В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Число 1т (пь = 1.,2) называется пределом интегральных сумм 1„,(ЛХь, Жь) при Ы -ь О, если Жв > О Нд > О такое, что для любого разбиения кривой, у которого ьь1 < й, и для любого выбора промежуточных точек Л'ь выполняется неравенство Гл. ХШ. Криволинейные интегралы 326 для пространственной криной, заданной параметрически, х=ьз(б), у=фЯ, г=Х(6), а<2<,д (4) (А = А(Ф(а), ф(а), Х(ан., В = В(ру),.ф(д), Х(д))). 2. Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла.
Теорема 2. Если АВ кусочно гладкая криващ заданная уравнениями (Ц, а функции Р = Р(х., у) и ьг = ьг(х,у) кусочно непрерывны вдоль кривой АВ, то существует интеграл (2) и справедливо равенство У".."= У(Р(.() .(6». «) "(.()Гф«)). (»™С (3) лв О Для пространственной кривой АВ, заданной уравнениями (4), справедлива аналогичная теорема, и интеграл (3) вычислнетсн по формуле ~ Рдх+ аду+ Вдг = 1!Р(~(),Ф(С), ХИ))~~~(С)+ лв и + ьг(ьз(т), из(6),Х(С))зр(Г)+ В(р(т), Ф(ь), Х(т))Х'(ь» <Н. (6) Если кривая АВ задана уравнением у = д(х), а < х < б, и имеет кусочно-непрерывную производную, а функции Р(х, у) и ч)(х,у) кусочно непрерывны вдоль кривой АВ, то существует интеграл (2) и имеет место равенство / Рдх+ ьгйу = ~(Р(х, у(х)) + ьг(х,у(х))д(х» Нх.
(2) лв а 3 а м е ч а н и е. Криволинейные интегралы второго рода обладают свойствами линейности и аддитивности, однако теорема об оценке модуля интеграла и формула среднего значения неверны. 3. Свнзь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Теорема 3. Пусть АВ кусочно гладкая кривая, заданная уравнениями (Ц, функции Р = Р(з., у) и Ц = ®(х, у) кусочно непрерывны вдоль кривой АВ и т = (сова,е1гпа) единичный носительный вектор к кривой АВ в точке М(хну), причем направление т соответствует нопровлению движения от А к В (а — угол между вектором т в гпочке ЛХ(х, у) и осью Ох). Тогда имеет место равенство / Р(х, у) дх + Я(х, у) ду = / (Р соа а + ьг еш гл) гй' = / (ат) Ю, (8) лв где а = Р(х,у) г+ О(х У)3.
42. Криволинейные интегралы второго рода 327 4. Физические приложения криволинейных интегралов второго рода. а) Работа силы Е(х,у) = Р(х,у)1+ !)(х,у)1 при перемещении материальной точки массы 1 из точки А в точку В вдоль кривой АВ вычисляется по формуле / Р(х,у) г!х+ Я(иду) г!у. (10) Таким же образом вычисляется работа силы при перемещении материальной точки вдоль пространственной кривой.
б) Пусть с = (н(х,у),ю(х,у)) скорость плоского потока жидкости в точке ЛХ(х,у) (см. пример 7 из 2 1). Тогда количество Я жидкости, вытекающей за сдинипу времени из области С, равно Я = /(сп) 41, ь где п единичный вектор внешней нормали к кривой Х, в точке ЛХ(х,у).
Если направление касательного вектора т к кривой Х соответствует положительному направлению обхода кривой и а . †. угол между вектором т и осью От,, то п = (сов (а — — ), в(п (а — — ) ) = (вгп а, — сов а), (сп) = и в1п а — ю сов а, и для величины Я, используя формулу (8), получаем выражение через криволинейный интеграл второго рода: Я = ( ( — юсова+ ов)па) г(! = )1 — юг!х+ юг!у.
Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте определения: в) интегральных сумм для криволинейного интеграла второго рода; б) предела этих интегральных сумм; в) криволинейного интеграла второго рола. Замечание. для пространственной кривой (4) справедлива аналогичная теорема, а формула (8) имеет вид / Р(х, у, г) дх + О(х, у, г) ду + К(х, у, г) дг = / (Рсова ж !!сову-Ь Х7сов у)~!! = / (ат) 41, (9) лв лв где а = Р1+ Яй+ Ргк, т = сова 1+ сов д )+ сов 7 1с; а, Д, 7 —. углы между касательным вектором т к кривой в точке М(х, у, г) н осями Ох, Оу, Ог. Гл. ХШ.
Криволинейные интегралы 328 А(0,0) С(1,0) Рнс. 55 у = хз, имеем у' = 1 К =/2х о 2. 3. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Зависит ли от направления обхода криной: а) кринолинейный интеграл второго рода; б) какал-нибудь его интегральная сумма? Для криволинейного интеграла второго рода / уах + хау, где кри- .1В ван АВ задана ураннением у = 2х, А( — 1, — 2), В(2, 4), составьте интегральную сумму, соответствующую разбиению кривой АВ на п равных частей и выбору промежуточных точек хс( ", ), п п й = 1, 2, ..., п. Вычислите предел интегральных сумм при я — 4 сс.
Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла второго рода и свсдевии его к определенвому интегралу. Напишите соответствующие формулы для: а) плоской кривой, заданной параметрически; в декартовых координатах; б) пространственной кривой, заданной параметрически. Каное направление обхода замкнутой кривой принимают за положительвое? Каков смысл обозначения ~Р йх -г йг йу? с Сформулируйте теорему о связи мегкду- криволинейными интегралами первого и второго рода. Криволинейный интеграл нторого рода / рах ф хдд, где криван АВ лв задана уравнением у = 2х, .4( — 1, — 2), В(2,4), сведите к криволинейному интегралу первого рода и вычислите его.
Сравните резуяьтат с результатом задания 3. Приведите примеры физических приложений ариволинейных интегралов второго рода. Напишите формулу для вычисления работы силы при перемещении материальной точки вдоль кривой. Сфорл1улируйтс свойства линейности и аддитивности криволинейных ивтсгралоп второго рода. Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл второго рода 2хус)х+ та 4?д по трем кривым, соединяющим точки А(0,0) лв и В(1, 1), изображенных| иа рис. 55. гх 1) Пусть кривая АВ задана уравнением р — х. Тогда р' — 1, и, пользунсь формулой (7), получим 11 = )'2х.
хс?х+ ха 1?х = )'Зхзс1г = х11~ = 1. 2) Для кривой АВ, заданной уравнением 2х, откуда 1 , зол ),,з 2, А ~4хзАх, 4~1 о 42. Криволинейные интегралы второго рода 329 3) Интегрируя по ломаной АСВ, воспользуемся свойством аддитивности интеграла и представим его как сумму двух интегралов--- по отрезкам АС и СВ. Так как для отрезка АС у = О, у' = О и О < х < 1, то по формуле (7) получаем 2хц г1х + х Йу = / 2х . О с~х + х О их = О. лс в Для отрезка СВ имеем х = х(у) = 1, х' = О и О < д < 1; поэтому ! 2ху ггх + х е1У вЂ” / 2 .
1 . У О геу + 1 "У = У ~ о св о Следовательно, 1з = / 2хуеЬ+х~ВУ+ / 2хд(Ь+хес1у = 1. лс св Таким образом, 11 = 1г = 1з = 1. Этот результат не случаен. Можно доказать, что значение данного интеграла 1 не зависит от кривой, соединяющей точки А и В.
Вопрос о том, в каких случаях криволи- нейный интеграл второго рода не зависит от кривой, соединяющей две данные точки, будет рассмотрен в 3 3. Л 2. Вычислить криволинейный интеграл второго рода 1 = / (4х+ лв + у) ах + (х + 4У) ду, где кривая АВ задана уравнением д = хл, А(1, 1), В( — 1, 1).
гз Вычислим интеграл, пользуясь формулой (7). Учитывая, что у = = хе, Ву = 4хз г)х и х изменяется от 1 до — 1, получаем 1 = — / (4х+ + х" ч- (х + 4хе)4хз) г1х = — 2. а — 1 3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода )г(х + у) дх + + (х — у) Ну, где Л вЂ” . окружность (х — 1)г + (у — 1)а = 4. гз Запишем параметрические уравнения данной окружности: х = = 1 + 2 сов |, д = 1 + 2 вш Г,, О < 1 < 2я.
Вычисляем интеграл, поль- зуясь формулой (5). Так каь аг: = — 2 гйптдт, г1у = 2 сов гас,. то (х+ у) с~х+ (х, — у) ду = /(2+ 2 соей+ 2ашй)( — 2ашй) д1+ ь о + (2 соз г. — 2 а1п г) 2 сое г аг = аг = / ( — 4 в1 и е — 8 ейп 1 сое 1 Ч- 4 сов 21) аг = О. Л в 4. Вычислить криволинейный интеграл второго рода 1 = / (у ь ззо Гл.
ХШ. Криволинейные интегралы — 22) 11х + 2уе 1Ху — хг сЬ, где В .—. кривая х = й д = 12, 2 =18, 0 < 1 ( 1, пробегаемая в направлении нозрастанил параметра 1. 25 Вычислим интеграл по формуле (6). Так как 1Хх = 111, 11у = 211ХС ех = 312 гХС 0 < т < 1, то 1 1=)11 — 1" +2у 21 — 1 31 )111= — А 35 о 5. Вычислить криволинейный интеграл 1 = ~ (д — 2 ) еХх + (2 — х ) е1у + (х — дз) 112 вдоль замкнутого контура Х, являющегося границей части сферы хг + уг + 22 = 1, расположенной в 1 октанте: х > О, у > О, 2 > О, причем направление обхода контура таково, что в плоскости Оху движение происходит от точки А(1,0,0) к точке В(0,1,0).
г5 Контур А состоит из трех кривых, 11, 12, 12, каждая из которых является дугой единичной окружности, лежащей соответственно в з координатной плоскости Оху, Огуг., Охг. Поэтому 1 = ~~1 11ы где 11 = Ь=1 / гуз 2)Х + ( 2 2)Х + ( 2 2) 1 Найдем интеграл 11 по кривой 11. Так как кривая 11 лежит в плоскости Охд, то 2 = О, еЬ = 0 и 11 = / дз Пх — хз е/у, где 11, хг + уз = 1, х > О, д > О. Запишем параметрические уравнения 11. х = соей д = = 81п 1, 0 < 1 < лгг2.
По формуле (5) получим лг'2 л12 11 = / ( — 81п Х вЂ” со8' 1) 111 = — 2 / 81п теХХ = а о л,12 СОЕ 21 л1 4 = 2 / (1 — со 2 т) 11(со81) = 2(созз — ' ' ) 3)8-3 о '1'очно так же вычисляются интегралы 12 и 18. При этом 11 — — 12 —— = 1з = -4,23. Следовательно, 1 = -4. А 6. Найти магнитнУю индУкцию В = 1В„Ви, Вл) магнитного поля, создаваемого током 1, протекающим по замкнутому проводнику Х, в точке ЛХо(хо Уо зо).
25 Рассмотрим произвольное разбиение кривой 1 на малые дуги ЫоМ„ЛХ1М2, ..., ЛХ„1ЛХи такие, что направление по дуге кривой от точки Мь-.11хь 1 ул.. 1,21 1) к точке ЛХДхь, уь,зь) совпадает с направлением тока. На дуте ЛХь 1ЛХ1. выберем некоторую промежуточную точку 1иь(сь,211ы(ь). Каждую из дуг Мь 1ЛХл заменим прямолинейным отрезком. Согласно закону Био — Савара электрический ток 1, Хй. Криволинейные интегралы второго рода 331 ПРОтЕКаЮЩнй ПО ОТРЕЗКУ ЛХ» »ЛХы СОЗДаЕт МаГНИтНОЕ ПОЛЕ, ИНДУКЦИЯ которого в точке ЛХо равна »лВ» = 1.'ЛВ»г,,ЬВ»и, Л»В»в) = —, УМ». 1»леХ».
ге), уу ». где г» = ЛХоЛХ». = Д» — хо,г»» — ро,ье — го), ЛХ» »ЛХ» = ле,еь — хе. „ Р» — УРЬ »,㻠— г». 1) = 1ЬХЛ, лР»,Ьг»), Г» = )Г»(, У КОЭффИЦИЕНт пропорциональности. Поэтому 11В»е = —, И~» — го)л лр»-. — Улу» — лдо)Л»г»), т1 т! е Вьг = —,, Яь — хо) л㻠— (~» — го)»1х»), тл у1 ~В» г ((лу» УО)~хи (ьь хо)»»лр»') гг Суммируя по й от 1 до п и переходя к пределу' при Ы -у О, получим В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
