В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение паверхностнага интеграла первого рода. 2. Сформулируйте теорему а существовании поверхностного интеграла первого рода и сведении его к двойному интегралу для поверхности, заданной параметрически. 3. Напишите формулу вычисления поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла для явна заданной поверхности. 4. Пусть Ф материальная поверхность с поверхностной плотностью р1ЛХ). Напишите формулы, по которым для этой поверхности вычисллются: а) статические моменты относительно координатных плоскостей; б) координаты центра тя!кести; в) моменты инерции 1,.„ и 1, относительно плоскости Оху и оси Ог; г) сила, с которой поверхность притягивает материальную точку массы гпв, помещенную в точку Мо/хо, уо, го). 5. Пользуясь формулой 13), вычислите интеграл О 2дЯ, где Ф часть параболоида г = хг + уг при 0 ( - ( 1.
Ф б. Пользуясь формулой ГЗ), сведите поверхностный интеграл О Дх, Ф сфера х -!- у -!- у, 2) дЯ к сумме двух двойных интегралов, если Ф +» =а. Примеры решения задач 1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода 1 = О 2//Я, где Ф вЂ” часть гиперболического параболоида 2 = ху, вырезанная цилиндром хг + уг = 4. г'2 По формуле 13) получаем /= ~~ /1+*,'. +*„'2*ге =/"*г,т-+,-г*+. 2.23, с/ ш где О --- круг 22+ уг ( 4.
Переходя к полярным координатам х = = г сов/р, у = г з!и/р и своди днойиой интеграл к повторному, находим 2в 2 1 = / Пр /гз сов Чсгйп/р эК~ гз Дг = о о 2» 2 = / а//рсовссзш/р ~!"'Я+ ге//г = О. д о о 2. Вычислить интеграл 1 = О у г)Я, .где Ф часть поверхности ци- Ф линдра х = 2уг -!- 1 при у > О, вырезанная поверхностями х = У- + 22, 12" Гл. Х71г. Поверхностные интегралы х=2, х=3. Л Вычислим интеграл 1 с помощью двойного интеграла по области С -- проекции поверхности Ф на плоскость Охх. Для отыскания границы области С исключим переменную д из уравнений х = 2ра + 1 и х = ра + хз; получим 2хз = х + 1.
Граница области С состоит из двух дуг этой параболы и отрезков Рнс. 65 прямых х = 2 и х = 3 (рис. 65). Уравнение поверхности запишем в Гх — 1 виде р = )г ' . Отсюда следует, что Ъ 2 Пользуясь формулой г= Ч Лне +е!г*г*, и получим з игГх — О7з г=11~/'' Н г г =1 — 8* — уг* / г*= и з — нгГх.д ~ / 2 = — 1 ~/В* + — 7 г .
= 1 (* г- — ) — ( — ) г.. = а 2 т а х Ч- 1/16 х 7 7 151з 1 1 а х 7 ха+ — — — — ~ — ) . — 1п х+ — + ха+ — ' — — 1 2 8 8 116г) 2 16 8 8 98Л7 7— 99ъ'3 1'15')з ЗЗ+ 12ъ'6 64иг2 1167 49 Ч- 8иг34 3. Вычислить момент инерции 7е относительно оси Ох однородной сферической оболочки ха + уа + ха = о~, х ) 0 плотности ро. Ь Имеем 7е = ДРо(хз + Рз)сБ. Напишем паРаметРические УРавне- Ф ния данной полусферы: х = асоаиаши, д = аа1поаши, х = осови, эх. Поверхностные интегралы первоео рода 357 О < и < к,г2, О < и < 2к.
По формулам (10) из В 1 находим а з Е = а сов и сов и+ а яп и сов и+ а яп и = а, С = а вш и вш и+ а сов и вш и = а вш и, а ° з ° 2, 3, 2, ° 2, з, з Е = — а сове совившивши+ а, япи сони. совияпи = О, з 2 то-г =" Выразим подыптегральную функцию в переменных и, и; получим х+у=авши. з 2 Вычисляем интеграл 1 по формуле (2); в/в 2е 1: = ро г г а яп и . а яп и гги гви = роа ( вш и сги ( гги = —, кроа а ггз, з з 3 4. Заряд Я равномерно распределен по сфере радиуса Л. Найти напряженность электрического поля сферы в точке А, находящейся на расстоянии г (г ф Л) от центра сферы.
Ь Введем прямоугольную систему координат с началом О в центре сферы и осью Ох, направленной, как и вектор ОА. Пусть Е = = (Е~, .Ез, Ев) - вектор напряженности в точке А электрического поля сферы. Из соображений симметрии имеем Ез = Ез = О и ~Е~ = Еы Поверхностная плотность сг заряда ца сфере равна — т. Вектор па- 12 4кЛ. пряженности, создаваемой в точке А элементом сферы с площадью Ьв, обозначим через л.г = (ЬЕы гт Ея ПгЕз). Заряд элемента сферы равен паз, и по формуле напряженности полл точечного заряда получаем ~ЬЕ~ = — ~ —, где й = —, во диэлектрическая постоянная, ЬгЬв 1 р ' 4кео' р расстояние от точки А(г, О, О) до элемента сферы, заряд которого будем считать сосредоточенным в точке М(х, гб х) этого элемента.
Пусть о угол между вектором лЕ и осью Ох. Тогда 1 ЬЕ~ — — ~ЬЬ'~ сова = Йослвсово р2 ' Вычислим р и сока: , = ~ и $ ~ = ~(- .)' +,':: " = ~ Р + "::Ы* г — х сова = Я + — 2 Следовательно, 7ЬЕ1 = йа 7ЬО'. (Ле + гл — 2гх)еге Пусть сфера разбита кусочно гладкими кривыми на и квадрируемых частей (элементов). Будем предполагать, что диаметр г1, г-го Гл.
ХЛУ. Поверхностные интегралы 358 р я Р)яа — ее Е, = 2ЬУЛ ' с)х — )ту )Л? ' — У )ь)ь — и .~Я2 У? "( г — х Р?яе — ее = 2)соЛ с)х) агсэ?п 1ВР л- ге — 2гхЯР ' 1?УВа: хи ~ — Уяи еи) 2? = 2йо.Лх l ' ?)х = 2 ?В? -?- га — йгх)в)1 2ЬтЛ?г((Л' + и — / (Ла+ 1-а г утх )Нт ' — Р )')' ) ) 'Н РР— Р *)) — и Я У !? га — 2гх) "У~ — — [х(Ла + г — 2гх) — г -и — 2гх) ' ?)х~ ( = 2ЫЛту ( — 1,)а ( 1 1 ~'р — В) ~г -Ь В) 1( В „В 1(( ) Л))~ г )у — В! г-~-В г Отсюда получаем: если г > Л, то Е? — — 2ЬУУ Л. —, = й. —,; 2В ?,') 1.'г ГЕ ' если г<Л, то Е, =2ЬУУ.Л 0=0. Таким образом, сфера, на которой равномерно распределен заряд АУ создает в пространстве вне сферы такое же электрическое поле, что и точечный заряд Я, помешенный в центр сферы. Внутри же сферы электрическое поле равно нулю.
А элемента достаточно мал. Для каждого элемента вычислим величину )лЕ?, составим сумму всех и таких величин и перейдем к пределу при ?? -э 0 (?2 = гяах с?1). В результате получим поверхностный ин1<1<о теграл первого рода Е1 = Ь7 ) с)о. Д 2 (Во+ го — 2гх)в?1 Вор)сияя и нижняя полусферы проектируются на координатную плоскость Оху в один и тот же круг С = (?х, у): ха + уа < Ла) и для обеих ° "УРР )Р Р„= е . ° ' )' Р* л нг Р В Р уР «.у Н Му Р у Руув: Е, =2Ьт В у?х ??у ) )ЛР+"' — У )')' = .и и Вычислим полученный интеграл с помошью повторного интегриования: ру. Поверхностные интегралы первого рода Задачи и упражнения дпя самостоятельной работы 6.
На сколько отличаются друг от друга поверхностные интегралы 11 = О (хг Ф уз+ гг) ао и 1г = ~~(хг ф уг "; гл) г(Я, где Фп сфеФ1 Ф ра х Ф у Ч- г = а, Фг — поверхность октаэдра )х( Ч- )у( Ч- )г! = а, вписанного в эту сферу.' 7. Вычислите интеграл Д~Й'-' — хам, где Ф .
- часть конуса х фу Ф 2 = г, вырезанная цилинцром х + у = а . г г 8. Вычислите понерхностные интегралы первого рода: а) О(хну+э)ЙБ, где Ф полусферах" +у" +гг =а, г>0; б) О (х + уг) аЯ, где Ф граница тела, заданного неравенствами Ф „lхг + у~ < г < 1. в) Π— — ~, где Ф -- граница тетраэдра, заданного неравенстля (1+ х+ у) е вамих-~-уфг<1, х>0, у>0, г>0; г) О ~хуг~ ПЯ, где Ф вЂ” часть поверхности г = хг -~- уг при г < 1: л) ОгаЯ, где Ф часть геликоида х = исаев, у = ияпв, г = о Ф при 0(и(а, 0(и(2п-, е) Ог аэ', где Ф часть конической поверхности х = гсозчэяпо, Ф у = гяп рз1па, г = г сов а при 0 ( г ( а, 0 ( р ( 2л (а > О. а "" постолнная и 0 < а < л1'2); я) (') (ху ф уг -~- гх) НЯ, где Ф часть конической поверхности е Ххг + уг, вырезанная цилиндром хг + уг = 2ах.
О. Вычислите массу: а) части поверхности г = (хг+ уг)/2 при г < 1, плотность которой в точке ЛХ(х,у,г) равна г; б) полусферы х -~-уг+ Ф гг = а, при г > О, плотность которой р(ЛХ) = г)а. 10. Вычислите статистические моменты относительно координатных плоскостей однородной треугольной пластинки х '; у Ч- г = а, х ) О, у ) О, г > О плотности ро. 11.
Вычислите гаомент инерции относительно оси Ог части однородной конической поверхности хг + гг = уг, у > 0 плотности ро, заключенной внутри цилиндра ха -~- уг = аг. 12. Вычислите момент инерции однородной конической поверхности , г 2 г х — г+ ут — — г — — О, 0 ( г ( Ь, плотности ро относительно прямой— а а. Ь 1 у г — ь О О 13. Вычислите моменты инерции относительно начала координат олнородных поверхностей Ф1 и Фг плотности 1, где Ф1 — поверхность куба с Гл.
ХХК Поверхностные интегралы 360 центром в начале кооолннат н ребром 2а: Фг — полная поверхность цилиндра хе + у ( П, О ( г ( Н. 14. Вычислите координаты центра тяжести однородных поверхностей Фс н Фг, где Фс часть конической поверхности г = „?хг + у', вырезанная чг, при х ) О, у ) О, х -Ь у ( а. 15. С какой силой однородная поаерхаость х = г сов сг, у = г вьнсе, х = г, О < Се < 2х, О < Ь < г < а, плотности ре притягивает материальную точку массы т, аоъющевпую в начало координат'? 2 3. Поверхностные интегралы второго рода Основные понятия и формулы 1.
Двусторонние и односторонние поверхности. Если поверхность ограничивает некоторое тола, то у нее различают внешнюю и внутреннюю стороны. Примером такой поверхности является сфера. Если поверхность задана уравнением - = Х(х,су), то у нее различакзт верхнюю и нижнюю стороны. Указанные поверхности имеют две стороны. Наряду с ними существуют так называемые односторонние поверхности. Сформулируем теперь строгие определения. Если каждой точке ЛХ области С поставлен в соответствие вектор а(ЛХ), то говорят, что в области С задано векторное поле. Векторное поле а(ЛХ) = ГасГЛХ),азГЛХ),аз?Л|)) называетса непРеРывным в области С, если его кооРдинаты фУнкции осГЛХ), азГЛХ), аз(ЛХ) являются непрерывными в области С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
