В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 87
Текст из файла (страница 87)
58. х(1п х — Ц. 59. — хв!а 1п х — —. 1п х + 3 1, 3 а а + — ~. 60. — 05!хе+1)е ' . 61. * сов2х+ — *в|п2х. 62. хагсв1пх + 4-5/à — х-'. 63. — а"св'"х — 1п~" е1 х . 64. 1п 48(х/2) — совх1п !Вх. 65. О 5!!1+х!)(агсгбх)г — 2хагсгбх+!и]1+ хг)]. 66.;/Г+ ха1п!х + + г/Г+ хв) —:е. 67. ОДе*;Ге~ + 1+ !п(е' -1- г/ег + 1)]. 68. О бх)в)г(!1пх) + (( ((. 6к. "' ' ". ю~.
(~(8( "а — ( (и — (*(.+ а -(- 5 71. 1п ]х — 2] 4-! п ]х 4- 5]. 72. г -1- (1/б) !п ]х] — (9/2) 1п ]х — 2] 4- (28/3) 1п ]х— — 3]. 73. — 2 —: — + 4!п, . 74. агсбВх+ — !п — г-: — —. 75.— 5х — 6 х — 1 5 х"-(-1 1 х — Зхв-2 х — 2 ' ' '' 6 х' 4-4' ' х — 2 — агс!К (х — 2). 76. — 1п — ~-~ — + = агс48 х .
77. 4 1п 6 х — х-(-1 „'3 ггЗ 4 хе! — — агс!В х. 78. — !п . -1- — агс! — 2. 79. — !п — '-х —— 1 1 х -~-хг(24-1 1, хч'2 1 агах+1 2 4ез *' — . 2+1 зхз 1 — х ' '4 Р— — х(! —.(, = . (* ( — = . (24 ((. г 'з г З' '5 х +ха!!2 5 5 44(3 ! — хч'3 -(; г ! 2 6 ' 06(х — 1) 3 3 — — — — х + агс!8 ' .. 84.
— + —, 1п — з — — ~. 85. — 1п ~~. 86. — х а 1 х4 ха (2 -(- 1 х агсгб х . 87. 1п х х,," " . 88. агс!Вх 4- — агсгбха. 89. — х * 3' '4,2 хгеха(г-1-1' ' ' 3 " 4 х!п . — агс!8,'... 90. О,ог!х — хг(х — 1 4- ( (*+.*=((( ° -!1(г",. * ", '" и* ~-1("(1+*+ Гв+т).ю.— ( ' * "" ' ' ..л+( ( + +я(-Л х 61 Я= 4 г2 +'~.~г.— + " 'ТТ2 — 4агсв)п . 96. (! —,.г — —,х + — г.в — — 'х + — )г/!+х' — — ' х 1 — х /63 21 з 21,,в а,т хв! г 63 г/2 (,256 126 !60 ' 60 10 ) 256 х 1п1х+ г/! 4-хг) 97 1 !/ха + 14- ! 1п 14 г(х + ! 98 зх 4 ! г/хв 1' 2 ]г( ' ' Зхв — О,Л ЛТЕ:Р М 1 Г ( — (Л Г Л-Л пп Гг 2Л +аз 4ез ! !-Е, в — х 2~ 2 ]х — 1]г(5 2 „О,!г ° — г -*-Т х -(- 1 З~~' хх-(-1 ' 2(2г -!-1) 2 2г-(.
Ц вЂ” Гг и о~(„:] ( г,— ' — т Ответи и указания 444 — ' .*и х ъгй 1 хъгй 4 Ъсх4 41 ъ2 х' +1' х ъгв х * Положите 1 = х — —. 108. (5/16)х — (1/4) яп 2х+ (3/64) яп4х + (1/48) х х ашг2х. 109. (1/16)х — (1/64) яп4т, ф (1/48) япз 2х.
110. 1/(3 совах)— — 1/ соз х 111. (1/4) 18 4х — (1/2) 18 гх — !и [ сов х[, 112. — 2 г с18 х + (2/3) х г+ х ° /18зх. 113. — 1п г, + — — вгс18+~ —, где г = 18х. 22ъ2 ' — гъз-Ь1,/г' 114. 1/4х+ 1/8з|п2х+ 1/(16) а1п4х+ 1/(24) зшбх. 113. — 3/(16) сов 2х+ + 3/(64) соа 4х + 1(48) соз бх — 3/(128) соа 8х -~- 1/(192) соа 12х. 116. — згс18 .
117. а), агс18 [1/:18 2); 1 Згб(х/2) -~-1 2 / /1 — е хй ъ'5 )п с+соахъс ъ 1 — с* Япх 118 х — 1 агс18(ъг218х). ъгет: 1 1 -~- е соа х 9.— 1 с —.— — ~ — — — 53 '" '"" .ЫО. «г~ — гЫ). 6 1 — Яп хссах ъгз 1 ъЯпх / Глава Ъ'1 2. а) Да; б) нет; в) нет; г) нет; д) да. 4.
а) Нет: б) да. 8. а) гп1 /(х) = 0 я,-~- ) нс достигается, зпр /(х) = 1 =/(1); б) гп( /(х) = 0 = /(0), апр /(х) = ~о,~. Ч 1 — ига ~ ~ ~о~ = 100 = /(10); в) ш( /(х) = О, ацр /(х) = гг/2 не достигаютсн; г) гп( /(х) = — 1 = /(л), зцр /(х) = ъ'2 = /(к/4); д) ш( /(х) = О, зцр /(х) = ',о,~ ~о (о*гг (о,г) = 1/2 не достигаютсн. 13. а) 4; б) 2.
17. а) 6(е) = е/[1[; б) 6(е) = е/75; в) 6(е) = с; г) 6( ) = е 'ее. 18. а) Равномерно непрерывно на (1, 2), ио ие является равномерно непрерывной на (О, 1); б) равномерно непрерывна на (0,01, 1), но не является равномерно непрерывной на (О, Ц; в) равномерно непрерывна: г) ранномерио непрерывна: д) равномерно непрерывна; е) равномерно непрерывна; яс) равномерно непрерывна; з) не япляется равномерно непрерывной; и) равномерно непрерывна; к) не является равномерно непрерывной; л) равномерно непрерывна. 22. /(х) = агсяпх на ( — 1, 1). 23.
Из ранномерпой непрерывности /(х) на (а,Ь) следует, что в точках а и Ь выполнено условие Коши сушествования предела функции. Поэтому функцию /(х) можно доопределить в точках а и Ь так, что она станет непрерывной на [а, Ь), а значит, и ограниченной на [а,Ь). 27. а) Убывает на [ -ос, ††, ), возрастает на ~- †, +ос); б) возрастает на (-сс,-~-со); уй г Ь 2а/' 2а' в) возрастает на ( — 1, 1), убывает на ( — ос, — Ц и на (1, фсо); г) возрастает на ( — со, +со); д) возрастает на (2пп — —; 2кп+ — ), убывает на 2к 2к Ъ 3' 3,)' ( — —.) (.
2 а+ *2пп+ 3 )' и 6 ~'е) возрастает на [ 5'2 05)' и 6 ~' 2к чк '1 / Убывает на ( — со,— 2), на (2 05, ), п6 Я, и~О, и на (2,-5сс); ж) нозрастает на (О, 2/1п2), убывает на ( — сс, О) и на (2/1п2, Ч-ос); з) возрастает на (О, и), убывает на (и, Ч-ос). 28. Возрастает при а ) 1, убывает при а ( — 1. 31. * Используйте метод примера 3 из 3 3. 34.
с = 1/2 или с = ъг2. 37. * Используйте лгетол примера 5 из 3 3. 39. * Воспользуйтесь теоремой 6 и результатом упр. 23. 41. Нет. 42. Рассмотрим функцию Глава 171 445 д(х) = 7(х) — 1(а)— 1(Ь) — Г" (о) (х — а). Она непрерывна на (а, Ь] и диффе- Ь вЂ” а ренцируема в (а, Ь), причем д(а) = д(Ь) = О.
Так как 1(х) не нвляется линейной функцией, то д(х) и) 0 и, следовательно, д~(х) ж 0 в (а,Ь). Отсюда следует, что Лсы сг Е (а, Ь) такие, что д'(сг) > О, а д'(сг) < 0 (объясните, почему), откуда 1'(сг) > — (-5) )— (-)-, а 1'(сг) < — (-) — — (-г. Значит, в одной из точек с, имеем ]1~(с,)] > г ("1) — ~(=), т. е. ]1(Ь) — 1(а)] < ]1~(с,)] ]Ь вЂ” а].
44. * Воспользуйтесь результатом упр. 43. 45. О. 46. О. 4Т. огчд. 48. — 2. 49. 1. 50. 1,12. 51. — 1,13. 52. 1. 53. О. 54. 1. 55. 1ггб. 56. О. 57. а'(1п а — Ц. 58. е 1 . 59. 1ге. 60. 1. 61. е Ое. 62. с 'г~. 63. 1/2. 64. 1/2. 65. О. 66. — е/2. 67. о". 68. 1. 69. а) 1 — т+ — *,, — х, ж ... + ( — Ц" 'х, Ч- о(х"); б) 1 + 2х + + х — -х — -'х — — „х + о(хл); в) х — —: + о(х ); г) 1 — —, + — 'х + о(х )', г 2 3 5 4 1 5 л х' 3, х 5 4 г 3 б' 15 3 2 24 хг х4 хь е хт хгз гз х д) — — — — ' — — +о(х ); е) х — — — —, +о(х ); ж) а-~- — -~-— б 180 2835 18 3240 ва" г — — — Ч-о(х ); з) 1 — — х ж — х" ж — хз+ о(хг).
70. а) 1-|-2(х, — ц Ч- ф(х — Цг; б) 14-(х — Ц вЂ” -(х — Цг -~- — (х — Цз фа((х — Цз); в) 1 — л х х (х — Ц ж — (х — Ц ж о((х — Ц ). 71. а) Ъ|еньше 1/3840; б) меньше 2 х х 10 с; в) меньше 1/16. 72. а) 2,080; б) 3,08000: в) 0,3090; г) 0,01745241; д) 0,095; е) 1,22140; ж) 0,99452. ТЗ. а) — 1/12; б) — 2; в) 1: г) — 1)4; д) 1/2; е) 0; ж) 1/3; з) 19гг90.
Т4. а) а = — 2, Ь = 3/2; б) о = Ь = — 2; в) а = 1, Ь = 2 илн а = — 1, Ь = — 2. 75. 1'(О) = О, 15(0) = — 1,13. Глава Ъ'11 На графиках функций экстремальные точки обозначены "кружками" (о), а точки перегиба "крестиками" (х или 4). К Ответы и указания К упр. 8 1( О 1 к К упр (п-~-2пк,к) и ( — ' п— т2як,— 2)~— (0,0з — угловая точка 2 '2 2 ' 2 угловые точки Ответы и указания 448 К упр. Ку К уп Глава )71 449 К упр.
Зб 10 В.Ф. Бутузов и др. (О, 0) —. изоаировэкиав точка , а), ( — а, 0), (О, — а)., (а, — гочки возврата ,О) — - точка возвпата ГО,О) точка само- пересечения 450 Ответы и указания Глава Ъ'111 4. * Используйте то, что х = 0 предел точек разрыва. 6. а) Да; б) нет; в) нет; г) да, с учетом замечания в п. 4 2 1; д) да; е) нет.
7. Нет; да; нет; да. 9. а) Да; б) нет. 10. а) 2/зг; 0; 0; [2/л.) соя угв; б) — 1; — 1/3; 1/2; 0; 1. 11. 2/3; [1/15)10~ге; (1/150)100~ге; б) 10; в) [1/2) сов уг. 12. игр —— = [со + ог )/2, где ег = 2дЬ -- конечная скорость тела. 11. го/2; го/2: го/2— — Я/2)[1/!о)[Т/4к)[к1п[4к!о/Т ~- 2уз) — сбп2уз), гз/2. 14. а) 0; б) жп[Ь ); в) — жи[глл); г) 2х~Г1 -Ьхг; д) 2хт/1 + х4; е) Зхз/т/Г+ хе — 2х/Я+х"; ж) Зхз/з/1 -!- хв — 2х/~(1+ хл; з) Зхз/,/1+ хв и) 3!з/ /1 -1- !'з; к) 0; з л) /х(х + ! ) ~г~г!х Ч-Зхз/~х~+ з'з.
15. а) 1; б) 1; в) к/[2аша). 16. а) кз/2; гз б) 2/3. 17. 5/6. 18. а) 0,51п[е/2); б) 4к! в) 1. 19. а) 1/6; б) [1/т/2) 1п[[9+ +4з/2)/7); в) 2 — гг/2; г) яз/4, 20. Нет. 21. а) Да, л/4; б) да, гг/4; в) да, хотя в этом промежутке нарушено условие теоремы 10, к/4. 24. а) 0,.51пЗ— — к/2тгЗ; б) (5/27)ез — 2/27; в) 4гг/3 — т/3; г) 2я[1/т/3 — 1/2т/2): д) 1/б; е) к /б — "г/4. 27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
