В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

Доказать справедливость формулы 3гао(ии) = и йга4 и + и Зги и. с1 Согласно правилу (10) вычисления оператора Гамильтона от произведения функций имеем 3га4(ии) = с7(йи) + х(их) = пни + ссссо = е3гас1и+ ийгас1с. А 12. Пусть и(ЛХ) скалярное поле,а(ЛХ) векторное поле. Доказать справедливость формулы (21) йи(иа) = [ягаби.

а] + ийиа. й Используя свойстна оператора Гамильтона, получаем йз (иа) = (з7 . иа) = (с7 . йа) + (с7 иа) = (7и а) + и( сга) = = (ра4 и . а) + и йх а, А 13. Доказать справедливость формулы гос(иа) = [ягаби а] + игоСа, (22) где и(ЛХ) скалярное поле,а(ЛХ) векторное поле. с.'с Имеем гог(иа) = [T иа] = [с7. йа]+ [и иа] = = [йи.а]+и[т7а] = [3габи а]+игоФа. А 14. Доказать справедливость формулы гос[аЬ] = айоЪ вЂ” Ьйта+ (Ь17)а — (аи)Ь, (23) где а(ЛХ) и Ь(ЛХ) -- векторные поля. Хс Учитыван выражение ротора с помощью оператора 7' и правило (10), находим го1[аЬ] = [сг[алЬ]] + ['~ [аЬ]]. (24) Преобразуя первое двойное векторное произведение в (24) по формуле [р[с1в]] = с1(рв) — я(рс4), получаем [с7[аЬ]] = а(и'Ь) — Ь(зс а) = (Ъи)а — Ь(зга) = (Ъзг)а — Ъйоа.

(25) Отметим, что перестановка сомнол итслей в скалярном произведении (а( и Ь) = (ЬT)а) сделана для того, чтобы оператор "7 действовал на стоящий за ним вектор а. Х Х. Дифференциальные операции Аналогично для второго слагаемого в (24) имеем [тт[аЬ]] = а(ч Ъ) — Ъ(ча) = а(ГЬ) — (а17) Ь = агйгЬ вЂ” (а17)Ь. (26) Складывая (25) и (26), получаем формулу (23). д 15. Доказать справедливость формулы Вгас!(аЬ) = [Ьгога]+ [агогЬ]+ (Ь"тт)а+ (аЧ)Ь, (27) гле а(ЛХ) и Ь(ХтХ) — векторные поля. ы Согласно правилу (10) имеем (28) 8габ(аЬ) = ч (аЬ) + '7(аЬ).

Перепишем формулу [р[цв]] = с1(рн) — я(рг1) в виде н(рц) = [р[вц]] + + (рв)с1. При этом мы переставили сомножители в произведении [г1в], изменив знак векторного произведения. Запишем с помощью этой формулы второе слагаемое в (28): 17(аЬ) = [а[17 Ъ]] + (а ч ) Ь = [а го! Ь] + (а ч)Ь. (29) Аналогично пля первого слагаемого в (28) имеем тт(аЬ) = ту(Ьа) = [Ъ[туа]]+ (Ьч) а = [Ьго1а] -!- [ЬМ]а. (30) Складывал (29) и (30), получаем формулу (27). д Задачи и упражнения дня самостоятельной работы 1. Найдите и нарисуйте линии уровня скалнрного полн и = (х — у)з.

Вычислите и начертите вектор йтай и в точках А( — 1, Ц и В(1, Ц. 2т 21 2. Найдите линии уроннн скалярного поля е = е~*тн т" ! и нарисуйте линии уровни и(х, у) = е и и(х, у) = сиз. Вычислите и начертите вектор йгас! и в точках А(1, Ц, В(2,0), С(1, — Ц. 3. Найдите и нарисуйте линии уровня скалярного полн и = тгйн(, у). Вычислите и начертите вектор йгач1и в точках А(2, Ц и В(1, 2). 4. Найдите векторные линии: ье е) кулоновского поля Е = — 'г точечного заряда е, находящегося в ,.3 начале коорпиват; б) векторного поля а = [с г], гле с †.

постоянный вектор, г = х 1-1- ут + + е 1с; в) векторного поля а = — а~у1Ч-6~ха (а и Ь вЂ”. числа); г) векторного поля а = х1+ уз' + 2з 1с. 5. Вычислите производные скалярного поля и = х Ч- у в точке М(1, Ц а 2 по направлениям векторов!~ = (1; Ц, 1е = (О; 1), 1з = ( — 1; 1). Найдите нгес! и в точке ЛХ и сравните [йгас] и[ с найденными значениями производных по направлениям векторов 1ы 1и !з. Гл. ХК Скалярные и оентпорные поля 400 6. Найдите градиент скалярного поля а) и = хзуг в точке ЛХ(1,.2,3); б) и = (х — у)(у — г)(г — г) в точках ЛХз(1, 23), ЛХг(3, 1, 2), Мз(23, Ц; в) и = (х — 1)(у — 2)(г — 3) в точке ЛХ(2,3,4).

7. В каких точках градиент скалярного полн и = х -~- уз + гз — Зхуг а) перпендикулнрен оси Ог; б) параллелен оси Ог? 8. В каких точках градиент скалнрного полн и = хг + уг — 2ху: а) перпендикулярен прямой у = х; б) равен нулю? 9. Найдите угол между градиентами скалнрного поля и = . . . в тг 4 уг ! гг точках ЛХ(1, 2,2) и ?У( — 3, 1,0).

19. В каких точках выполнено равенство ]Згас?!и — = 1, если 1 т г 1 г 11. Дока!ките, что: а) Згаг! т = —; б) Згае! — = — —; в) Згаг1з!пт = т г = сает —, где г = хг+у1+як, т = [г[. Укажите скалярные патен- т г г г 1 г пиалы векторных полей —, — —, — сает, г,.з ' т ' т'г ' 1 Ь г, г , т 12. Докажите справедливость формул (и, о скалярные поля) а) Згаг?(и + о) = Згаг1и -!- Згае1о; б) йгаг1 — ' = и, ецгае!и — илгадо о ог в) Згаг! Х(и) = Х'(и)бгаг1и; т) йгаг1 Х(и,о) = — Згайа-~- — Згае1о.

дХ дХ ди до 13. Найдите Згаг1(сг) и Згаг?(и(сг)), где и скалнрное поле, с - посто- янный вектор, г = х1+у1+ г14. 14. Для скалярного поля и = и(х, у) найдите Згае(и, если функдия и(х, гу) определяется неявно уравнением: а) и — Зхуи = а; б) х+ у+ и = е"; в) х+ у+ и = е 16. Найдите дивергенцию векторного поля а, если: а) а = (х — у)(у — г) г+ (у — г)(г — х)1+ (г — х)(х — у) 14; б) а = (у + г )(х + у) г + (г + х )(у+ г)1+ (х + у )(г + х) 14; в) а = (х'+ уг)(у — г) 1+ (у + г')(г — х)1+ (г + хг)(х — у) 14; г) а = Х! (у, г) г + Хг (х, г) 1 + Хз(х, у) 14; д) а = [х + Х!(у, г)] г + [у + Хг (х, г)] 1 + [г + Хз (х, у)] рй! е) а = хХг(у, г) 1+ уХг(х, г)1+ гХз(х,у) 14.

16. Вычислите: а) йтк г; б) йк —; в) йг(те г), где г =хе+ у1+ е1г, т = ]г]. 17. Найдите минимальное значение дивергенции векторного полн а = = (х — аИу — Ь)г16 (у — Ь)(х — а) 1. 18. Докажите справедливость формулы: а) йз (а+Ь) = йча+ йхЬ: б) йх(ис) = (сбгади), где с —. постоянный вектор. 19. Использун формулы (21) н (1Ц из 3 1, преобразуйте: а) йз(тс); б) йг(т~с)! в) йх(Х(т)с); г) йг(Ъ(га)); д) йг(г(га)); е) йет[сг]; ж) йг[а[гЬ]]; где г = х1+ у1 ф 14, т = ]г], а, Ь, с постоянные векторы.

Ь Х. Дифференциальные операции 401 20. Твердое тело вращается вокруг оси ОХ с постоянной угловой скорас тью 22. Векторные поля скоростей р(ЛХ) и ускорений аг(ЛХ) определяются формулами г(лх) = [и2 г), и2(лх) = [со [со г)), где ис = ы 1с, г = Олх радиус-вектор точки М. Вычислите сйр р(М) и д!р из(ЛХ). 21.

Найдите дивергенцисо гравитационного поля, создаваемого конечной системой точечных масс гпс, гас, ..., ги„. 22. Найдите дивергенцисо электрического поля, создаваемого конечной системой точечных зарядов ес, е2, ..., е,. Р. 2. Х 23. Найдите ротор векторного поля а = — 2+ — 1+ — 1с: х р а) в произвольной точке ЛХ(х, р,з); б) в тачке А( — 1, — 1, — 1). 24. Найдите ротор векторного паля а) а = рзг-~-зхз+хр!с; б) а = р2222+ 2хзузз 4-Зхр~зз 1с: в) а = р22-~-2(х -~-2р) 1+ р(х -~- р) 1с; г) а = — 1 — — 1с, р .

х2 х р . ! . р д) а= — 1 — — 1; е) а= — 1с — — 1. х2 х Х2 х 23. Найдите ротор векторного поля а в точке ЛХ(1, 1, 2), если: а) а = р222 -~-х!с; б) а = р221+ Х1; в) а = рх (с-~-хс. г г 28. Вычислите: а) гоь гг; б) гаь —; в) гог —; где г = х 2-~- рз ф 21с, 2. = [г[. г' „з' 27. Используя формулы (22) и (24), преобразуйте: а) гоС(гс)а; б) го!(гс); в) гоь Х(г)с; г) го![с. Х(г) г[; где а векторное поле, г = х1-!- р ! 4- 2 1с, г = [г[, с -- постоянный вектор. 28.

Для произвольных векторных полей а. Ъ, с и произвольного скалярного поля и дока2ките двумя способами (с помощью оператора Гамильтона и в прямоугольных координатах) справедливость следующих формул: а) (а 42)иЪ = Ь(аь2и) -~-24(а42)Ь; б) (с 42(аЪ)) = (а сгЪ) -1- (Ь (с 42)а); в) (сT)[аЬ) = [а (сьт)Ь[ — [Ъ (сьг)а); г) ([аЬ) го!с) = (Ь. (а!а)с — (а-(Ььг)с). 29. Пусть а и Ь векторные поля. Х(окажите, что вектор (Ьс')а есть производная векторного поля а по направлению вектора Ь, умноженная да на модуль вектора Ь: (Ь22)а = — [Ь[.

дЬ 30. Ланы векторные поля а = р2112Х1~ хр)с и Ъ = Хх1! Хр)4 р21с. да дЬ Вычислите векторы (Ь22)а и (аьт)Ь и найдите —, и — (производную дЬ ди поля а па направлению вектора Ъ и производную поля Ь по направлению вектора а). 31. Вычислите производные вектораого полн а = хрс+ рз !+ Хх!с по направлениям векторов 14 = 1, 1 = 1+2, 12 = 1+ )с, 14 = 4+ ! + 1с Вычислите также векторы (12 42)а, (1242)а, (!242)а, (14T)а.

32. Покажите, чта дифференциалы скалнрного поля и векторного поля могут быть записаны с помощью оператора Гамильтава в виде ди = (Н г Ь224) = (и г 22) и, да = (д гх2)а, где Н г = ссх 1+ др ! + Хх 1с. ЗЗ. Нестационарнае пале температуры точек плоскости Охр задана фар- 24 2 42 мулой Т = Тес Ы ь" а ! (Х . время). Частица движется по траектосоег . Мпс . рии г(!) = 2+ 1 (г(!) —. радиус-вектор частицы). Вычислите локальную, канвективную и полную производные по времени температуры частицы. Гл.

Х1г. Скалкркыв и векторные поля 402 34. Нестацнонарное электрическое поле а пространстве задано формулой йе Е = — гч-Аев1есет 1, г = гс-~-ул-~- 1с; т = [г[, 1 время. сз Вычислите векторы локальной, конвектненей н полной производных по времени поля Е в точке, движущейся по винтовой линии гО) = = осеет с+ Ьсйпт З+ 611с. 35. Пусть ч[г,сю л, Ц нествцнонарное поле скоростей патока жидкости.

Характеристики

Список файлов книги