В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 60
Текст из файла (страница 60)
е. область Т можно представить в виде Т = ((х,д,х); (х,д) Е С, О ( х ( хд). По формуле (1) имеем 1 = Дс1~дд / 1(~,д,х) сЬ. и о Сводя двойной интеграл по области С к повторному., получим 1 х хи 1 = ~ дх~ с19 / 1' (х, д, х) сЬ. (9) о о о Гл. ХП. Кратные интеералы 304 б) Область Т заключена между плоскостями 2: = О и т = 1. Сечение области Т плоскостью х = сонат (рис. 46, б) представляет собой треугольник С(х).
Проекция етого треугольника на плоскость Оуз изображена на рис. 46, в. По формуле (2) имеем 1 .О о об~ Сводя двойной интеграл по области С(х) к повторному, получим 1 2 ли 1 = ~дх~11у) 1(х, у,з) сЬ, о о о что совпадает с равенством (9). а 2. Вычислить тройной интеграл 1 = Я ут(2 11х 11 уг1з, где Т вЂ” область, ограниченная по- О 1 верхностями 2=0, а=у, Рис. 47 Ь Область Т изображена на рис.
47. Ее можно представить в аиде Т = ((х,у.,е)1 (х,у) Е С, О < е ( у), где С = ((х, у): — 1 < х < 1, ха < у ( 1). Сводя тройной интеграл к повторному, получим У У д С о — 1 22 О 1 1 1 1 У вЂ” 1 22 — 1 о 1 = ' (' + ~х" йх — /'х" с~х) = О. А — 1 о 3. Вычислить интеграл 1 = Я[(х + д)2 — з] 11х 11у 11з, если область Т Т ограничена поверхностями з = О и (з — 1)2 = хл+ дз.
Ь Область Т представлнет собой конус (рис. 48, а). Уравнение конической поверхности, ограничивающей область Т, можно записать в виде з = 1 — ь7х2+ у'-', а саму область Т представить следующим образом: Т((х, д, з)1 (х, у) Е С, 0 < 2 < 1 —,/7~ + у2), где С вЂ” круг ГЛ. Тройные интегралы 305 радиуса 1 с центром в начале координат. Поэтому данный тройной интеграл можно свести к последовательному вычислению трех определенных интегралов в прямоугольных координатах: 2 с'2 — л2 ! — ~/л24-иг 1 = ~41л [' с1у / [(т+ у)2 — 2) сЬ. — 2 е2 —,2 о Однако удобнее перейти к цилиндрическим координатам (р, са, 2): 2: = = рсоа р, у = ряп аг, 2 = 2.
Тогда прообраз круга С есть прямоугольник ((р, р): 0 < р < 1, 0 < р < 2л), прообраз конической поверхности плоская поверхность 2 = 1 — р, а прообраз области Т область Рнс. 48 т, изобрагкенная на рис. 48, б. Якобиан перехода и цилиндрическим координатам равен р, подынтегральная функция в цилиндрических координатах равна рг(1+ а1п2иг) — 2. Сводя тройной интеграл по области т к последовательному вычислению трех определенных интегралов, получим 1 = ~~~[р" (1+ яп 202) — 2)рдрсгр йг = г — е = ~с1гр~с1р / [ра(1+ яп2ф — 2)ранг = 0 0 0 = ~сйр~ [рз(1 — р)(1+ яп 242) — — р(1 — р)2 г1р= 0 0 2е = л[ [ — (1+яп2р) — — ]гор= —. (10) о Отметим, что расстановку пределов интегрирования в цилиндрических координатах можно произвести, рассматривая не область т, а Вл. ХП.
Кратные интегралы 306 изменение цилиндрических координат в области Т. Наглядно видно, что в области С переменная 9г изменяется от О до 2л, при каждом значении ие переменная р изменяется от О до 1, а для каждой точки (р,еа) области С переменная изменнется в области Т от О (значение е в области С) до 1 — х/Р+ да = 1 — Р (значение г на конической поверхности). Это позволяет расставить пределы интегрирования так, как сделано в равенстве (10). А 4 в * р г=))) РГРгееерл, г область, ограниченная поверхностью щг + дз + зг = г.
Область Т представляет собой шар, ограниченный сферой, урав- Рнс. 49 нение которой удобно записать в виде ха +дг+ (з — 1/2)з = 1/4 (рис. 49, а). Данный тройной интеграл можно вычислить с помощью повторного интегрирования в прямоугольных координатах: ! 'О:*'-Р / ец ~',й'гееее* Пг -г1г Однако удобнее перейти к сферическим координатам (г,0, 9г): л = г61пдсоаеа, д = гсйп004пие, з = гсоад, (11) причем переменная еа изменяется от О до 2л, а при каждом значении ее переменная 0 изменяется от О доя/2. Подставляя выражения (11) в уравнение сферы, получим гг = г соа О, откуда г = О или г = сов О. Эти две поверхности в пространстве (г,0,уг) при О < уг < 2л, О < 0 < я/2 ограничивают снизу и сверху область т (рис.
49, б), являющуюся прообразом области Т при отображении (11). Якобиан отображения (11) равен ге 61п0, а подынтегральная функция в сферических координатах равна г. Вычисляя тройной интеграл по области т с помощью 22'. Тройные интегралы 307 повторного интегрирования, получаем 2~ е72 сег я '=Ш"'"и""" " =М 1"'-"'""= 0 О О гг г!2 1 4 . 1 1 |с 41|р 14 — соя д сйп д | д = 2л / 4 4 5 10 о о Отметим, что расстановку пределов интегрирования для переменной т можно произвести, рассх|атривая не область т, а изменение т при фиксированных значениях р и 0 в области Т. Наглядно видно, что на каждом луче |р = сопя|, О = сопя| переменная т изменяется в шаре Т от О (значение т в начале координат) до соя д (значение т на сфере).
А 5. Найти объем тела Т, ограниченного поверхностью 5: 7 — + )1 †' + )7 — = 1 и Ъ 2 'у' з '17 15 15 координатными плоскостян|и. 21 Тело Т изображено на рис. 50. Для вычисления его объема удобно перейти к обоб- ] щенным сферическим координатам (т, д, р) по формулам ! 2 . 4 4 т = 2т| я|п 0 соя| |р, | у = Отз сйпл д гйпл р, (12) 2 = 15тз соя| О. !Т о) Тогда уравнение поверхности 5 примет про- з р стой вид: т = 1.
В пределах тела Т переменная |р изменяется от О до т]2, при каждом значении |р Е ~О,л,|2] переменная 0 изменя- 2 ется такске от О до л,|2, а на ка кдом луче |р = сопя|, д = сопя| переменная т изменяется от О (значение | в начале координат) до 1 (значение т па поверхности 5). Итак, прообразом тела Т при отображении (12) является прямоугольный параллелепипед в пространстве (т,д,|р): т = )(т, д, |р): О < т < 1., О < 0 < л7|2, О < р < л/2). Якобиан отображения (12) равен 2880тея|п Осояздя1п рсоа'|р (см.
формулу (6)). Используя формулу (8) для объема тела в криволинейных координатах и вычисляя интеграл по области т с помощью повторного интегрировании, получаем г72 е72 | 1г — / 46р / |10 /2880тл яш~ д сояз 0 я|п |р сояз р |Ь = о о о е72 е72 = 480 / гйп |рсояз|рсйр / я|п дсоязд|И = о о Гь Х11 Кратные интеералы 308 л/з е/2 =480/ япз1е(1 — ашзфд(я1п~р) / ашба(1 — а1пза)е1(аша) = =480 —,.— =1. а 12 40 6. Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями хз = 2ре, уз = 2рх, х=р/2, а=О (р>0).
21 Тело Т изображено на рис. 51. Его можно представить в виде Т = ~(х,у,л): -р< у < р, — <х<Р, 0<с< — 1. Используя формулу для момента инерции тела относительно координатной плоскости Огх, с помощью повторного интегрирования получаем л'Пзй Ыз о 'л.=И""."" =l"' 1 "' т илдзИ Р Р/~ га иедзщ Аналогично находим 1, = Щх' 1х 1у йл = — ", е е ./ [ 48 48рл] 108 — Р .Ол 11 20 т т 7. Найти ньютоновский потенциал поля тяготения однородного шара Т радиуса В с плотностью р в точке А, находящейся на расстоянии с1 от центра шара (д > Л).
41 Введем прянлоугольную систему координат так, чтобы начало координат совпало с центром шара, а точка А лежала на положительной полуоси Ож Тогда уравнение сферы, ограничивающей шар, примет вид;гз + у + лз = ль~, а точка А имеет координаты (0,0, .е1). Но формуле для ньютоновского потенциала имеем "=д":":— Так как тело Т шар, то для вычисления тройного интеграла удобно перейти к сферическим координатам: х = г яп 0 соя у, у = г яп у яп д, 42В. Тройные интегралы 309 х = г сов 0. Прообразом шара Т при этом отображении нвляется прямоугольный параллелепипед т = ((г,О,)р)1 О < г < Н, О < 0 < гг, 0 < р < 2л).
Учитывая, что якобиан отображения равен гз зги(У, а ВРВВ В) — !) = ВВ' — ВВ Р, рг В р по области т к повторному, получим г)ггг)=В)У)В ' "" В рррр= 2г Я г /' ' /' з) У г(В = ур г(гр /г' 1(г / гггр — ВВ. В о о о 22 Й я 2 2 = Вр/Вр) — ) ~lд В В* — ВВ . Р ) В = — Вр У Вр( В о а о о о о 4 тр .ут.
= у — лгг' — = — ', 3 В( 4 где т = — ллгзр . масса шара. 3 Таким образом, однородный шар массы т создает в пространстве вне шара такое же поле тнготения, что и точечная масса т, помещеннан в центр шара. А Задачи и упражнения для самостоятельной работы 21. Сведите тройной интеграл О/у'(х, у, 2) йх дуг(г к последовательному вычислению трех определенных интегралов шестью способамир если: хг уг а) Т область, ограниченная эллипсоидом — ж —, -)- — = 1; аг Ог ег б) Т - область, ограниченная поверхностями хг + у + хг = 1, хг+ -)-у жг2=16, х=О, у=О, 2=0 (х)0, у30, г)0); в) Т четырехугольнал пирамида с вершинами ( — 2, О, 0), (О — 2, 0), (2, 0,0), (0,2,0), (О, 0,4); , 2 2 2 2 г) Т -- область, ограниченнал поверхностнми — + — = 22.
а О аз Ьг = 1, г = 0 (УВ > а ) 0). 22. Измените порлдок интегрирования (различными способами) в интегралах: 12 1 в г-)-г г„гч 2 г а) / йх / ау / Г"(х,у,г)йг; б) /гугу/йх / У(х,у,г)г(2) о о о о о о 11 рг 1 *у в) /Вгг / г(у / ) (х,у,г) В(х; г) /йх/йу/ 1(х, у,г) аг. о о о — глг2г- Р 310 Гс ХЬК Кратные интегралы 23. Вычислите интегралы а) Я хееЬхдуа1з, если Т вЂ” область, ограниченная поверхностнми т ха+уз+з =аг, з=О (з>0); б) Я(х+ у+ г) дх 4у гЬг, если Т вЂ” область, огрнннченнан поверхност' тямих+у+а=1, х=О, у=О, з=О. 24. Перейдите к сферическим координатам в интеграле Ягу аг г +*Чг*бьг, т где Т область, ограниченная поверхностями з = х Ч- у, х = у, х = 1, у = О, з = О, и сведите полученный интеграл к послелователь- ному вычислению трех определенных интегралов шестью способами. 25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
