В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Непосредственно вычисляя криволинейны!4 интеграл второго рода, выражающий работу силового поля г' вдоль кривой Вл в заданном направлении, находим зк (г г1г) = ~( — аяп1.1+ асоа1-4+ Ь11с) х 23. Характеристики векторных полей 421 Применяя формулу Стокса к контуру Р и любой кусочно гладкой поверхности Ф., натянутой на этот контур, имеем / (х с1 г) + / (г осг) = О (гогР . и) с1Я. (14) Ьг Ь2 Ф Повторяя выкладки предыдущего примера для вектора а = Р, находим, что го1 Р = 2 11 и Ц(,го1 Р и) с1В = 2каг.
Вычислим теперь работу силы Г вдоль отрезка Ьг прямой от точки В(а, 0,2кб) до точки А(а, 0,0). На этой прямой Р = а1+ гк, йг=ййх и ьг (г с1 г) = / г йх = — = — 2кг 62. 2 гле гль Из форлгулы (14) следует, .что искомый интеграл (работа силы Р вдоль кривой Р1) равен разности поверхностного интеграла (потока гогР через поверхность Ф) и криволинейного интеграла по отрезку прямой Ро: / (хат) = 2ха — ( — 2гс 'о') = 2хаг+ 2гггбг. ьг Рассмотренный пример показывает, что применение формулы Стокса для вычисления работы силового поля (а также других криволинейных интегралон второго рода) вдоль незамкнутых криных удобно в тех случаях, когда достаточно просто вычисляются криволинейный интеграл по кривой, дополняющей данную кривую до замкнутого контура, и поток ротора данного векторного поля через поверхность, натянутую на этот контур.
а 10. Вершины Р, В,А' куба АВСРА'В'С'Р' находятся соответственно в точках (1, О, 0), (О, 1, 0), (О, О, 1). Применял формулу Стокса, вычислить циркуляцию векторного поля а = р1+ 21+ хк вдоль ломаной ,л С'СРАВВ'ХР' (рис. 78). ХС сл Обозначим данную ломаную через ег Вы Чтобы сделать возможным применение формулы Стокса для вычис- л" Фг У ленин искомого интеграла / (ас1г), дополним ломаную Рг до замкнутой Й1,0,0) кривой В отрезком Рг примой, соеди- р 70 няющим точки Р' и С'.
На контур Р "натянем" кусочно гладкую поверхность Ф, состоящую из трех квадратов; С'СРР', Р'РАХ и ХАВВ'. Обозначим их соответственно через Ф1, Фг, Фз. Гл. ХК Скалярные и оекторные коля 422 Применяя формулу Стокса к контуру Ь и поверхности Ф, имеем / (ас1г) + / (ас1г) 1, ьг Ц (гога п)с15+ // (гога.п)с13+ // (го1а п)с15. (15) фг фг 4'з Далее, находим го1а = — г — з — 14. Единичные векторы нормалей на частях Фз, Фг, Ф;з поверхности Ф с учетом направления обхода контура А имеют вид п(Фз) = — 1, п(Ф2) = з, п(Фз) = 1. Вычислим поток гога через поверхность Ф: Ц (соса п<Фс))сБ+ // (гота п(Фг))с1В+Ц (соса п(Фз))дВ= Ф1 фг Фз = П "'- д"'- П"=-Е Фз Фг Ф;з Найдем теперь циркуляцию поля а вдоль отрезка Ьг прямой от точки 12' до точки Со.
На этой прямой а = у1+ з+1с, асг =1с1у и 1 / (ас1г) = / с1у = 1. ьг и Из форьлулы (15) следует, что искоьлый интеграл / (ас1г) (циркуьз ляции поля а вдоль кривой Лс) равен разности поверхностного интеграла (потока го1а через поверхность Ф) и криволинейного интеграла (ас1г) (циркуляции поля а вдоль кривой Лг): / (ас1г) = — 1 — 1 = ьг ьг = — 2. А 11. Доказать, что векторное поле а = уг г + 2ху з + е )с потенциально, и найти его потенциал. с'з Поле а определено во всем пространстве. Пространство нвляется поверхностно односвязной областью; поэтому необходимое и достаточное условие потенциальности поля а имеет вид гога = О.
Находим 1 з д д д* ду уг 2ху тоба = л Р г и(х,у,е) = / 0 Нх+/ 2хус1у+ /гсЬ = хуг+— 2 о о о Следовательно,а --. потенциальное поле. Вычислим потенциал поля а по формуле (10), взяв в качестве точки (хо., уо, ео) начало координат: 23. Характеристики векторных полей 423 12. Найти работу силового поля Г = уз 1+ 2ху) + хи вдоль отрез- ка Е линии пересечения цилиндров хз + 22 = аз и уз + 2' = и", прохо- дящего от точки А( — а, — и, 0) через точку С(0, О, и) до точки В(а, а, 0). сх 1 способ. Как и в примере 9, можно непосредственно вычислить криволинейный интеграл /1х дг), .выражающий работу силового поl, ля Е ндоль данной кривой Х,.
Здесь мы этого делать не будем. 11 с п о с об. Воспользуемся тем, что данное силовое поле Р являет- 2 ся потенциальным во всем пространстве: Р = нгас1 и, где и = хуз +— 2 (сьь пример 11). Отсюда следует, что работа силы Е вдоль кривой В равна разности значений потенциала в точках В и А: / (х дг) = и(В) — и(А) = аз — ( — аз) = 2аз. я 1, 13. Выяснить, нвляется ли потенциальным векторное поле а = —, 1+ 1+ 214.
.2 У уа Ь Находим 1 д дх у 3 д ду х1+,2 = О, если ха+уз у-О. гота = Заметим, однако, что поле а не определено на оси 02, поэтому условие гога выполняется во всех точках пространства, кроме точек оси 02. Следовательно, в любой поверхностно односвязной области, не содержащей точек оси Ох, поле а является потенциальным. Так, например, оно потенциально в 1 октанте (х > О, у > О, х > 0), и его потенциал равен и = ятсфя У + 22 (проверьте это).
Рассмотрим теперь область, содержащую точки оси Ох, например шар с центром в начале координат. Удалив из этого шара точки оси 02 (т, е, диаметр, лежащий на оси 02)., получим область С, в которой попса определено и гога = О. Однако эта область не является поверхностно односвязной, и поэтому из условия гоьа = О нельзя сделать вынод о потенциальности поля а. Пока'кем, что поле а в области С не является потенциальным. Для этого рассмотрим окружность Л = (х = Лсоя1, у = Вя1пй 0 < г < 2л, х = 0), лежащую в области С, и вычислим циркуляцию поля а вдоль окружности Е, пробегаемой в направлении возрастания параметра 1 от 0 до 2л.
Имеем ~(а 11г) = ~ — Йх -ь 11у = 1. 1, 2л 2л = / [( — я1п1)( — яш4) с11+ соя1 соя1111) = ~ 111 = 2л ф О. Гл. Х1'. Скалярные и векторные поля 424 Итак, циркуляция поля а вдоль замкнутой кривой Е не равна нулю. Следовательно, поле а не является потенциальным в области С. А 14. Пусть векторное поле а = 7Р(х,у), Я(х,у)) задано в плоской области 17, ограниченной кусочно гладкой кривой Е. Доказать, что (16) 22 А дР дЯ где г11Ц а = — + —, а и внешняя нормаль к кривой А. дх ду' Л Формула (16) представляет собой "плоский" вариант форл1улы Остроградского — Гаусса и может быть получена из обычной формулы Остроградского — Гаусса следующим образом.
Рассмотрим векторное поле а = 1Р(х,у), Я(х,д),0) в пространственной области С = = 1(х, у, -); (х, у) Е .0, 0 < е < Ц. Согласно формуле Остроградского- Гаусса имеем ~~~ ИЬ а 1ЛГ = ~~(ап) сБ, (17) с Ф где Ф .— поверхность, ограничивающая область С, а и --. единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф. Своди тройной интеграл к повторному и учитывая, что 1ПЦ а не зависит от з, получил1 С и о и Поверхность Ф состоит из оснований П(е = О), Ф1(е = 1) и боковой поверхности Фа. На основаниях Р и Ф1 имеем а Г п,и, следовательно, 0 (ап) ао = Д (ап)115 = О. На боковой (цилиндрической) пол Ф1 всрхности Фз введем криволинейные координаты (1, ) (рис.
79), где Рис. ВО Рис. 79 расстояние вдоль кривой Ь, отсчитываемое от некоторой точки (О < 1 < 1о). Так как на Ф выполняется равенство а1Я = гП е7з и вектор нормали п совпадает с вектором нормали к кривой Е, причем а р Я. Характеристики векторных полей 42бг и и зависят только от 1 и не зависят от х, то го го Ф Ф о о о Ь Подставляя найденные выражения для тройного и поверхностного интегралов н (17), приходим к формуле (16). д Валге чан ие 1. Отметим, что формула (16) ("плоский" вариант формулы Остроградского Гаусса) есть не что иное, как формула Грина, записааная в специальной форме.
В самом деле, запишем формулу Грина в обычном виде: дР дР~„„ и д дс/ дР Введем теперь вектор а = Я, — Р). Тогда — — — = с1гьц а, Р г/х + 44 г/у = дх др = (Рееве+ Яэгггсг) г/1 = (с/ыпо+ ( — Р)( — соса))Ж = (ап) г11, где о угол между касательным вектором т и осью Ох; и = (соэ(о — — 1, э1п(гг— 2/' — — ) = (сйаив — саво) единичный вектор внешней нормали к /. 2/ (рис. 80). В силу этих равенств формула Грина принимает вид (16).
3 а м е ч а н и е 2. Аналогично тому, как из формулы Остроградского— Гаусса была получена формула (16), из формулы (16) (или, что то же самое, из формулы Грина) можно получить формулу Ньютона-.Лейбница ("одномерный" вариант формулы Остроградского — Гаусса). Для этого положим Я = Я(х)., Р = О, 22 = (х, у г 0 ( х < 1., 0 < у ( 1). Тогда из формулы Грина получим ~~ — гьхггу = ~с/ггу. дб2 /г ь Так как — не зависит от у, а на нижней и верхней сторонах прямоутольдх ника Р имеем г1у = О, то г о г о о или / — дх = с/(1) — сг(0). дс,г о Это и есть формула Ньютона Лейбница. Таким образом, формулы Грина н Остроградского-Гаусса являются обобщениями формулы Ньютоаа Лейбница на случаи двумерных и трехмерных областей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
