В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 62
Текст из файла (страница 62)
т-нра«нные интегралы Ц(1 — х1 — " — хт-1) «Хх1" Ххт-1 = и 1 — «« —...— « = ~Ц,Хх, ат 2 (1 х1 ... хе —.1) «Ххт — 1 о =И 2 / (1 Х1 " Хт — 2) ««Х1 "ГХХ««« — 2 Х '"Х 2. — 2 Далее, аналогичным ооразом можно свести (т — 2)-кратный интеграл по области С 2 к повторному и т. д. Через т — 1 шагов придем к следующему определенному интегралу: (1 — ) ' ' 1 НХ1 — —— (т — 1)! «и! о Итак, 1'(Т) = —. и 1 «и! 2. Даны два материальных тела; Т1 с плотностью р1(х,у,г) и Тг с плотностью р2(х, у, 2). Найти силу г притяжения тела Т, телом Т .
«л Пусть ЛХ(х, у,г) "- произвольная точка тела Т„а ЛХ'(х',у',2') произвольнан точка тела Тг. Введем (бесконечно малые) элементы объема «Л« = «Ь ф«Ь и Л" = дх'«1у««1г' с центрами в точках ЛХ Рнс. 52 и ЛХ' (рис. 52). Масса элемента объема ейг равна р1(х, у, г) дх«1у а12, а масса элемента объема «ХХ" равна рг(х', у', г') «Хх' ду' дг«.
Силу, с которой первая из этих масс притягивается второй, можно представить в Сводя т-кратный интеграл по телу Т к повторному, получим о =ПО'-* - -х--) О,„ Так как область С ..1 можно представить в виде Сн, 1 = ((х1, ... ...,х 1): (х1, ...,х 2) с Ст 2, О < х, 1 < 1 — х1 — ... — х„, 2), где С„, 2 область в пространстве Е 2, которая задается аналогично С 1, то (т — 1)-кратный интеграл по области С 1 можно свести ь повторному таким же образом, как и интеграл по телу Т; Ге Хрд Кратные интегралы ниде рг(х, у х) Кх буба рг(х', у', ') бх'дгз'Нг рг(М М') где е единичный вектор, сонаправленный с вектором ММ'.
Ноорх — х у — у г динаты Вектора е равны 1 ~ М ~~,; ИМ М.. ИМ М, 1. Так как р(М, М') = [(х' — х) + (у' — у)г + (х' — х)~]~гг, то составляющую силы ггх' по оси Ох можно записать в виде НГ.„— у Р' ',У' Рг ' " ' агх угу сЬ дх' г(у' с(х'. (5) [(хг .)г + (уг у)г + (гг )г]г/г Чтобы найти составляющую по оси Ох силы, с которой тело Тг притягивается телом Тг, нужно просуммировать выражения (5) по всем элементам объемов тел Т, и Тг, или, более точно, нужно проинтегрировать по телам Тг и Тг.
Таким образом, составляющая Ег искомой силы Р выражается 6-кратным интегралом: г', = у~Я~~ Р' 'У' Р' ' 'У'" ",, г(хг(угЬг)х'с(у'гЬ'. т, нтг Говорит, что этот интеграл берется по произведению тел Т1 и Тг. Аналогично выражаются составляющие Ки и Ег силы Р.
д Задачи и упражнения дпя самостоятельной работы 40. Вычислите т-кратный интеграл: а) [Ц(х,'+хг+... +х„,)дхг Ихг...г1х, где Т. т-мерный куб, заданный неравенствами 0 ( хг ( 1, й = 1, 2, ..., т; )/) 1" %т,т..т „,г г ',.г,„ т заданная неравенствами хг + хг + ... ж х ( 1, хь ) О, Д = 1, 2, ..., т. 41. Найдите объем ш-мерного параллелепипеда, ограниченного плоскостямн агхгжо, хгн-...на, х = х6, (г = 12,...,т), если г5 = = беЦ[аь,[[~„„~ О.
хг 42. Найдите объем т-мернон пирамиды, заданной неравеаствами аг + — ' + ... + — ' ~ (1, х, ) О (г = 1, 2, ..., т), а, > О (г = 1, 2, ..., ш). аг а 43. Найдите объем 5-мерного шара радиуса П. ГЛАВА Х1П КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ д 1. Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая Х на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями х= р(~), у=И(~), о<~<р.
(1) Напомним, что 1 называется простой (плоской) незамкнутой кривой, если функции у(Х), ф(г) непрерывны на [а, 3] и различнылг значениям параметра 1 из сегмента [св)]] соответствуют различные точки ЛХ(рф,фф). Если точка А(р(о),ф(а)) совпадает с точкой В(~р(з), ф()))), а остальные точки нс являются кратными, то 1 называется простой замкнутой кривой. Простая кривая 1 называется спр млявмой, если суьцествует предел длин ломаных, вписанных н кривую, при Ь~ — ь О (этот предел называется длиной криной Х). Аналогичные определения игиеют место для пространственной кривой, заданной паралзетрически уравнениями в координатном пространстве Охуг.
Пусть 1 — — простая, спрямляемая (замкнутая или незамкнутая) кривая, заданная уравнениями (1), и пусть на кривой Х, опредолена функция Х(х,у). Разобьем сегмент [а,,З] на п частей точками а = ~о < Хь < ... < ~„= Д. При этом кривая Х разобьется на п частей точками Мо, ЛХы ...,Мв, Обозначим через гмь длину дуги ЛХь гЛХь, выберем на каждой дуге Л1г ~ Мь некоторую точку Ль(~ь,йь) и составим интегрвлькуго сумму и 1(ЛХ.'ь) =~.т..ь) ~ь ь=г Пусть Ы = щах Жь. 1<у<в О и р е дел е н не. Число 1 называется пределом интегральных сумм при Ы -+ О, если хг > О Вб > О такое, что для любого разбиения кривой Хо у которого Ы < б, и для любого выбора промежуточных точек А ь выполняется неравенство [1(ЛХь, А'ь) — 1[ < в. Если гуитесгвует Пщ 1(ЛХМАь) = 1, то число 1 называется криво — ~0 волянейным интегралом первого рода от функции Х(х, у) по кривой Ь Гл.
ХВЕ Криволинейные интегралы и обозначается / 1(х,у)гП. (2) Если кривая Е -- незамкнутая и точки А и  — ее концы, то криволинейный интеграл первого рода обозначается также следующим образом: / г" (х, у) еП. АВ Из определения следует, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к А) пробегаетсн кривая Е, т.
е. / Если ~(х,у) = 1, то / д1 ранен длине 1 кривой АВ: / еП = 1. АВ АВ Аналогично вводится криволинейный интеграл первого рода для пространственной кривой Е, заданной параметричсски уравнениями х=)Р(г) У=ф(Ь) г=Х(л) печгечф. (3) 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода с помощью определенного интеграла. Простая кривая Е, заданная уравнениями (1), называется гладкой (кусочно гладкой), если функции )р(Ь) и П)(Ь) имеют непрерывные (кусочно непрерывные) производные, одновременно не обращающиеся в нуль на [о,,З~ (на [о, Я), за исключением конечного числа точек). Функция Д(М) = 1(х, у), определенная на кривой Е, назлявается непрерывной вдоль кривой Е, если чЛХе Е Е 1ип У(М) = У(ЛТе).
и — ~не лчеь Если зто условие выполнено в каждой точке кривой, за исключением конечного числа точек, н которых функция имеет разрывы первого рода, то функция Д(Л1) называется кусочно непрерывной вдоль кривой Е. Теорема 1. Если Е кусочно гладкая кривая) заданнал ураенениллли (Ц, и функция Д(х, у) кусочно непрерывна вдоль кривой Е, то существует криеолинейный интегрил (2) и сприеедливо риеенстео ланг)г) = 1 Уме. )5)г 'е"е$ ' гР' (лг).
Я) 3 а меча н ие. Предполоялны, что г" (х, у) непрерывна вдоль кривой Е. Тогда имеют место следующие утверждения. 1'. Если кривая Е задана уравнением у = у(х), а ( х ( Ь, и у(х) имеет непрерывную производную на [а, Ь), то существует интеграл (2) и справедливо равенство лг)*, )г)=(лг, ) )))А+ге )г* (б) Ь а ад Криволинейные интегралы первого рода згв 2'. Если кривая Е задана в полярных координатах уравнением г = г(Зо), у1 ( р ( хг, и г(ф) имеет непрерывную производную на ~Зги рг), то существует интеграл (2) н имеет место равенство ) *,» =7 ° .
° *%7 агд 3'. Для гладкой лрострацственной кривой, заданной лараметрическн уравнениями (3), справедлива формула ~Их, у г) д~ = ~1ЫМАМ, ХМ с дк (7) 4'. Криволинейные интегралы первого рода обладанзт свойствами, аналогичными свойствам олределенного интеграла: линейность; адднтнвностгя модуль интеграла не цревосхеднт интеграла от модуля функции. Свраведлнва также формула среднего значения. 3. Физические приложении криволинейных интегралов первого рода. Пусть Ь .-- материальная плоская кривая с линей- ной плотностью р(х, д). Тогда справедливы следующие формулы: а) т = /р(х,д)гУ - масса кривой; л о) М вЂ” ~ур(х,д) гЛ, Мд — /хр(х,у) а) статические моменты ь А кривой А относительно осей Ох и Од; М„М, в) хо = —, до = — координаты центра тяжести кривой; нг т г) лв = ~ 'Гх + у )р(х, д) гн момент инерции кривой относительь но начала координат (полярный момент инерции кривой); д) Т = /узр(х,у)а), Тв = ~хгр(х,у)га моменты инерции л в кривой относительно осей Ох и Оу:, е) Е = )гюК„) сила притяжении материальной точки Могхв; уо) массы гно материальной кривой Ь, где ~" р(х,у)созгг .
Гр(х,у)вгвр г' / гг д Ь г = того — х,до — д), г = (г~, р угол глежду вектором г и осью Ох, — гравитационная постоянная. В случае пространственной материальной кривой справедливы аналогичные формулы для вычисления координат центра тяжести, статических моментов, полярного момента инерции, а также силы притнжсния материальной точки. Гл. ХШ. Криволинейные интегралы 320 Контрольные вопросы и задания 1.
Какая плоская ?пространственная) кривая называется: а) простой незамкнутой 1замкнутой); б) спрямляемой; в) гладкой; г) кусочно гладкой' ! 2. Является ли кривая х = соей у = з?п й О ( 1 ( Зл, простой? Является ли кривая х = 21 — 1г, у = 31 — 1г, — 1 < 1 < 1, гладкой, кусочно гладкой? 3. Напишите параметрические уравнения плоской кривой, заданной: а) в декартовых координатах; б) в полярных координатах. 4. Дайте определение функции: а) непрерывной вдоль кривой; б) кусочно непрерывной вдоль кривой. 5. Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла первого рода; б) предела этих интегральных сумм; в) криволинейного интеграла первого рода.
б. Зависит ли от направления обхода кривой: а) криволинойный интеграл первого рода; б) какая-нибудь ега интегральная сумма? 7. Составьте интегральную сумму функции 1" 1х, у) = х + у, соответствующую разбиению отрезка прямой у = х при 0 ( х ( 1 на и равных частей и /ъ'21 ъ'2Ь1 выбору промежуточных точек Лг ), ). Вычислите предел этих и ' п интегральных сумм при я — г гю. 8. Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла первого рада и вычислении его с помощью определепнога интеграла.