В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Отображение (в) взиимно однозначно., т. е. различным точкам (и,о) области д соответствуют различные точки (х,у) области С. 11. Функции ~р(и,о) и Ф(и,о) имеют в области д непрерывные частные производные первого порядка. Р(х, у) уее 111. Якобиан отображения ' " = ~" ~' отличен от нуля во всех точках области д. Гл. ХП. Кратные интегралы 282 Теорема 4. Пусть д и С -- замкнутые квадрируелгые области, функция Д~х, у) ограничена е области С и непрерывка всюду, кроме, быть может, некоторого множества точек площади нуль, а отображение (3) удовлетворяет услови м 1-111. Тогда справедливо равенство .ОХ~а у) "х" =.ОХ~ ~")'~н )) ".;.") "н"о ® н а Формула (4) называется формулой залсены переложенных в двойном интеграле. 3 а м е ч в н и е.
Если условие 1 (взаимная однозначность отображения (3)) или условие 1П (отличие от нуля якобиаиа отображения) нарушается иа множестве точек площади пуль (например, в отдельных точках или не отдельных кривых), то формула (4) остается в силе. 4. Криволинейные координаты.
Формулам (3), которые рассматривались как отображение области д на область С, можно придать другой смысл. Рассмотрим в области д отрезок прямой и = ие = = совет (рис. 33). В области С ему соответствует параметрически заданная кривая х = Р(ио, о),,У = фане, а); (5) где роль параметра играет переменнан о. Точно так же отрезку прямой о = ое в области д соответствует в области С кривая х = уз1и, ио), у = Яи, ео), (6) где роль параметра играет и. Точке (ио,оо) области д соответствует некоторая точка ЛХо(хо, уе) области С(хо — — уз(ие,оо),ур — — зу(ио,оо)), Рвс.
ЗЗ причем в силу взаимной однозначности отображения (3) точке ЛХе соответствует единственная точка (ио,ое) области д, т. о. точка ЛХе однозначно определяется парой чисел (ио,оо). Поэтому числа ие и оо можно рассматривать как координаты точки ЛХе (но уже не прнмоугольные, а какие-то другие), а кривые (5) и (6), на которых одна из координат и или о постоянна, естественно назвать координатными линиями о и и. Так как эти координатные линии представлигот собой, 21. Двойные интегралы 283 вообще говоря, кривые, то числа (ио, ио) называются криволикейкьиии координатами точки ЛХо.
При отобраяьении (3) сетка прямых координатных линий в области д переходит в сетку кривых координатных линий в области С (рис. 33). Итак, формулы (3) можно рассматривать как формулы перехода от прямоугольных координат (х, у) к новым, криволинейным координатам (и, о) в области С. Примером криволинейных координат являются полярные координаты (р,р), связанные с прямоугольными координатами (х,у) формулами х = рсоа р, у = рашЬа (О < р < оо, О < ьэ < 2я). Иногда в качестве промежутка изменения ьа берется промежуток — я < Ьа < к.
Якобиан перехода к полярным координатам имеет вид дх дх др дье ду дд др дье СОЗ ВЭ вЂ” Р ЗЬП Ьэ ашЬв рсоаьэ 5. Геометрические приложения двойных интегралов. а) Площадь э квадрируемой области С на плоскости (х,д) выражается формулой (7) и Если С = ((х,у): а < х < 6, О < у < 1(х)) криволинейная трапеция, то, сведи двойной интеграл (7) к повторному, придем к известному выражению площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла ь 11е) ь ь В = Цдхду = ~дх ~ ду = ~~у~1~ Ь1 дх = ~ 7(х) д . и а о в е Переходя в (7) к новым переменным по формулам (3), получим выражение площади области С в криволинейных координатах 5= О~ '" ~диде.
(8) Величину дв = дх дд, представляющую собой площадь прямоугольника со сторонами дх и дд, естественно назвать элельектоль площади в пряльоу1гольных координатах х и у, а величину дв = ~ ' ди до Р(х, у) Р(и, о) элементом площади в криволинейных координатах и и и. Модуль якобиана ' представляет собой коэффициент растяжения Р(х, д) Р(и, о) площади в точке (и, о) при отображении области д плоскости (и, о) на область С плоскости (х,у). Если С криволинейный сектор па плоскости (х,д), ограниченный лучами р = об Ьа = д и кривой р = р(Ьа), .где р и Ьв — — полярные Гл.
ХП. Кратные интегралы 284 координаты (рис. 34), то, переходя в формуле (7) к полярным коорди- р- р(т) Рнс. 34 Рнс. 35 натам, учитывая,что '' =р,ад=та(р,ус): а<уа<Ао~<Р< В(х, у) В(р, р) < р(р)), и сводл двойной интеграл к повторному, получаем известное выражение плошади криволинейного сектора через определенный интеграл д рМ Лг а Мр~з Я =Пдхдн ИР 1Р6- ИГР 1Р1Р 1 КР 1Р (Р) с)Р О а а а а а б) Объем 1' тела Т = ((х,у з): (х у) Е С О < а <1(х у)) (Рис. 33) где С --- квадрируемая замкнутая область, а 1(х,у) непрерывная неотрицательная в области С функция, выражается формулой 6.
Физические приложения двойных интегралов. Пусть С вЂ” материальная бесконечно тонкая пластинка (квадрируемая область на плоскости Оху) с плотностью р(х,у). Тогда справедливы следуюшие формулы: а) т, = Цр(хч у) йх ду — масса пластинки; О б) ЛХа — Цур(х., у) Мха., Ма — — О1хр(х, у) с~ха статические О О моменты пластинки относительно осей Ох и Оу; М„м в) ха — — —, уа — — — . — координаты центра тяжести пластинки; г) 1, = Оузр(х,у) Йхггу, 1н — — ахар(х, у) дхарму .. моменты инер- О О ции пластинки относительно осей Ох и Оу; д) 1а = 1, + 1н — О(ха+уз)р(х,у) г1хду момент инерции пластинки относительно начала координат.
д1. Даойные интегралы Контрольные вопросы н задания 1. Что такое интегральная сумма' ? Составьте интегральную сумму функции 7'1х, у) = хг -~- дз, соответствующую разбиению области С = Цх, д): а ( х ( 5, с ( у ( й) на прямоугольники Со = 11х, у): х, 1 ( х ( (х„д, 1(д(у) 1а=ха<х1«...х„=Ь, с=до<у~ <". ... < у = ~1) и выбору левых верхних вершин этих прнмоугольников в качестве промежуточных точек.
2. Что называется диаметром ограниченного множества точек? Чему ра вен диаметр: а) квадрата со стороной 1; б) области, ограниченной эллипсом —, ф — ', = 1 Га > 5). д т ал Ь*" 3. Дайте определение предела интегральных сумм и двойного интеграла Докажите, что неограниченная в области функция не интегрируема в этой области.
4. Сформулируйте теорему об интегрируемости непрерыввых функций. Верно ли утверждение: непрерывная в открытой квадрируемой области функция интогрируема в этой области? 5. Сформулируйте теорему об интегрируемости некоторых разрывных функций (теорему 2). Длн каких областей (открытых, замкнутых) верна эта теорема? 6. Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность двойных интегралов. 7.
Сформулируйте теорему о формуле среднего значения для двойного ин теграла, аналогичную теореме для определенного интеграла. 8. Сформулируйте теорему о сведении двойного интеграла к повторном1 па форглуле 1Ц 1теорегну 3) и аналогичную теорему о сведении двойного интеграла к понторному по формуле 12). 9. Сведите двойной интеграл О 7" 1х, у) ах йд к повторному двумя способа- О ми, если С круг, ограниченный окружностыо1х — 1)г -~-1д — 2)~ = 25. 10. Напишите формулы перехода к новым переменным в двойном интег раве и сформулируйте условия 1 — П1, которым должно удовлетворять отображение.
11. Используя теорему о неявных функциях, докажите, что в силу условия 1П некоторая окрестность произвольной точки 1гго,ое) области д взаимно однозначно отображается на иеяоторую окрестность точки 1хе, Уо) = 1?гроо, оо),гррио, ое)) области С, т. е. локально из условия П1 следует условие 1. Следует ли в целом 1т. е.
для всей области д)из условия 1П условие Г! 1рассыотрите пример: х = и, соа о, у = и а)п о, 1 ( и ( 2, 0 ". о ". 4г.) 12. Изобразите на плоскости Гх, д) образ прямоугольника д = 11р, у): 0 ( ( р ( 1, 0 ( х < 2я) при отображении х = р соа х, д = р а|п у. Является ли это отображение взаимно одвозначным? 13.
Сформулируйте теорему о замене переменных в двойном интеграле. 14. Что такое криволинейные коорлинаты? Изобразите на плоскости 1х, у) координатные линии полярных координат р и дь 15. Напишите формулы длл вычисления плошади плоской фигуры с по- мощью двойного интеграла. Получите из этих формул выражения площадей криволинейной трапеции и криволинейного сектора с помощью опрелеленного интеграла.
Что такое элемент плошади в прямоугольных и криволинейных ьоордииатах? Каков геометрический смысл якобиана отобрагкения? Гл. ХП. Кратные интегралы 286 16. Напишите формулу для вычисления объема тела с помощью двойного интеграла. 17. Напишите формулы для вычисления координат центра тяжести и моментов инерции материальной плоской пластины. Примеры решения задач 1. Свести двойной интеграл ОД(х,у) с1хс1у к повторному двумя О способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если С . — область, ограниченная кривыми х = 1, у = х" 7 д = 2х (х < 1). 72 1 способ. Область С изобралсена на рис.
36, а. При каждом знау у чении х из отрезка (0,1) переменная у изменяется от хз до 2х, т. е. 2 2 --- —— область С можно представить в виде С = ((х,у): 0 < х < 1, хз < С2 < у < 2х). По формуле (1) полу- 1 «7 чаем С 77 '7 е д О е 2 О 1 а б П с и особ. Чтобы воспользоваться формулой (2), нужно разбить область С на две части, С1 и С , как показано на рис. 36, б. В области С1 переменная у изменяется от 0 до 1, а при каждом значении у переменная х изменяется от у~2 (значение х на прямой у = 2х) до у (значение х на параболе у = х ).
Поэтому по формуле (2) получаем О (х, ) =1 1~;,,.у) О, а у 12 В области С2 переменная у изменяется от 1 до 2, а при каждом значении у переменная х, изменяется от ус72 до 1. По формуле (2) имеем 2 1 ~~ ((х, у) с1х с1у = ~ с1у / 1 (х, у) с1х. О7 1 у/'7 Итак, Цр"(х,у)с1х с1у — О 7'(х,у) а1х с1у + Ц 7"(х.,у)с1хс1у = О Ос С' 2 у 2 1 = ~с1у (' Д(х,у)с1х + ~с1у (' Д(х,у)с1х. а а 7П2 1 у/2 2.
Вычислить двойной интеграл 0(х+ уз) с1хс1у по области С, О у 1. Двойные ини2ехралы 287 ограниченной кривыми д = х и д = хз. Г1 Область С изображена на рис. 37. Сводим двойной интеграл к понторному по формуле (1): 1 х у ЦГх+ 12)а д = ~ах~(х+да) йд С О 2 Вычисляем внутренний интеграл в повторном, пользуясь формулой Ньютона — Лейбница: — '): = '-- '-- ' +„2),~„( „+ „зт 2 з в 3 )хх 3 3 х" Рис. 37 Теперь вычисляем повторный интеграл: 1 (х — — х — — х ) 4х = ( — — — х — — х ) = —. А О 3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле 2 ххзхи О ххзх 22 Ь Кривые д = 172х — х'-', д = 272х и отрезок прямой х = 2 ограничивают область С, изображенную на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
