В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 90
Текст из файла (страница 90)
6. а) у'(О) = — 0,5, ув(0) = — —, ув'(О) = 0; б) у'(0) = — 1/3, рв(0) = — 2/3, ув'(0) = — 7/27. 7. з,(0, — 1) = — 0,5, вя(0, — 1) = = О. 8. а) х, = ††г х†, хя — †в-р-"-~, в, „ — — †:У вЂ я, -,,з — — — и-"-'д-"-ху, хвя —— х р р (' р) (х р) = — т — *-+т, где е = /(х,р); б) х = — — хув —— , хв — — — 1-хв — —, дв = — ~ — хр вт, 2хв, я вя — — , р у,з„в —— :,— *у — р,гдез=/(х,у))в)з,=хя —— , х„л = в.,„= хвв — —.— -' — р, где = /(х, р).
9. а) /(в = — /)х — ду, 1 е — 1' ' ' " (е" — 1) /(вх = 0; б) /1з = ~~ (р /)х -1- е/)у), Нзв = -т — — Я вЂ” -з (у )(х — х /(у)з, где з = р(х -)- я) ' ' ' ' у (х -)- в) /(х, у); в) а)х = :-У вЂ /(х + ":--' — с(у, с( х = ([(ху — в) -1- (х— — у«)з — 2у(ху — в)(х — уз)]()(х)з + 2[(х — ух)(у — хх) — (ху — в) (хз + у — хуз — зз)])1х))у+ [(ху — з) + (у — хв)з — 2х(у — хз)(ху — в)](Ну)з), где з = = /(х, у); г) )(х= — е (х Нх+ 4с(у), /( в =:тез(с х + а з )(йх) — — ~-~уз х я хбх/()/ — — ~~~(сзуз л; бззз)(/)у)~, где я = /(х, у).
10. а) з„„= — 0 4, е,„= Ьявз ,у'=:,у' = — х"= ":б)у = — х'= (х — р)' , ув = — хв = — ~, где х = х(х), у = у(х). 15. а) х'(0) = у'(0) = = -0,5, вв(0) = -ув(0) = -0,75; б) д'(0) = '(0) = -1, ув(0) = 1, «в(0) = = О. 16. /1в = — (2)1х — )(у), аах = — —,„, (2(е(х)з — ба)хе(у -~- 2(/(у)з). 17. е(и = /(и (в)пв+хсоввв)дх+ хсовв — в)пи др рсози — зшп ах+ усови+йпи)ар у соз и -)- х сов в усови 0 х савв и= — с( и— (2совв//х — хвшв)/в //в — 2сови)/р — увлекли )/и , где и=и(х, у/, рсови-)-хсовв п = п(х, у).
18. Ни = 0 5(/(х+ Ну), )(и = 0,5[(1 + и/2))(у — /(х]) /(си = (/(х)~, )1зс = 0,5(/)х — с(у)Я. 19. /ш„,(0) = О. 20. а) Нет точек экстремума; б) «„„, = з(0 0) =242' в) х =х( 3 в/6, 3 и/6)= 4 2/6 х а =з(ъ6 — 3, т/6 — 3) = 2п/6 — 4; г) шы = з)(0,0) =а, „„„= ее(0,0) = — а. 22. а) Зависимы; б) зависимы. 24. Независимы в любой окрестности точки (О, О, 0). 26. Функции и), из, ив зависимы во всем пространстве Е .
28. в) и, „, = в 2 52 / "— Р в точке ~ та — ' — т, а — ~ 1) б) и„п„= 2)/2а в точке (т/2а, т/2а), аа- Ч- 5 а -~-6 'а--~-Ь /' Ответи и указания и„„= — 2 Г2а в точке ( — уг2а, — иг2а): в) и,„= 0.5 в точках (1/у'2, 1/т/2) и ( — 1/уг2, — 1/уг2), и „, = — 0,5 в точках ( — 1/з/2, 1/т/2) и (1/уг2, — 1/з/2); г) и„„„= 0,4 н точке (0,4; — 0,4; 0,2); д) и„о„= 5 в точке (О, О, 0), и„,„, = 710 и 27 точке ( — 4/3,8/3,4,13); е) нет точек экстремума: ж) и„а = 1 в точке (1, 1, Ц; з) и, „, = — 3 в точке ( — 1/3,2/3, — 2/3), и„„, = 3 в точке (1/3, — 2/3,2/3); и) и„,„,.
= с з в точках (0,0, — Ц и (0,0, Ц, и„„„= а, а в точках ( — 1,0,0), ,— 1 =1 29. а) и„;ы = — 1 в точках ( — 1,1.,Ц, (1,— 1,Ц, (1,1,— Ц и ( — 1,— 1,— Ц, и„„„= 1 в точках (1, 1, Ц, ( — 1, — 1, Ц, ( — 1, 1, — Ц и (1, — 1, — Ц; б) и„;„= ="'-"~/(3. 6) в точках '(1/. Ь, 1/Л, -'2/' 6),(1/. 6, -2/ /6, 1/ 6) и ( 2/"/6, 1/.6,1/.6).и.,.. = 1/(3.6)'в точках(-1/,'/6, 1/' 6,2/.)6),( 1/ 6,2/.6', — 1/з/6) и (2/т/6, — 1/т/6, — 1/т/6) 30. И = Ь = 6. 31.
В„„, = 48сгаз при высоте 2 см и длинах сторон основания, равных 4 см. 32. Ъ~„„, = ям при радиусе з основания 1 м и длине образуюшей 2 м. 33. 2а/т/3, 25/т/3, 2с/з/3 34. р ы = = и-"-си'-'-'-*'-и-" - л ь. - з... =г ьь" Аз+Вз+Сз 2' С = ъ 2аЬз1п —,. 38. а) у ф у = 0; решение исходного уравнения есть функция 2 у = Ааш(!пх ф р), где А, р произвольные постоянные; б) у+ у = 0; решение исходного уравнения есть функция у = .4 а1п 11 — 1п(2х х т/4з:з -~- Ц -~- Зз), /1 'г 2 где А, Ьз — произвольные постоянные; в) у+ ызу = 0; решение исходного уравнения есть функция у = Азш ж вгсшпх+ р), где А, Зз — — произвольгг ные постоянные.
39. а) хн'+ у = 0; б) хрб -1-1 = О. 40. а) й-~- (1-~- и)и = 0; б) Ьай -~- (Зсз,'- Цй, ф и= 0; н) и-~- и = 0; г) В1 ф и = О. 41. и -~- [д(х)— — 0,2зрз(х) — О,бр'(х))и = О. 42. а) р = р; б) рз = р:.ж2— " — ~. 43. р = Ьрз, ф= — 1. 44. а) из„=з:б) з,.=х ',е'; в) з =з„; г) х~-раз „=Ьаз. чг: з 45. а) з„= 0: решение исходного уравнения есть функция з = /(Ьх — ау), где /(и) произвольная дифференцируемая функция; б) - = 0; решение исходного уравнения есть функция з = /(х '; уз), где /(а) произвольная днфференцируемая функция; а) из„= з; решение исходного уравнения есть функция з = /( — и)(4х — 7у), где /(о) произвольная днфференцнруе73и1 мая функция. 46.
а) ш„= 0; решение исходного уравнения есть з = З и 41 , где /(и) произвольная дифференцируемая функция; б) зе„. = О, 1У+) решение исходного уравнения есть функция з = ехр (х Ч- у+ /(х + у )), где /(и) — — произнольнан дифференцируеман функция. 47. а) и ш„= 1: б) и, = О, в) изшз -~- азшз = иРш„из„. 48. В = х (ах„ -~- ех,) 49 а) В: зе + тзе' б) В: зрр + зр + тз е, 'в) В = з „+ 2з„„+ з„,. — з„— з„; г) В = рззрт 50. а) з„, -~- з„„= 0; б) з„.„. = — — 7 — — тз; в) з, -~- и -~- е Глава ХП Глава Х11 1. а) / !2х /Г (х, у) яу 3 б — 11 /ду~))х, у) дх г(рис.
81); б) /4(х / гг(гх, у) б(у+ 1 р 2 ( ьц(з 5 (29 — бш(2 Зр — 1 ф/дх / г"(х, у)ду, /418 / г"(х, у)дх -(- з ( 4(дз (р-(-1!((б 7 (29 — груб 1 / ~(х,у)!1х (рис. 82); в) 1йхх 2 (94-11дб — г б — 3* з йр(3 !2 х / У(х,у)ду, /ду / Х(х,у)дх+ /ду х 3*' — „гр73 з Р 2 — р(3 4 х / 1(х, у) ((х (рис. 88)! г) /((х х — игр(з — 2 1 1.!.,Л вЂ” 49 — рр 4 3 '/ ~~")* ) 1 3~*8) ° Рис. 81 — г — р(34Л* * — — **--"" 1 — !Л- 49 — р~ О 2 О 223252 5 2 Рис. 82 + 22„„+ зр, = О.
51. а) ю„„= О; решение исходного уравнения есть функция 3 = у 1(х + у) + х д(х + д), где 1 (и), д(и) - - произвольные дважды дифферсацируемьш функции; б) з„р = О: решение исходного уравнения ость функция 3 = г (у+ ах) + д(у — ах), где 1(и), д(и) — — произвольные дважды дифференцируемые функпии. 52. и — (Хи —,) + и — (Хи —.) + и! —,) а! —.) = , Э (' дг('( 8 У дг('( а Г,И('( ди ), ди) ди '1 др ) дю ), 1дю) = 2(заид д ф ию —.д + июд д ).
58. а) и„„= О; б) ю„„= 0,5; в) ю„, = диде дидю дядю ) ' Ответы и указаниа 450 а р)2 12 4 /б(у / У(х, у) 4(х+ /((у/ Д(х, у) йх (Рис. 84); о) /4(х / Д(х, у) б(у + 3 р)з О р(3 — (3- Зхыз р — 2 х О 1 Рис. 84 Рис. 88 б 4 4 (р-~-11)(13 4- /бхх/Ях, у) б(у+ /б(х / ((х, у) 4(у, /хру / Дх, у) а)х; ж) / 4(х х 1 1 4 Зх — 11 (б — зрУз з*еб О 3 -)-б 3 р(3 — 1 б ΠΠ— З Ез О р(З вЂ” 2 з р)з о 1л)б 3 б — 3* 3 з-р)З б з) /Их / )'(х,у) 11у 4-/1(х / )(и, у)14у, /4(у / )"(х,у) дх 4- /4)ух — 2 — 3* — З о — з — — р)3 — 1 3 1 — р)З х / )(х,у)4(х) и) //~(х,у)4(хб(у= //~(х,у)4(ха(у4-//,((х,у)б(хб(у4- а Их Ор (243)р — 4 Рис.
85 Рис. 88 Рр( ) з Рр(*) Глава ХП 461 2 -иЫ О Рз(х) +/1(х / Г(х,у)ззу+ /ззх / 7"(х,у)ззу, где у((х) = 272х — хз, уз(х) = О .-Р2( ) Р2( ) 2 1-)- 2(У) 1 1 в*2 Ы '3+2 — л 1 . 251, '(зр ) а )4*~)4 ( а 14 1 22(у) — 1-1- «Ь) -1 1.1. 2(Р) '- 1Ь) + / (у / У(х, у) (х + / (у / Х(х, у) (х, где и (у) = Ф вЂ” у', 2(у) = — 1- 2(Р) — 1 1 — 22Ы /4 у и) ЦЙ У)~х"У = И~(з У ' " 77 С' а, аз ! Р2(*) з ,ц,(.у) ..у.ца:,у)" =/" 1~(")'у ~" /""' аз а, о р,() 2 1 — Р2(*) -21( ) о )ерз(х) у(х,у) ((у, где уз(х) = Лх — х', О 1-22(*) — 1 — Рз(х) 1.--Ь) 1 1' Ь) 1 1,„, 2(з„) 1, „1. ')4.
! 1-* Ь) — 1 14-*1(Р) 1 — 1Ь) „1, в „1„1= 242-'. — 1 — 22(Р) з 4 ) ~( /у(х у)((у(рис. 87))и)/г(у/)(х' и) 1 / о з 1 з,р('2 2 Р 4 2 1 ~2~ ~у(, у)(х+~ у~Их,у)~*' О р(2 р(г ,Л-Р- о о о — РХГ )(х,у)ах(рис.89); д) /'х / — -(14 Уз о — (14. У2 а х 1 О з Рис. 87 Рис. 88 Ответы и указания 462 Рис. 90 Рис, 89 уу2 — О,б 0 1 у'г — у уг (рис. 90); с) / 14у / 2 ух, у) Ьгх + / угу / 21х, у) ббх+ /0119 и О,брб 2 — О, б,й — у г Ог — у — О,б,'3 О,б-~- Рà — 22 о / 7М У) 02х (Рис 91)' 'к) / 02х / 7(х У) 49 4- / О -1 од -о,б~ з 1 2 к / )'(х, у) 119 (Рис. 92).
3. а) 4,5; б) — 27/4; в) 61. 4. а) /0772/р)урсове, о о г ряпуз) 4р = /рь4р/2(рсоар, ряп р) 422; б) /йр / р21рсобр>ряпуо) 02р = о о о о — ярз'21 2 Ь = /ру2р / 21рсоауз, рагпуз) 02Ь2 (рис. 93); в) /0222/р1(росям, ряпуз)йр= о, ° <р22~ о Ь 2 24 /р4р/Крсоар рагпФбр; с) / 4р / ргурсоар,разпр)4р — —,.14 О о Рис. 92 Рис, 91 Глава ХП 463 Р2 1Пип Р4-с «Р« О,пмсс «4«~1 1 /,( / у(рееву,рв«п«р)42«р(рис.94); 2) / «422 О ««Л и~,[~ ! 22 О О ,2 пса«!2 ! — 1'4 „~( „вр рв,и,р)ЦР /' Р«2Р/'У(рсовр,р~~ир)ФР ' / Р"Р~ ./ 12, 2 О сып- Р 2 р «ссип— 2 Рис.
93 Рис. 94 с«!п~ — 4 Дп .. 2- 2Р 4 и 2р о 4 2 и р Рис. 95 ,'2 у(р сов. 31и 22) «2221, где 11 = игсв«и — (Рис 99)' 1 2р 3 !4— «1 РР сс«1 Р 3,1'4 !«и Р И(Р . Р»-.) ~" 1 " / ΠΠΠ— «99 /' «„ / РГ(Рсов«Р,Р31и22)сгр = ~рс«Р / 3 24 О О 1«Р« 464 Ответы и указакия Л«ог(р( "— '*4 00 + / РЗР[ / Х(рсозубрз(г(Р)ур+ / У(рсозр,рз(г(Р)Ф~,тдеаг(р)= г(р( — ог(р( = агсз4п, ог(р) = агстбп —. б. в) / 49 / Р/(Рсоз р, аг -(- 4рг — а а 2р ' р о о О2 (4 1 -(- 4рг — 1 рйпгр) с(р = / рг(р //(рсов(р, рз(псг) г((р, где а = агсвт 2р о 14 21 и , 14 4 а си (21р( 1 / /(') = //~(р') Р1 + 1 (')Р 1 14 о о (Е 2 г 14 12 ! (44- (р( в) / с(Р / р/(рс гр,рлгпФ44Р= /1 Рг1Р / /(Рсовр,рвп(2)гдр; 11 '2сом (рг- (41 1(с 21 (4 (р( з 3 4 где а(Р) = васоев . 6.
в) 2 /г~и//(и г) г(о( б)/игра//(о) ((о 2 /Х(гг)г(о' 2 — З 2 3 з 8. Положите и = ху, о = х — 2у. 9. а) 2лаЬ/3; б) 2; в) 0 и 21каг/22. 10. а) 18х; б) 4/3; в) 0; г) 543 —. 11. а) (15/8 — (п4)аг; б) гг; в) 0,5а 1п 2. 12. а) аг(т/3 †.г/3); б) аг(4 — огуб 5+ л/2 — агссоз(Лэ/4)). 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
