В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Конвективныо производные характеризуют неоднородность полн в данный момент времени. — = — + (трвлХи) = — + (т ии) = — + (и сл)и. (15) осл ди ди ди М дс дс дс Аналогично, если в области С задано нестационарное векторное поле а(х,у,е,1), то длл движущейси точки ЛХ(х(1),у(с)лх(1)) векторнан величина а является сложной функцией й а(х(1), у(1), х(1),1). Полную производную по 1 для каждой координаты вектор-функции а люжно вычислить по формуле (15). Умножая результаты на базисные векторы и с, к и складывал, получим 41. Дифференциальные операции 393 Контрольные вопросы и задания Примеры решения задач 1.
Найти и нарисовать линии уровня скалярного поля и = хр. Вычислить и изобразить на чертеже градиент этой функции в точках (1, 1) и (1, -1). Ь Линии уровня функции и, = хр задаются уравнением хд = С, где С произвольная постоянная, т. е. представляют собой семейство 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Лайте определение скалярного и векторного полей и приведите примеры физических полей. Что такое поверхности уровня? Напишите уравнение семейства поверх- ностей уровня электрического полн точечного зарнда, находящегося в точке ЛХ(хо, ро, зо). Что такое векторные линии'? Напишите их уравнения в различных формах. Дайте определение производной по направлению для скалярного и нек- торного полей.
Как свнзана производная по направлению с частными производными? °, „„„„„, ц„ А(0, О, О) по направлению: а) оси Ох; б) оси Ор; в) вектора 1 = (1, 1, 1). Лайте определение градиента скалярвого поля. Каь связана производная по направлению 1 с градиентом скалярвого поля в данной точке? Для скалярного полн из задания 5 найдите Кгаби в точке А(0,0,0). Сопоставьте направление 8гас1и с указанными в задании 5 направле- ниями и значение ~деве?и(А)) с производными функции и в точке А по этим направлениям. Какое векторное поле называется потенциальным? Приведите примеры потенциальных полей. Дайте определение дивсргенции векторного поля.
Каков физический смысл дивергенции'? Чему равна дивергенция электрического поля точечного заряда? Дайте определение ротора векторного полл. Каков физический смысл ротора? Какое векторное поле назынаетсн безвихревым? Приведите примеры безвихревых полей. Какое векторное поле называется соленоидальным'? Привелите примеры соленоидальных полей. Что такое скалярный потенциал; векторный потенциал? Напишите систелчу уравнений 51аксвелла.
Какое из уравнений 51аксвел- ла выражает факт отсутствия магнитных зарялов? Что такое оператор Гамильтона' ? Запишите с помощью оператора Гамильтона: а) градиент скалнрного по- ля; б) дивергенцию векторного поля; в) ротор векторного поля; г) фор- мулы для производной скалярного и векторного полей по ваправлению 1. Используя правила вычислений с оператором Гамильтона, докажите, что сйт[аЪ] = 1Ъгоьа) — (агоьЪ).
Что такое полная производная; локальная производная; конвективцая производная? Что опи характеризуют и каким соотношением связаны? Гл. ХК Скалярные и оекторные поля 394 гипербол д = —, а также две прямые, х = О и д = О (рис. 75).
Далее, С х 8гас1и = у1+ х3, 8сас1и~сц =1+3, 8гас1и~ь О = — 1+3. На рис. 75 видно, .что в указанных точках Влади перпендикулярен линиям уровня, проходящим через точки. В точке (1, 1) функция и = хд быстрее всего возрастает в направлении от начала координат по биссектрисе 1 квадранта, и скорость ее возрастания в этом направлении равна ди — (1,1) = (8гас1и~~с Π— — х?2.
Рис 75 В точке (1, — 1) функция и = ху возрастает быстрее всего в направлении к началу координат по биссектрисе 11с квадранта, и скорость ее возрастания в этолс направлении также равна сХ2. д 2. Найти градиент скалярного поля и = хуа в точке ЛХ( — 2,3,4). Чему равна в этой точке производная поля и в направлении вектора а = (3, -4, 12)? 21 Согласно определению градиента имеем Вгас1и(ЛХ) = ~ †(ЛХ), †(ЛХ), †(ЛХ)~ = (ух,хг,ху)лсс-щз,л> = (12, — 8, — 6). Далее, единичным вектором, сонаправленным с а, является вектор а 1 1 = — = — (3, — 4, 12). По формуле (8) получаем (а! 13 — '(ЛХ) = — 12+ †. 8 — †.
6 = — —, а ди 3 4 12 4 д1 12 13 13 13 3. Найти векторные линии векторного поля а(ЛХ) = 8гадио где 'а = хдж сс Для векторного поля а(ЛХ) = 8гас1и = де1+ ех3+ ту1с уравнения (5), определяющие векторные линии. имеют вид — — — или хс1х = ус?у и ус?у = ась, с1х с?д Ие дх хе хд откуда — =д ЛС, (17) 2 2 е — = — + Сз. 2 2 Уравнения (17) и (18) определяют два семейства гиперболических цилиндров с образующими, параллельными соответственно оснм О и Ох, а также (при Сс = Сз = О) две пары плоскостей, х = ху и д = хх. (18) ХХ.
Диффереициальяие операции Любая векторная линия полл а(ЛХ) явлнется линией пересечения двух поверхностей, получающихся из семейств (17) и (18) при некоторых фиксированных значениях С1 и Сз, Например, при С1 = Сз — — 0 линия пересечения плоскостей х = = д и д = - представляет собой прямую, проходлщую через начало координат. Ее уравнения имеют вид х = д = з.
В точках этой прямой вектор поля есть а(ЛХ) = Ххз,хз,хз). А 4. Найти градиент сферического скалярного поля и = р(г), г = '*гтР+Р( ..- ° ----е- -- (,ю,*) до начала координат). Ь Согласно определению градиента имеом 8га~йря = ~ — <ргг), —,'ргг), — р(г)) = ( д д д 1дх ' дд ' де = (р'(г) —,:р'(г) —, р'Я вЂ” ) = р'(г) —. Отметим, что из соотношения а = ,'р'Я вЂ” = 8гас1;рЯ следует, что векторное поле а = р'(г) — валяется потенциальным, а функция р(г) — — его потенциал. А С г 5. Доказать, что кулоновское поле а = — — (С = сопят) потенции г ально, и найти его потенциал.
С г Л Нулоновское поле а = —, . — является частным случаем потенциальге г г ного поля р (г) —, рассмотренного в предыдущей задаче и имеющего своим потенциалом функцию ~р(~ ). Поэтому, полагая р (г) = —,, нас ге ' С ходим р(г) = — — + Сы где Сг произвольная постоянная. г Итак, кулоновское поле потенциально и представимо в виде С г а = — — = бган р~т)„ .г г С где фт) = С1 — — его потенпиал. Отметим, что потенциал любого векторного потенциального поля определен неоднозначно .- с точностью до постоянного слагаемого. Это слагаемое не влияет на координаты векторного поля, получающиесн дифференцированием потенциала, и может быть выбрано любым удобным образом, исходя из дополнительных соображений. А 6.
Найти дивергснцию векторного полн а = х 1+ дз з + зз 1с в точке ЛХ( — 2,4,5). Ь Согласно определению дивергснции векторного полн а = 1Р, Я, ХХ) Гл. ХК Скалярные и оектпорные поля 396 находим с11е а(ЛХ) = — (ЛХ) + — (ЛХ) + — (ЛХ) = дР дЯ ддХ1 = (1+ 2у+ Ззз)м1 з лл1 = 1+ 8+ 75 = 84. а 7. Найти дивергенцию сферического векторного поля а = Х(т) г, г = х1+ уд+ з (с, т = ~г~. Определить вид функции Х Я, для которой поле а являетсл солсноидальным. ~ данное поле в координатах имеет вид а = Х(т) г = (Х(т) х, Х(т) 'у,.
Х(г) з). Согласно определению дивергенции находим с1гр а = — (Х(т) х) + — (Х(т) у) + — (Х(т) з) = д д д дх ду ' дл е е 2 = Х(т) — + Х Я + Х' Я вЂ” + Х (т) + Х(т) — + Х Я = Х'Я т + 3 Х(т). Из условия соленоидальности сйз а = 0 следует, что Х'(т)г + ЗХ(т) = О. Далее, разделяя переменные, имеем 4Х Зй т После интегрирования получаем 1п ( Я = — 3! и т + 1п С, 1 3 д д дх ду хз = л (2у — 0) -Ь1 (2х — 0) -Ь 1с (2х — 0)м = = 41+ 61+ 21с. а соса(ЛХ) = 9. Найти ротор сферического векторного полн а = Х(т) г, г = = х1+ уз+ з1с, г = ~г(. Ь Запишем данное поле в координатах: а = ХЯг = (Х(т)х, ХЯу, Х(т)з). По определению ротора находим 1 т 1с д д д дх ду де Х(т)х Х(т)у Х(т)з = 1( — ХЯ вЂ” — Х( )у)+ д д гоФа = С откуда Х(т) = †,, где С произвольная постоянная.
те Итак, дивергенция сферического векторного полл а = ХЯ г равна С нулю только в том случае, если Х(т) = —, т, е, только в случае куС пановского полн а = — г. Это поле явлнется соленоидальным в любой области, не содергнашей начала координат. а 8. Дано векторное поле а = за 1 + хз3 + у" 1с. Найти гота в точке ЛХ(1, 2, 3).
Ь Согласно определению ротора имеем Х д Диффереициальиьсе операции 397 +1( — ХЯх — — Ягт)з) + 1с( — Х(т)у — — Х(т)х) = д д д д = 1ХЯ(д — — д) +) ХЯ( — — — ) + 1с Х'Я( — — У ) = О. 1,) д д дх ду Ь, Ь д дс 0 дЬо .
дЬс . ХдЬц дЬс т = — — 1+ — 3-ь (= — — /1с = Рс+ Яз+ Л1с, д. д: ~ дх ду / откуда дЬ. == — Р, .— =сХ, дЬс дс ' да — ' — — ' = Л. дх дд Интегрирун первые два уравнения (19), находим (19) ло Ь =-/Р1хру, )да+Их,у), ло где зо аппликата какой-нибудь точки 1хо,уо,зо) Е С, а со1х,д) и ф1х,у) произвольные функции.
Положим ф1х,д) = О, а функцию у(х,у) выберем так, чтобы выполнялось третье равенство (19), т, е, — / — 1х,у,з) с)з+, ' — / — 1х,у,з) Ж = Л(х,д,з). (20) т дР ду(х,у) т дЬХ дх ' ' дх дд зо со Покажем, что такой выбор функции цех,у) возможен. Действитель- дР дС1 дХС но, учитыван равенство — + — = — — 1оно следует из условия дх дд дл сйъ а = 0), получаем из 120) — = Л1х,у, з) — / — 1х,у, з) сЬз = дх ' ' ./ дл ло = Л(х,у.,х) — ГЛ(х,у,з) — Л(х,у,зо)! = Л(х,у,зо), откуда ргх,у,з) = /Лсх,д;зо) сЬ' хо Итак, ротор любого сферического векторного поля равен нулю, т. е. сферическое векторное поле является безвихревым. А 10.
Векторное поле а(ЛХ) соленоидально в области С. Доказать, что его можно представить в виде а1ЛХ) = гоСЪ1ЛХ), и найти векторный потенциал БАЛХ). дР й Пусть а = РЬх,у,з)1+ХАМ(х,д,з))+Их,д,з)1с и сйта = — + дх дЬХ дЛ + — -~- †. Будем искать векторный потенциал поля а1ЛХ) в виде ду дл ' Ь = Ьс1х,у,.х) 1 + Ьз1х,у,з)Л. Из условия гоЬ Ь = а получаем Гл. ХК Скалярные и оекпсорные поля 398 Итак, искомый векторный потенциал Ь(ЛХ) имеет координаты х дг = / с,)(хч д, х) сХз, Лз = — ~Р(х., р, х) с(х + ~й(х, р., хо) сХх, Лз = О. А ео хо хо 11. Пусть и(ЛХ) и о(ЛХ) скалярные полн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
