В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 92
Текст из файла (страница 92)
4. в) Лучи, исходящие из начала координат, б) окружности, лежащие и плоскостях, перпендикулярных прямой, параллельной вектору с и проходнщей через начало координат; певтры этих окрулнгостей лежат на указанной прямой; в) семейство эллипсов хг,га~ + гуг,гбг = С; г) х = Сг у = Сг 1гг[г[. 5. [ 8гаг! и] = 2ч 2 = ог (ЛХ), 2 = дг (ЛХ), 0 = ог (ЛХ). 6. а) 8гаг(и(ЛХ) = Збг ж 121 Ч-4к; б) Огай и(ЛХг) = — Зг+ 31с, 8габи(ЛХг) = Зг — 31, 8габи(ЛХз) = 31 — 3!с; в) 8гаг(и(ЛХ) = !+Д-!-1с.
7. а) В точках конуса зг = ху; б) в точках прямой х = у = х. 8. а) Во всех точках; б) в точках примой х = р. 9. га = атосов( — 8г9). 10. В точках сферы (х — а)г + (у — Ь) + (х — с) = 1. 11. т; 1[т, з1пт; 1пг; агсг8т. 13. с; (сг) 8таби+ ис. 14. а) — г — и — -(уз -!-х1); и — хр б) (е" — Ц '(!-ЬЛ); в) — г — 11 15.
а) 0; б) 2(хг -1- уз + с~); в) 0; г) 0; д) 3; с) Хг(гу з) 4 Л(х ц 4- ~з(х, у). 16. а) 3; б) 2ггт; в) 7гл. 17. гп!пг)!та = 0 при х = а, у = Ь. 19. а) (стаут; б) 2(гс); в) (]'(т)т)(гс); г) (аЬ) д) 4(га); с) 0; ж) 2(аЪ). 20. а) 0; б) — 2аг~. 21.
0 вне масс. 22. 0 вне зарядов. 23. в) — (1гр) г — (1ггх)1 — (1гх) 1г. 24. а) 0; б) 2хУг(Зг — 2) 1 ж 2Угг(1 — г) 1г; в) 0; г) — (1гх )1 — (2ггхг) к; д) 0; е) (1ггхг) г+ 2(рггх~Д. 25. в) — 41 — 1: б) 4 г — Зк; в) 4!. 26. а) 0; б) 0: в) О. 27. а) (гс) гог а+ [са]; б) (1гг)[гс]; в) (['(т)[т)[гс] г) 21(г) с+ (Х"'(т)ггг)[ст' — г(сг)]. 30. (Ьгт) а= уг(х+ у) г+ гх(р+ г)1+ хгу(с+ х) Рй (айаг)Ь = у(э~ + хг) г+ (хг+ р~)Л+ х(уз + зг) 1г; даггдЬ = (з х -Ь х у -~- у х ) Н [уз(х-Ь у) г-~-зх(у 4 х)1 4 ху(з-~-х) 1г]; дЪ/да = (угхг ~- з~х~ + хгу ) 0~[11( г ф хг) ! -Ь г(хг -Ь р~)1 ф х(уг -~- зг) 1г].
31. дагд1г = у ! + х й; дагд1г = (1ггчг2) [(х + у) г + г1+ г к]: даггд1г = (1ггчг2) х х[хг+ (у+ х)1+ хи]; дагд(г = (1/чгЗ)[(х+ у) г+ (у+ х)1+ (г+ х) к]; (!ганг)а = д1+ х!с; (1г ьг)а = (х+ р) г+ 1+ х!г; (1зчг)а = х1+ (у+ г)Л+ + х Рл (1г гг)а = (х + у) ! + (у + х) 1+ (х + х) й. 33. дТ]дг = -2Тог ехр( — 1 — 1г); (ччу)Т = 2Тог ехр( — ! — 1г]; г1Т7гХ! = дТ]д1-Ь (чЧ~)Т ='2То( — 1-~- +1 з) ехр( — 1 ' — Хг].
34. дЕгдг = 1Аоы совагй (ч "чг)Е = (Ье/тл([а япг х х(Зх' — тг) — ЗЬх(усов! 4 г)]1 + [Ь сов 1(тг — Зуг) — Зу(Ьг — ахяпг)]1'+ +(Ь (т — Зх~) — Зх (Ьусозг — ахяп 1)] к): АЕгг41 — дЕ/дг + (ч гу)Е. 36. а) (йгаби)г + ваги; б) [а(т) + (2ггт)Лг(т); в) [8габ и8гаг(и]: г) (го! Ь тг) х ха — (а чг) гог Ь вЂ” гогЬ. 4!ча. 37. гог гога = 2(2хх — хг) г+ 2(2ху — у )Л+ +2(2ух — гг) 1г; 8гаг(с(!ча = 2(2гх -~-у ) г+ 2(2ху+ з~)1+ 2(2уз-~-хг) !г; Хра = 2(хг -~- уг) г -~-2(уг + лг)Л+ 2(зг + х ) к.
42. в) аоог = (1ггЗ)(х ! -~- рЛ -~- -~-г(г), асаа = (2хггЗ -1- у) г -~- (х — 4уггЗ) ! -~- (2з,гЗ + Ц !с; б) аоот = аз, асж — — 0; в) альт — — О, а„ж = аз Следует иметь в нилу, что ответы этой задачи не однозначны. Например, возможно аз — — апат — — асах, где апач = (х + Ц ! + + (г + х) 1 + (х + у) 1г, а„, = (х — р — х) 1+ (у — х — х) Л + (2л + у + х) к, 43. в) 1,15; б) Ах)3. 44. в) 0; б) О. 45. а) 4хггЗ; б) 5яггЗ; в) — Ья,гЗ, г) я,гЗ; д) 2х/3. 46.
а) 0; б) 2тЗчгЗ; в) 0; г) 10яч'Згг81. 47. в) 0; 0; б) — 2хггЗчгЗ: 2я/Зч'3; в) 0; 0; г) — 10хчгЗг81; 1ОячгЗгг81. 48. яо(3 — а~)ггЗчгЗ; а = 1; а = 470 Ответи и указания = — 1. 49. Соленоидальными явлнются поля ад наг; О; Зк/3: О: О. 50. в) 3/2; б) — 1/2; в) — 1/2; — 1/2. 51. в) — кь73! б) — 2чгЗ/3! в) к/чсЗ! г) — 2я/(ЗчгЗ).
52. — ячсЗ(! — о~/3)! о = О. 53. в) 2/3; б) 26/3. 54. а) 2; б) — 2; в) — 1; г) 1; д) — 1; с) — 2. 55. и = /С/(С)с(С -1- С. 56. Потенциальными являют- в ся поля а! и аг; О; О; О; гг. 57. а! = Згадим и! = ху+ х + у» 4- С; аг = 8гас1из; иг = (с /г(с)дс 4- /с /г(0)дг! -1- /с /з(с)4С 4- С. 58. Хг об!эвзует о о о острый угол с осью О». 59. и = 1и г+ С. 60. в) гога = 0 при хг + уг ф ~ 0; б) гаса = 0 при у» +»г ф О; в) гога = (4ху/(х~+ у )~))с; г) гаса = = (4у»/(у' -1- »')') 1; циркуляции всех полей вдоль указанных окружностей равны нулю. Поле в) потенциально в указанной области, и его потенциал есть и = 1п ° /хг 4- уг -!- »г/2+ С.
Поло б) потенциально в указанной области, и его потенциал есть и = 1п Ь/уг 4- »г -!- хг/2+ С. Полн в) и г) не являются потенциальными. 61. 0 при хг -1- уг ф О; 2гг; нет; да. 62. Зтас1и = = ( — /у!/(х~ 4 !7~)) ! 4 Дх)/(х~ -!- у~)) 3; О, лв. 63. О при хг -1- уг ф О; 2к; область не является односвязной. 75.
б) 1') к/2; 2') О; 3') гг; 4') О; в) 1') в точке А: 1 = ер, ) = ер, к = е,; в точке В: г = — ер, 3 = ер, й = е.-; 2') в точке А: ер — — г, е„= 3, е, = 1с! в точке В: ер — — 3, ер = — 1, е, = 1с. 76. б) 1') я/2, 2') 0; 3") я; 4') 0; в) 1') в точке Ас ! = е„,) = е„„ 1с= — ев; вточкеВ: г= — ер,)=е„1с= — ев; 2') вточкеА: е,=г, ев = — )с, ер = ); в точке В: е„= 3, ев = — )с, ер = — П 77. 8гад и = —," ер + 4 — —,ее 78.
сйча = — !С вЂ”.(Рар) 4- —.и], гога = ! — — (Ра„) — — —.~]е., 1 ди 1 ! д да 1 (1 д ! да р др Р ' р ~др Р ди ~' ).р др Р р др где а = ар(р, уг) ер+ ар(Р,СР) е.. 79. Згади = —.и е, + — — и ев+ .  — "ер. 80. в) сйча(р,сг») = — ! —,(Ра ) 4- —.и -'; р —,'], где а=а е, и а е 4-а.е,! 1 д да да,1 р ),др ' др д» ~' б) 4!с а(г В сг) = -г — — ! —,(г и, япВ) + г — (ав япВ)+ г — и], где а = а е + г д . да .ьеу(дг ' ЭВ др +азер+а е . 81.в)гога(р,ср,»)=(- — л — — а)е +( — л — — ')е, + 7!да да 1 рда Эа,1 ',рди д /' (д» ЭР/' — — (Р„р) — — Л]е„где а=арер 4-арер 4-а,е,гб) гога(г,д, Р) = . к (д да 1 1( ! да, д 1 1(д да, ~эв ЭР ~ " г (з!ггВ дгр Эг '"' ~ Р~ Эс эв 1 д / ди ! ! дги дги где а = о,„е, + ав ев + а, ер.
82. гни(рг, Ср, ») = — —, ( р — 7! + -г — т + -,— т. рдр(, ЭР/ р др д» 83. а) Сс 1пр+ Сг: б) Сг;р 4- Сг; в) Сг»+ Сг; С! и Сг - произвольные постоЯнные. 84. в) Сг/г -!- Сг; б) С! 1п 18 —, + Сг; в) СгР -1- Сг; С! и Сг --- пРо- В 2 извольные постоянные. 85. т(т+ 1)г"' г. 86. д!чес = — ( —,г — з), дгН»Нз Нг НгН» одуг сйчег = 1 Э!Н»Нг! ° 1 д!НгНг! Н! Нг Нз ддуг ' ' Н! Нг Нз ддуз , Й!чез = : а) гйчер — — —, сйче Р 2 „1 = О, 4!че„. = О; б) с1гве, = —, сЫчев = — с!8 В, д!че = О.
87. в) гоСер — О, г' ' г гос ер = — е.-, гоС е, = О; б) гог е„= О, гоС ев = — ер, гоС ер —— — сС8 В, е„— — ев. 1 1 1 1 Р ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аддитивность интеграла 150, 188 Асимптотические формулы 55 Безвихревое поле 388 Бесконечная производная 66 Бесконечна большая последовательность 21 более высокого порядка роста 29 -- -- функция при х †за справа, слева 42 — — х — л †, 'оо,х — л †42 .. дифференцируемая функции 81 -- малня последовательность 2! функции 52, 199 более высокого порядка 52, 199 Бесконечна малые одного порядка 52 Вектор нормали 69, 216 Вектор-функция 68 Векторная линия 384 Векторное поле 384 Векторный потенциал 389 Вертикальнан асимптота 130 Верхний интеграл Дарбу 144 †.
Лебега 187 — предел последовательности 34 Верхняя грань функции 108 числоного множества 8 сумма по Лебегу 187 Римапу !44 Ветвь кривой 138 Вихрь 387 Внешняя мера 179 Внутренння то пса множества 192 -- -- поверхности 346 Возрастание функции в точке 116 на промежутке 116 Возрастаюшан последовательность 32 Валнонае уравнение 406 Вторая производная 80 Второй дифференциал 81, 226 Выпуклан область 233 Выпуклость графика вверх 131 вниа 131 Гармоничесная функция 340, 402 Геометрическая интерпретация дифференциала ?7 дифференцируемости функции двух переменных 215 производной 66 равномерной непрерывности функции 113 — — теоремы Лагранжа !17 Ролла 117 Геометрические приложения двойного интеграла 283 определенного интеграла !64, !65, 167, 168, 171 Гиперболический косинус 49 котангенс 49 синус 49 тангенс 49 Гладкая кривая 318 поверхность 346 Годаграф 68 Градиент 385 Граница мнолсества 192 — поверхности 346 Граничная точка множества 192 поверхности 346 Двойной инзеграл 279 Двусторонняя поверхность 360 Диаметр множества 279 Дивергенпия 387, 410 Дифференциал независимой переменной 77, 2!7 функдии 77, 216 и-го порядка 82, 227 Дифференцирование 65 Дифференцируел1ая и раз функция 81, 226 функции 77, 214 Дифференпируемое и раз скалярное, векторное поле 384 Предметный указатель 472 Кубируемое тело 171, 312 Кусочно гладкан кривая 318 поверхность 346 Кусочно непрерывнан функции 145 — — вдоль кривой 318 Зависимость фуннций 257 Закон сохранения интенсивности векторной трубки 410 Замена переменных в выражении, содерясащем обьпсновенные производные 269 частные производные Лебеговская интегральная сумма 188 Лебеговское разбиение 187 Леван производная 56 с!еяый предел 41 Лемма Ларбу 144 Линейность интеграла 87, 149, 188 Линия тока 383 уровня 383 Лональнан производная 392 Локальный масссимусс 131, 236 — минимум 131, 236 экстремум 131, 236 270 Замечательные пределы 47, 49 Замкнутая область 193 поверхность 348 Замкнутое множество !78, !92 Знакоопрелеленнал квадратичнан форма 238 Знакопеременная кнадратичная форма 238 Изьсериьсан на мнаясестве функция 184 Измеримое (по Лебегу1 множества 179 Инвариантность формы первого дифференциала 78, 2!7 Интеграл Гаусса 379 Лебегэ 186 с переменным верхним пределом 153 Интегральная су лма 143, 279, 295, 3!2, 317, 325, 353 Интегрирование иррациональных функций 100 --- рациональных функций 96 тригонометрических функций 106 Интегрируемая по Лебегу функция 187 ..
— Риману функция 143 функция 279, 295 Максимальное значение функции 109 Масштабный коэффициент 433 Матрица квадратичной формы 237 Мера (3!ебега1 179 Метод вычернивания 98 замены переменной 91, 155, 281, 297, 313 интегрировании по частнм 94 исключении части переменных 261 Лагранжа 263 математической индукции 14 — неопределенных коэффициентов 98 Минимальное значение функции 109 Мнагачаен Тейлора 125, 229 Множества одинаковой мощности 177 Множество меры нуль 182 мощности континуулса 177 точек плошади нуль 280 Монотонная последовательность 32 Кесательная 66 — плоскость 215 Квадрируемая поверхность 348 фигура 167 Квантор всеобшнасти 8 существования В Колебание функции 109, 144 Конвективная производная 392 Коэффициент растяжения объема 300 плосцади 283 Криволинейные каордиссасьс 282, 298 ортогонэльные координаты 432 Криволинейный интеграл второго рода 324 перного рода 317 Критерий Коши сходимости последовательности 37, 194 Сильвестра знакаопределенности квадратичной формы 238 Наклонная асимптага 130 Невозрасгающан посаедовательность 32 Независимая переменная 40, 198 Независимость интеграла ат пути интегрирования 335 Неограниченная последовательность 16 Неопрелеленности разных типов 25, 59, 60 Неопределенный интеграл 87 Неособая точка поверхности 347 Непрерывная кривая 193 Непрерывность функции в тачке 48, 205 205 Ллина кривой 165, 317 Дополнение множества 179 па отдельной переменной Предметный указатель Непрерывность функции в точке по совокупности переменных 205 слева 48 Непрерывность функции в тачке справа 48 вдоль кривой 318 — — мнонлестве 206 Неравенство Бернулли 14 треугояьника 195 Пеубывающан последонагелыюсть 32 Нечетная функция 130 Неявная функцил 243 Нижний инте~ рал,'!арбу 144 Лебега 187 ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
