В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Гладкап поверхность Ф в каждой внутренней точке ЛХ имеет нормаль ГЧГ(ЛХ), причем существует окрестность этой точки, вырезающая часть поверхности, на которой поле нормалей непрерывно. Если можно задать векторное поле нормалей, непрерывное на всей поверхности, то такая поверхность называется двусторонней. Поверхность, на которой не существует непрерывного векторного полн нормалей, называется односторонней. Двусторонняя поверхность Ф характеризуетсн следующим свойством; длн любой точки ЛХ й Ф и для любого замкнутого контура, проходящего по поверхности Ф и не пересекающегосн с границей поверхности, выбранное в точке М направление нормали, непрерывно меняясь при движении точки по контуру, не изменит своего направления (на противополоясное) при возвращении в то щу ЛХ.
На односторонней поверхности существует такой контур, при обходе которого направление нормали изх|енится на противоположное. На каждой двусторонней поверхности можно задать два непрерывных ноля нормалей, противоположных по направлению: ГзГ(ЛХ) и — ГЧГ(ЛХ). Выбор одного из этих полей называетсн выбором стороны поверхности. Таким образом, двусторонняя поверхность имеет две стороны. рЖ Поверхностние интеграла второго рода 361 Двусторонние понерхности называются также оривнтирувмыми, а выбор определенной стороны (выбор поля Х(ЛХ) или — 1н (ЛХ)) называется ориентацией поверхности.
Например, плоскость, сфера, гиперболоиды двусторонние поверхности, лист Мебиуса односторонняя понерхность. На рис. 66 изооражен лист Мебиуса и указан контур, при обходе по которому направление нормали изменяетсн на противоположное. Если поверхность задана уравнением г = = Х(х,у), где функция Х(х,у) непрерывно дифференцируема, то па верхней стороне поверхности непрерывное поле нормалей можно задать вектор-функцией ~(ЛХ) = (-1,(ЛХ).
-1„(ЛХ), Ц, (~) на нижней стороне вектор-функцией — ~(ЛХ) = (Х (ЛХ),Хн(Л1), — 1) (2) и . ав Если гладкая двустороннян повсрхвость задана параметрически, то на одной ее стороне непрерывное поле нормалей можно задать вектор- функцией ~л~ = (А,В,С), а на другой .—. вектор-функцией — Х = ( —.4, — В, — С). Понятия двусторонней и односторонней поверхности люжно ввести и для кусочно гладких поверхностей. Примером кусочно гладкой двусторонней поверхности является поверхность параллелепипеда.
2. Определение поверхностного интеграла второго рода. Пусть Ф вЂ” гладкая или кусочно гладкая ограниченная поверхность. Выберем одну из со сторон, определяемую полем нормалей М(ЛХ). Пусть о(М), 3(ЛХ), у(ЛХ) --- углы, которые вектор ~л~(ЛХ) составляет с осями координат, и пусть на поверхности Ф заданы три функции Р(М), Я(ЛХ), й(М). О п р е д ел е н и е. Поверхностные интегралы первого рода 11 = ОР(ЛХ) созе(М) ЙЯ, 1г = ~~бХ(М) созЯЛХ) ЙсХ, Ф Ф (6) Хз — ~~К(ЛХ) .; (ЛХ) ЙЯ Ф называются поверхностными интегралами второго рода соответственно от функций Р, Ц, й по выбранной стороне поверхности Ф. Опи обозначаются также следующим образом: 11 — ИР(М) Йу Йг, 12 — ПбХР1) Й Йт; 13 — ЦЯР1) Йх Йу Такие обозначения связаны с тем, что элемент площади ЙуЙг можно рассматривать как площадь проекции элемента поверхности с площадью ЙЯ на координатную плоскостью Оуг, т.
е. Йуйг = ЙЯсозсг Гл. Х1К Поверхностные интегралы 362 (или йуйз = — йЯсова в зависимости от знака сова) и, аналогично,. йейх = й$сов,З, йхйу = йЯсов у. Из определения следует, что поверхностный интеграл второго рода зависит от выбора стороны поверхности. Если взять друтую сторону поверхности, то вектор сч(ЛХ) изменит направление на противоположное; поэтому направляюглие косинусы вектора 1ХУ(ЛХ), а следовательно, и интегралы 1ы 1в, 1в изменят знак.
Сумма 11 + 1е + Хз = ЦР(М) йуйг + Я(ЛХ) йз йх + В(ЛХ) йх йу (4) Ф называется общим поверхностным ингнегралом второго рода. 3. Вычисление поверхностного интеграла второго рода с помощью двойного интеграла. Поверхностные интегралы второго рода (3) по выбранной стороне поверхности Ф являются поверхностными интегралами первого рода соответственно от функций Р(ЛХ) совсг(ЛХ), .с1(ЛХ) сов,д(ЛХ), В(М) совт(ЛХ).
Поэтому на основании теоремы 2, считая, что функции Р(М), Я(ЛХ), В(М) непрерывны на Ф, получаем формулы для вычисления поверхностных интегралов второго рода. Пусть гладкая двусторонняя поверхность Ф задана параметрически уравнениями х = р(и,о), у = ъг(и,и), е = Х(и,о), (и,о) е д, и не имеет особых точек. Выберем ту сторону поверхности, на которой 1н(ЛХ) = (А, В,С).
Тогда, пользуясь формулой (11) из В 1, находим сов се(ЛХ)— А А ,я в сн,Ъе:г" сов,З(ЛХ)— В В г гг' с ее-г'' сов у(ЛХ)— С С гг ТгТс гге — 7 По формуле (2) из в 2 получаем 1у = ЦР(М) сова(ЛХ) йЯ = А =Хуг(гн, угг..е.ге,.в,ге — г, 'ес — г'г.г.= = ЦР(ср(и,и),1б(и,и),Х(и,и))А(и,и) Вийи. (5) Аналогично, Ре = Цсг(ЛХ) сов Х1(ЛХ) йЯ = ЦЯ~р(и, .о), ьб(и, и), Х(и, и)) В(и, и) йи йи, Ф г (6) ХЗ. Поверхностные интеграли второго рода 1з = ЦИЫ) соз у(ЛХ) ПЯ = ЦИ~р(и,и),ьз(и,и),Х(и, и))С(и,и) ПисЬ. Ф е (7) Если гладкая поверхность Ф задана уравнением з = Х(х, у), (х, й) е Е С, и выбРана веРхнЯЯ стоРона повеРхности, т. е.
1х1(ЛХ) = ( — Хл(х, У), 1 -ц*.е,ц, ° Ело= ... ° -ев у-О> нИ~ '" в+л находим 1з = ЦХХ(ЛХ) сов 791) г)$ = =Х)е(г, лс,,з ',, ~ел+Р,'е.ег= а л = )1~ли, й,п* Рз е*ег (е) С 1 Е е» е*' '"", ЗОО=— откуда ~+к~а' 1з — — — ЦИ,.т, у, Х( „р)) еХх е1у. О П = Ц(а, п)<Ь (11) Интеграл (11) называется потоком вектора (евкторного поля) через выбранную сторону поверхности Ф (определяемую вектором п(ЛХ)). В частности, если а(ЛХ) = и(ЛХ) -- скорость течения жидкости в точке ЛХ, .то П = ~~ (ип) дЯ представляет собой поток жидкости через выбранную сторону поверхности (см.
также З 2 из гл. ХУ). Аналогично получаются формулы для вычисления интегралон 1з и 1а, если поверхность Ф задана соответственно уравнением х = х(р,з), (у,.з) б С, и уравнением й = р(з,х), (з,х) б С. 4. Физический смысл поверхностного интеграла второго рода. Запишем общий поверхностный интеграл второго рода (4) в виде П = Ц~Ел(ЛХ) созе(ЛХ) + ЯЛХ) сов(д(ЛХ) + В(ЛХ) сов д(ЛХ)) е1Я.
(10) Ф Направляющие косинусы созе(М), соа,З(ЛХ), соз у(ЛХ) являются координатами единичного вектора нормали п(ЛХ) к поверхности Ф в точке ЛХ. Если ввести вектор а(ЛХ) = (Р(ЛХ), О(ЛХ), В(ЛХ)), то подынтегральное выражение будет представлять собой скалярное произведенис векторов а(ЛХ) и п(ЛХ), а интеграл (10) можно записать в виде Гл. Х?Ь'. Поверхностные интегралы Контрольные вопросы и задания О г?~г?~, где Ф 12.
13. Примеры решения задач 1. Вычислить поверхностный интеграл второго рода 1 = Д г?х г?у, Ф где Ф вЂ” нижнЯЯ стоРона части копУса з = л/хз + Уз пРи 0 ( г < 1. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 Сформулируйте понятие векторного поля. Дайте определение поверхности: а) двусторонней; б) односторонней; в) ориентируемой. Приведите примеры днусторонних поверхностей и односторонней поверхности. Каким характеристическим свойством обладает двусторонняя поверхность; односторонняя поверхность'? Укажите вектор-функцию 'Х?Ъ|), определяющую верхнюю сторону поверхности г = ?? х, у).
Найдите непрерывное векторное поле единичных нормалей, определяющее ннешнюю сторону сферы х = аешисозо, у = нашил?пи, г = а соли, ?и, и) С у = ~?и, и): 0 ( и, ( х, 0 ( е ( 2я). Вычислите координаты единичных векторов нормалей, определяющих нижнюю сторону части конической поверхности - = /хг жуз при 0 < а ( г ( Ь, а, <?л Докажите, что это поле нормалей непрерывно. Сформулируйте определение поверхностных интегралов второго рода. Как они обозначаются? Зависят ли от ориентации поверхности: а) поверхностный интеграл первого рода и его интегральные суммы; б) поверхностный интеграл второго рода? Что такое общий поверхностный интеграл второго рода'? Каков его физический смысл'? Сформулируйте достаточные условия существования поверхностного интеграла второго рода и напишите формулы сведении его к двойному интегралу в случае, если поверхность задана: а) параметрически; б) явно. Вычислите пояерхпостеые интегралы второго рода О Дх г?у, О г?у дг, е Ф внешняя сторона сферы х + у -~- = П.
Выразите поверхностный интеграл второго рода /?сое о -'; соа Д -~- соа "?)?? х, у, г) НЯ через сумму двойаых интегралов, где Ф сфера х -~- у Ф =?? и и?М) = 1созо, соя П, соя?) "- ее внешная нормаль. Вычислите поверхностный интеграл второго рода ? хуудг + уг?гНх + гухуу, где Ф внешняя сторона поверхности куба (?х, у, г): 0 ( х ( 1, 0 ( у ( 1, 0 < г ( Ц. Чему равен этот интеграл, если Ф вЂ” внутренняя сторона поверхности куба? ад.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
