В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Поверхностные интегралы второго рода зеь гу Проекцией данной части конуса на плоскость Охд является круг С: хл + дг ( 1. Пользуясь формулой (9), сведем поверхностный ин- теграл 1 к двойному интегралу; 1 = — ЦеЬ е1д. Так как Ц е1хе1д = =Я(С) =л, то 1=-л. А с с 2. Вычислить поверхностный интеграл второго рода 1 = Цд г1х елх, где Ф верхняя сторона части параболоида х = хг + дг при 0 < г < 2. Ь По формуле 1Ц вычислим вектор нормали, определяющий верхнюю сторону данной поверхности: 1н = 1 — 1,1х,д), — 1, 1х,д), 1) = ( — 2х, — 2д, 1). Отсюда следует, что для единичного вектора п(ЛХ) = = 1соао, соа,З, сов "Д верхней стороны справедливо равенство 1 — 1 при д>0, а8п соа,'31М) = ~ 1 при д<0. Разобьем данную поверхность на две части, описываемые уравне- ниями д = игх — ха при д > 0 и д = — у1х — хг при д ( О. Обе части поверхности 1обозначим их соответственно Фг и Фг) проектируются на область С плоскости Охх, граница которой состоит из дуги пара- болы х = хг и отрезка прямой г = 2, т.
е. С = 11х,х): — уГ2 < х < < ./2, ха < х < 2). Сведем поверхностные интегралы по Фг и Фа к двойным интег- ралам по области С подобно тому, как это было сделано при выводе формул 18) и 19). Получим Цдд л Ц,1 )л,1 ~~,/ гл лх Фг с с 1здесь перед двойным интегралом стоит знак минус, так как соа~31ЛХ) < О) и, аналогично, Ц д г1х е1х = Цд(х, ) е1х е1х = Ц вЂ” ь1 — хг е1х дх, г с с Таким образом, имеем Л=Ц "'=Ц: Ц' =-'Ц:х' '* Ф Фг фг с Двойной интеграл вычислим с помощью повторного инты рированин: .Л гЛ2 1 = — 2 / е1х/ — сЬ = — 2 ~ — ~~ — х )'г ) о = г 2 гзгг — Л гг — г г = — — / 12 — хл)з1г Нх. — 3 — Л Используя замену переменной х = у'2яп1, — лгг2 ( 1 ( лгг2, оконча- тельно получаем 1 = — — / 2зггугг2соа'1(й = — 2л. Л 4 г з — гЛ Гл.
ХЛг. Поверхностные интегралы 366 3. Вычислить поток П вектора а = хэ(+ уз,) + хз)с через внеш- нюю сторону сферы (х — а)э + (у — Ь)з + (х — с)э = Лз. Ь Согласно определению потока требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода Н О (хз соз сг Ф уэ соэ Д + хэ соз у) в(С, где Ф --- внешняя сторона данной сферы. Находим яектор нормали М по формуле (7) из 8 1: )ч( = (2(х — а),2(у — Ь),2(х — с)). Единичный (х — а р †с — с1 вектор нормали и = ~ —,, — ~ определяет внешнюю сторо- Л' Л' Л1 пу сферы. учитывая это, перепишем интеграл в виде ~~( э~ — а ау †эх †) и вычислим его по формуле (2) из 8 2.
Для этого запишем парамет- рические уравнения сферы: х = а+ Л сов и эгп и, у = Ь+ Л 61п о зш и, *=.+яв «,Ол л,в~ лу .т «чвв — Р =я Эв в П = ~ г(и~Л~вши [(а+ Лсозоэши) созиэши+ о о + (Ь+ Лвшиэши) эшиэши+ (с+ Лсоэи) соэи~ Ли = л Зв в = Лт~ 2аЛсозэ иди / ашзиди+ Лз~ 2ЬЛ61гг п / эшзив(и+ о о о о зв л 3 + Л ~ 2сЛг1и ~ соз о вши Ии = (а + Ь+ с). а з г, г з . 8пЛ 3 о о Задачи и упражнения для самостоятельной работы 16. Вычислите поверхностный интеграл второго рода: а) Охдуах Ч-удэй Ч-хдхду, где Ф внешнян сторона сферы хе Ч- е Фу Фх =а~; 6) О1(х) зуав Ч-д(у) л аЬх Ч. Ь(х) ахну, где Ф внешняя старова параллелепипеда О ( х ( а., О ( у ( Ь, О ( х ( с; 1(х), д(у), Ь(в) непрерывные функции; в) ~~~(у — л) ау ~Ьх + (х — х) ахах + (х — у) ах ау, где Ф -- нижняя сто- Ф рона части конической поверхности - = ° 'хе -~- уэ при О ( х ( Ь; г) Д( Ф ~ Ф ' т)ав, где Ф внешняя сторона эллипсоида сову совт х у хэ уэ — — — = 1.
ае Ьэ сэ 367 У'Х. Фариула Стокса 17. Вычислите поток вектора а1М) через ориентированную поверхность Ф, если: а) а7ЛХ) = х)-~- уз Ф х1с, Ф нижняя сторона части конической поверхнестн - = „/хэ + уз при 0 ( х ( Л; б) а7М) = х1+ у 1+ х К Ф - верхняя сторона основания этого конуса, т. е. Ф = ((х, у, х): х = 1Ь хз -1- уз ~ (й~).; в) а1ЛХ) = ух 1 6-хх) -~- лук, Ф внешняя сторона части цилиндрической поверхности хз + уз = аз при 0 ( х ( 1Н г) аГМ) = ух1+ хх1+ ху1с, Ф -- внешвяя сторона границы тела 11х,. у, з): хз -~- уз ( а~, 0 ( з ( Л); д) агМ) = х1+ уз+ х1с, Ф верхняя сторона части поверхности х = = 1 — „Хх'+ уз прн 0 ( х ( 1; е) а1ЛХ) =х 1+ у~)+ хек, Ф верхняя сторона части сферы ха+ у + + э~ = 1 прн х 3 О, у 3 О, з 3 0; ж) аГЛХ) = у1+ г)-1- х1с, Ф -- внешння сторона поверхности пирамиды, ограниченной плескестнми х -1- у Ф х = а, Га ) О), х.
= О, у = О, х=О; з) а1ЛХ) = хз1 туз,1 ж э~1с, Ф вЂ” внешняя сторона сферы х -~- у + +х =х О 4. Формула Стокса Основные понятия и формупы 1. Согласование ориентации поверхности с направлением обхода ее границы. Пусть Ф ориентированная поверхность, ограниченная замкнутым контуром Х,. Введем явлахситвльнае направление обхода контура, согласованное с ориентацией поверхности: если наблюдатель находится на выбранной стороне поверхности 17. е.
направление от ног к голове совпадает с направлением вектора Рис. 67 Рнс. 68 нормали), то при обходе контура Х, в положительном направлении он оставляет поверхность слева от себя (рис. 67). Если граница поверхности состоит из нескольких замкнутых контуров, то для каждого из них положительное направление обхода определяется таким же образом (рис. 68). Гл. ХГг'. Поверхностные интегралы Поверхность Ф называется хуг-проектируемой, если она однозначно проектируется на каждую координатную плоскость прямоугольной системы координат Охуг. Такую поверхность можно задать с поместью любого из следующих уравнений; г = з(х,у), (х,у) с Сг, х = хггр,х), (У,г) С Сг,' (1) у = у(з,х), (г,х) Е Сз. Примером такой поверхности является часть плоскости, изображенная на рис.
69. 2. Формула Стокса. Теорема 3. Пусть гладкая хугРис. бв проектируемая ориентированная поверхность Ф ограничена кусочно гладким контуром Л и раслолагкена внутри области С, в которой функции Р1х, у,л), ()(х, у,з), Их, у,г) илгеют непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула )""' " "" =.05;--'— ',)" "" А Ф +~ — — — ) йгйх+ ) — — — ) йхйу, (2) гдР дйх гдЯ дрх ~,дг дх) ) дх ду) где контур Т. обходится в положительном направлении. Эта формула называется формулой Стокса. Она выражает криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру Ь через поверхностный интеграл второго рода по поверхности Ф, ограниченной контуром Ь. 3 а м е ч а в и е 1. Формула Стокса остается справедливой, если поверхность Ф не является хуг-проектируемой, на ее можно разбить кусочна гладкими кривыми на конечное число хуг-праектируемых частей.
3 а м а ч а в и е 2. Формула Стокса справедлива и в там случае, когда поверхность Ф является плоской областью, параллельной какай-либо координатной плоскости (такая поверхность ие является хуг-праектируемай). Пля такой поверхности формула Стокса переходит в формулу Грина.
Например, если поверхность Ф параллельна плоскости Оху, та вектор нормали п = 10.,0,1), ~Ва = О, и из равенства (2) получаем формулу Грина Т ' ге'ав ИТ вЂ” Р)4™ ь Ф 3 а м е ч а н и е 3. Если граница поверхности Ф состоит из нескольких контуров, то формула Стокса остается в силе. Нри этом в левай части формулы (2) нужна записать сумму- интегралов па всем контурам, прабегаемым в положительном направлении.
э4. Формула Стокса збу 3 а м е ч а н и е 4. Отметим, что третье слагаемое в правой части формулы Стокса представляет собой правую часть формулы Грина. Два первых получаются нз него циклической перестановкой переменных х, у, г н функх Пнй Р, СЗ, Л. — УЛ Я. (4) 3. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве. Для криволинейных интегралов второго рода в пространстве справедлива теорема об условиях независимости их от пути интегрирования, аналогичная теореме 6 из гл.
Х111. В этой теореме будет использовано понятие поверхностно односвязной области. Определение. Трехмерная область С называется поверхностно односвязной, если для любого зачикнутого контура В, лежащего в С, внутри области С найдется поверхность, ограниченная контуром Ь. Примерами поверхностно односвязных областей являются: шар, область, заключенная между концентрическими сферами; примером поверхностно неодносвязной области служит тор. Теорема 4. 1'. Пусть функции Р(х, у, г), Я(х., у, г), Их, у, х) непрерывны е области С. Тогда следующие три условия экеие лентны (т.
е. из каждого из них следуют деа другие). 1. Для любого зал~кнутого кусочно гладкого контура В, расположенного е области С, справедливо равенство Рйх+ Яду+ Лдг = О. ь 11. Для любых двух то щк А и В области С криволинейный интеграл / Рдх+ Цау+ Лд» не зависит от пути интегрирования, расположенного е области С.
111. Выражение Р(х, у, г) йх + Я(х, у, г) ду + Л(х, у, г) дг является полным дифференциалом, т. е. е области С существует функция и(М) = и(х, у, г) такая, что ди = Рдх+ Яду+ Лдг. При этом для любой кусочно гладкой кривой АВ, лежащей в С, имеет место равенство / Рдх+ 11 ду+ Лдг = и(В) — и(А). Р) лв 2'. Пусть С вЂ” поверхностно односелзная область, а функции Р, Я, Л е области С имеют непрерывные частные производные первого порядка. Тогда каждое из условий 1-1П эквивалентно следующему условию. 1Ъ'. В области С выполняются равенстоа дР до дЛ д(;> дР дЛ ду дх ' ду дг ' дз дх ' Гл. Х?Р. Поверхностные интегралы 370 Замечание. Функция и(х, у, г) из условия КП может быть найдена па формуле (*,к ( и(х, у,г) = / Рйх+ Яе)у+ Ле)г = Ыо* ло е( е л = /Р (х, уо, го) с)х ч- / ()(х, у; го) 0у -ь / Цх, у, г) (?г + С.
(б) го ио го Здесь (хо, уо, го) какан-нибудь фиксированная точка, С вЂ” произвольная постояннан,и в качестве кривой интегрирования взята ломаная, отрезки которой параллельны осям координат. Контрольные вопросы и задания 1. Как вводится положительное направление обхода контура, согласованное с ориентацией поверхности, ограниченной этим контуром? 2. Пусть на сфере х' + у~-Ь г' = 1 выбрана ее внешняя сторона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
