Главная » Просмотр файлов » В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах

В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 62

Файл №1108910 В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах) 62 страницаВ.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910) страница 622019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

т-нра«нные интегралы Ц(1 — х1 — " — хт-1) «Хх1" Ххт-1 = и 1 — «« —...— « = ~Ц,Хх, ат 2 (1 х1 ... хе —.1) «Ххт — 1 о =И 2 / (1 Х1 " Хт — 2) ««Х1 "ГХХ««« — 2 Х '"Х 2. — 2 Далее, аналогичным ооразом можно свести (т — 2)-кратный интеграл по области С 2 к повторному и т. д. Через т — 1 шагов придем к следующему определенному интегралу: (1 — ) ' ' 1 НХ1 — —— (т — 1)! «и! о Итак, 1'(Т) = —. и 1 «и! 2. Даны два материальных тела; Т1 с плотностью р1(х,у,г) и Тг с плотностью р2(х, у, 2). Найти силу г притяжения тела Т, телом Т .

«л Пусть ЛХ(х, у,г) "- произвольная точка тела Т„а ЛХ'(х',у',2') произвольнан точка тела Тг. Введем (бесконечно малые) элементы объема «Л« = «Ь ф«Ь и Л" = дх'«1у««1г' с центрами в точках ЛХ Рнс. 52 и ЛХ' (рис. 52). Масса элемента объема ейг равна р1(х, у, г) дх«1у а12, а масса элемента объема «ХХ" равна рг(х', у', г') «Хх' ду' дг«.

Силу, с которой первая из этих масс притягивается второй, можно представить в Сводя т-кратный интеграл по телу Т к повторному, получим о =ПО'-* - -х--) О,„ Так как область С ..1 можно представить в виде Сн, 1 = ((х1, ... ...,х 1): (х1, ...,х 2) с Ст 2, О < х, 1 < 1 — х1 — ... — х„, 2), где С„, 2 область в пространстве Е 2, которая задается аналогично С 1, то (т — 1)-кратный интеграл по области С 1 можно свести ь повторному таким же образом, как и интеграл по телу Т; Ге Хрд Кратные интегралы ниде рг(х, у х) Кх буба рг(х', у', ') бх'дгз'Нг рг(М М') где е единичный вектор, сонаправленный с вектором ММ'.

Ноорх — х у — у г динаты Вектора е равны 1 ~ М ~~,; ИМ М.. ИМ М, 1. Так как р(М, М') = [(х' — х) + (у' — у)г + (х' — х)~]~гг, то составляющую силы ггх' по оси Ох можно записать в виде НГ.„— у Р' ',У' Рг ' " ' агх угу сЬ дх' г(у' с(х'. (5) [(хг .)г + (уг у)г + (гг )г]г/г Чтобы найти составляющую по оси Ох силы, с которой тело Тг притягивается телом Тг, нужно просуммировать выражения (5) по всем элементам объемов тел Т, и Тг, или, более точно, нужно проинтегрировать по телам Тг и Тг.

Таким образом, составляющая Ег искомой силы Р выражается 6-кратным интегралом: г', = у~Я~~ Р' 'У' Р' ' 'У'" ",, г(хг(угЬг)х'с(у'гЬ'. т, нтг Говорит, что этот интеграл берется по произведению тел Т1 и Тг. Аналогично выражаются составляющие Ки и Ег силы Р.

д Задачи и упражнения дпя самостоятельной работы 40. Вычислите т-кратный интеграл: а) [Ц(х,'+хг+... +х„,)дхг Ихг...г1х, где Т. т-мерный куб, заданный неравенствами 0 ( хг ( 1, й = 1, 2, ..., т; )/) 1" %т,т..т „,г г ',.г,„ т заданная неравенствами хг + хг + ... ж х ( 1, хь ) О, Д = 1, 2, ..., т. 41. Найдите объем ш-мерного параллелепипеда, ограниченного плоскостямн агхгжо, хгн-...на, х = х6, (г = 12,...,т), если г5 = = беЦ[аь,[[~„„~ О.

хг 42. Найдите объем т-мернон пирамиды, заданной неравеаствами аг + — ' + ... + — ' ~ (1, х, ) О (г = 1, 2, ..., т), а, > О (г = 1, 2, ..., ш). аг а 43. Найдите объем 5-мерного шара радиуса П. ГЛАВА Х1П КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ д 1. Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая Х на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями х= р(~), у=И(~), о<~<р.

(1) Напомним, что 1 называется простой (плоской) незамкнутой кривой, если функции у(Х), ф(г) непрерывны на [а, 3] и различнылг значениям параметра 1 из сегмента [св)]] соответствуют различные точки ЛХ(рф,фф). Если точка А(р(о),ф(а)) совпадает с точкой В(~р(з), ф()))), а остальные точки нс являются кратными, то 1 называется простой замкнутой кривой. Простая кривая 1 называется спр млявмой, если суьцествует предел длин ломаных, вписанных н кривую, при Ь~ — ь О (этот предел называется длиной криной Х). Аналогичные определения игиеют место для пространственной кривой, заданной паралзетрически уравнениями в координатном пространстве Охуг.

Пусть 1 — — простая, спрямляемая (замкнутая или незамкнутая) кривая, заданная уравнениями (1), и пусть на кривой Х, опредолена функция Х(х,у). Разобьем сегмент [а,,З] на п частей точками а = ~о < Хь < ... < ~„= Д. При этом кривая Х разобьется на п частей точками Мо, ЛХы ...,Мв, Обозначим через гмь длину дуги ЛХь гЛХь, выберем на каждой дуге Л1г ~ Мь некоторую точку Ль(~ь,йь) и составим интегрвлькуго сумму и 1(ЛХ.'ь) =~.т..ь) ~ь ь=г Пусть Ы = щах Жь. 1<у<в О и р е дел е н не. Число 1 называется пределом интегральных сумм при Ы -+ О, если хг > О Вб > О такое, что для любого разбиения кривой Хо у которого Ы < б, и для любого выбора промежуточных точек А ь выполняется неравенство [1(ЛХь, А'ь) — 1[ < в. Если гуитесгвует Пщ 1(ЛХМАь) = 1, то число 1 называется криво — ~0 волянейным интегралом первого рода от функции Х(х, у) по кривой Ь Гл.

ХВЕ Криволинейные интегралы и обозначается / 1(х,у)гП. (2) Если кривая Е -- незамкнутая и точки А и  — ее концы, то криволинейный интеграл первого рода обозначается также следующим образом: / г" (х, у) еП. АВ Из определения следует, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к А) пробегаетсн кривая Е, т.

е. / Если ~(х,у) = 1, то / д1 ранен длине 1 кривой АВ: / еП = 1. АВ АВ Аналогично вводится криволинейный интеграл первого рода для пространственной кривой Е, заданной параметричсски уравнениями х=)Р(г) У=ф(Ь) г=Х(л) печгечф. (3) 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода с помощью определенного интеграла. Простая кривая Е, заданная уравнениями (1), называется гладкой (кусочно гладкой), если функции )р(Ь) и П)(Ь) имеют непрерывные (кусочно непрерывные) производные, одновременно не обращающиеся в нуль на [о,,З~ (на [о, Я), за исключением конечного числа точек). Функция Д(М) = 1(х, у), определенная на кривой Е, назлявается непрерывной вдоль кривой Е, если чЛХе Е Е 1ип У(М) = У(ЛТе).

и — ~не лчеь Если зто условие выполнено в каждой точке кривой, за исключением конечного числа точек, н которых функция имеет разрывы первого рода, то функция Д(Л1) называется кусочно непрерывной вдоль кривой Е. Теорема 1. Если Е кусочно гладкая кривая) заданнал ураенениллли (Ц, и функция Д(х, у) кусочно непрерывна вдоль кривой Е, то существует криеолинейный интегрил (2) и сприеедливо риеенстео ланг)г) = 1 Уме. )5)г 'е"е$ ' гР' (лг).

Я) 3 а меча н ие. Предполоялны, что г" (х, у) непрерывна вдоль кривой Е. Тогда имеют место следующие утверждения. 1'. Если кривая Е задана уравнением у = у(х), а ( х ( Ь, и у(х) имеет непрерывную производную на [а, Ь), то существует интеграл (2) и справедливо равенство лг)*, )г)=(лг, ) )))А+ге )г* (б) Ь а ад Криволинейные интегралы первого рода згв 2'. Если кривая Е задана в полярных координатах уравнением г = г(Зо), у1 ( р ( хг, и г(ф) имеет непрерывную производную на ~Зги рг), то существует интеграл (2) н имеет место равенство ) *,» =7 ° .

° *%7 агд 3'. Для гладкой лрострацственной кривой, заданной лараметрическн уравнениями (3), справедлива формула ~Их, у г) д~ = ~1ЫМАМ, ХМ с дк (7) 4'. Криволинейные интегралы первого рода обладанзт свойствами, аналогичными свойствам олределенного интеграла: линейность; адднтнвностгя модуль интеграла не цревосхеднт интеграла от модуля функции. Свраведлнва также формула среднего значения. 3. Физические приложении криволинейных интегралов первого рода. Пусть Ь .-- материальная плоская кривая с линей- ной плотностью р(х, д). Тогда справедливы следующие формулы: а) т = /р(х,д)гУ - масса кривой; л о) М вЂ” ~ур(х,д) гЛ, Мд — /хр(х,у) а) статические моменты ь А кривой А относительно осей Ох и Од; М„М, в) хо = —, до = — координаты центра тяжести кривой; нг т г) лв = ~ 'Гх + у )р(х, д) гн момент инерции кривой относительь но начала координат (полярный момент инерции кривой); д) Т = /узр(х,у)а), Тв = ~хгр(х,у)га моменты инерции л в кривой относительно осей Ох и Оу:, е) Е = )гюК„) сила притяжении материальной точки Могхв; уо) массы гно материальной кривой Ь, где ~" р(х,у)созгг .

Гр(х,у)вгвр г' / гг д Ь г = того — х,до — д), г = (г~, р угол глежду вектором г и осью Ох, — гравитационная постоянная. В случае пространственной материальной кривой справедливы аналогичные формулы для вычисления координат центра тяжести, статических моментов, полярного момента инерции, а также силы притнжсния материальной точки. Гл. ХШ. Криволинейные интегралы 320 Контрольные вопросы и задания 1.

Какая плоская ?пространственная) кривая называется: а) простой незамкнутой 1замкнутой); б) спрямляемой; в) гладкой; г) кусочно гладкой' ! 2. Является ли кривая х = соей у = з?п й О ( 1 ( Зл, простой? Является ли кривая х = 21 — 1г, у = 31 — 1г, — 1 < 1 < 1, гладкой, кусочно гладкой? 3. Напишите параметрические уравнения плоской кривой, заданной: а) в декартовых координатах; б) в полярных координатах. 4. Дайте определение функции: а) непрерывной вдоль кривой; б) кусочно непрерывной вдоль кривой. 5. Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла первого рода; б) предела этих интегральных сумм; в) криволинейного интеграла первого рода.

б. Зависит ли от направления обхода кривой: а) криволинойный интеграл первого рода; б) какая-нибудь ега интегральная сумма? 7. Составьте интегральную сумму функции 1" 1х, у) = х + у, соответствующую разбиению отрезка прямой у = х при 0 ( х ( 1 на и равных частей и /ъ'21 ъ'2Ь1 выбору промежуточных точек Лг ), ). Вычислите предел этих и ' п интегральных сумм при я — г гю. 8. Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла первого рада и вычислении его с помощью определепнога интеграла.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,72 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее