйтесь тем, что для лебеговского разбиения Т множества Е выполниется неравенство Бт — зт ( 6. РЕ, где 6 = швх (ур — уы).
Для доказательства достаточности воспользуйтесь |<|< неравенством 1 — 1 ( Ят — зт. 23. * Воспользуйтесь том, что любая лебеговская интегральная сумма 1(Ер,бр) лебеговского разбиения Т = (Е|.) множества Е удовлетворяет неравенствам от ( 1(Е|.,В|) ( Ят, а также тем, что Бт — зт ( 6 дЕ. Глава Х 5.х,=у,+(з,— у,)1, |=1,2,...,т;(0Л. 7. а) а|-мерныйшар;б) тмерный шар; в) пммерная сфера. 13. а) а; б) 2; в) ез; г) 0; д) 0; е) 0; ж) 0; з) 1. 15. * б) Рассмотрите случай, когда точка 61(х, у) стремитсн к точке 0(0, 0) по параболе у = йхз. 16.
а) 1 и Ц б) 1/2 и 1/3; в) — 1/2 и 1/2; г) 1 и — Ц д) 1/2 и — 2/3: е) 0 и Ц ж) 1/2 и Ц з) чРЗ/2 и 1. 17. а) Предел пе существует, !пп [!пп /(х, у)) = 1, 1пп [ 1пп /(х, у)) = — Ц б) предел не *-рО р-рО ' р-ро -рО существует, 1пп [ 1пп /(х, у)) = 1., 1пп [ 1пп /(х, у)) = срз; в) 1|ш /(х, у) = р о ' ' р о | ' ' . р р о 1пп [ 1|и| /(х,у)) = 1йп ( 1|и| /(х, у)) = 1.
18. а) 0(0, 0); б) все точки — |О р-ро р-ро -ро окружности х + уз = 4; в) все точки конической поверхности х ф уз = хз; г) все точки прямой у = 0; д) все точки прямых х = 0 и у = 0; е) нсе точки прямых х х у = яа, п 5 У, ж) все точки сфер хо+ у + = я/2 + лй, й = О, 1, 2, ... 19. а) В точке 0 функции непрерывна по отдельным переменным и разрывна по совокупности переменных, в точке Л непрерывна как по отдельным переменным, так и по совокупности переменных: б) в точках 0 и А функция непрерывна по отделы|ым переменным и по сонокупности переменных; в) в точке 0 функции непрерывна по отдельным переменным и разрывна по совокупности переменных, в точке А разрывна по отдельным переменным и по совокупности переменных; г) в точке О функции Глава Х 453 непрерывна по переменной т и разрывна по переменной у и по совокупности переменных, в точке А непрерывна по отдельным переменным и по совокупности переменных; л) в точне О функция непрерывна по отдельным псремепвым и по совокупности переменных, в точке А разрынпа по отдельным переменным и по совокупности переменных; е) в точках О и Аз функция непрерывна по отдельным переменным и по совокупности переменных, в точке А~ разрывна по отдельным переменным и по сонокупности переменных.
20. а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет. 21. а) апр и = 1 достигается, например, в точке (1, 0); ш(и = — 1 достигается, например, в точке (О, Ц: б) анри = 81 достигается, например, в точке (О, 3); 1пб и = 0 не достигается; в) япри = 0,5 достигается, например, в точне (1, Ц; ш(и = 0 достигается, например, в точке (О, Ц; г) апр и = 1/е достигается, например, в точке (1, Ц; ш(и = 0 достигается, вапример, в точке (О, 0); д) анри = а достигается, например, в точке (1,0, 0); 1пЕи = Ь достигается, например, в точке (0,0, Ц.
23. а) Равномерно непрерывна; б) не является равномерно непрерывной; в) равномерно непрерывна на множестве Йы не ивлнетсн равномерно непрерывной на множестве Йм г) равномерно непрерывна на множестве Йы не является равномерно непрерывной на множестве Йьб д) ие явлнется равномерно непрерывной; е) равномерно непрерывна. 24. а) и, = 2х+ бхуз, ил — — Зуз -1-Охзуз: б) и, = уз 4- —, их —— хз — +-, у р и, = ху — -хт, в) и = у соз(ху -~- уз), иа — — (х -~- з) соа(ху ф уз), и- = у х ру' х соз(ху+ уз); г) и, = — '"*, и„= — д — у, д) и,, = — -~~ — — 4- гя(х + гх ж Р) е'Г" —, их — — — — г — — 4- сд(х ж У)е" ~" ~ — т , .е) и„= — — х( — ( — т, иа = = — — *~ад — ф; ж) и„= — т:" — т, их —— — т-х — ь, з) и, = У1п(хУ) + У, их — — худ(хУ) + х -~-р ' х -~-у х -~-р-' 4-х; и) и„= — й(У), и„= й(У), и.
= (У) 1и о; к) и, = з'Г" 1пз- Ь, = х" у' 1пу1пх; м) и, = х' у " з' + хху'з'1пз, и„= хху з' 1пх+ ха х х у' 'з"+', и, = х" у з' 1пу 4- х" 4'у з' '. 25. Нет. 26. а) и (О О) и их(0.,0) не сушествуют, функция и(х,у) не дифференцируема в точке О(0,0):, б) и,(0,0) = и„(0,0) = 0 и функция и(х,у) дифференцируема в точке О; в) и,,(0, 0) = и„(0, 0) = О, но функция и(х, р) не дифференцируема в точке О; г) и,(0, 0) = их(0, 0) = 0 и функция и(х, у) лифференцируема в точке О: д) и„(0, 0) и их(0, 0) не существуют, функция и(х, у) не дифференцируема в точке О; е) и„.(0, 0) = их(О, 0) = 1, но функция и(х, у) не дифференцируема в точке О; ж) и; (О, 0) = их(0, 0) = 0 и функция и(х, у) дифферепцируема в точке О; з) и(0, 0) = их(0, 0) = 0 и функция и(х, у) дифференцируема в точке О; н) и,(0, 0) = их(0, 0) = 0 и функция и(х, у) дифферснцируема в точке О; к) и,,(0,0) = и„(0,0) = 0 и функция и(х,у) дифференцируема в точке О: л) и„(0, 0) = их(0, 0) = 0 и функция и(х, у) дифференцируема в точке О; м) и, (О, 0) = и„(0, 0) = 0 и функция и(х, у) дифференцируема н точке О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
