В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 58
Текст из файла (страница 58)
— треугольник со сторонами, лежашими на прнмых у = 2х, у = Зх, х=4; е) С трапеция с вершинами ( — 1,4), (о.4), (1, Ц, (4, Ц; ж) С . трапеция с вершинами ( — 2,0), (0,6), (0,3), ( — 1,0); з) С трапеция с вершинами ( — 2, 3), (О, 6), (3, — 3), (Ог — 3); и) С кольцо 1 ( (г: — Цг ч- у' ( 4; к) С -- область, ограниченнан кривыми хг — 2х+ уг = 0 и хг — 2х+ +у — 2у= 2. 2. Измените порядок интегрировании в повторных интегралах: Ьг ,г г г. ) ~49/ У(х,у)4х; б) ~4х /. У(х у)4у ) ~4 ~У(,у)4у; о ы а 1 1 — г а гг 41. Двойные интегралы 172 а4' 4 е) / йх / г(х,у)йу; ж) /11у / )(х,у)йх. О Д ,2274,.2 22 3. Вычислите двойные интегралы: а) фх — у) ах йу, где С вЂ” треугольник с вершинами (1, 1), (4, Ц, (4,4); о б) //хйхйу, где С область, ограниченнан кривыми у = Зхз, у = Г1' = 6 — Зх; в) //2(х(йхйу, где С трапеция с вершинами ( — 1,4), (5,4), (1, 1), (4, 1). 4.
Перейдите к полнрным координатам в двойном интеграле //7(хо у) йхйу и сведите его к повтораому двуми способами, если: В а) С вЂ” круг хз-Ь уз ( а; б) С вЂ” — круг х 4-уг ( 2у; в) С кольцо аг ( хг ж уз ( Ь; г) С . - область, ограниченнап кривой (х -Ь уг)2 = а (хг — уг), х ) 0; д) С треугольник со сторонами, лежащими на прямых х = О, у = О, у=1 — х; е) С область, ограниченная кривыми х = ау, у = а (а > 0).
5. В следующих интегралах перейдите к полярным координатам, а затем сведите интеграл к повторному двумя способами: 1 2 ОЗО 1 Ъ'1 — *2 а) /йх/7(х,у)йу; б) /йу / )'(хо+у )йх: в) /11х / 7'(х,у)11у. О 2 З 2 о 6. Перейдите к вовым переменным и, е в интеграле: 3 3 — 2 а) /йу/ 7(х-~-у,х — 77)ах,если и=хо-у, е=х — у; О 1 — 2 3 4*. б) / г(х) 7" ( — 71 41у, если и = х, о = —. х х 1. Докажите, что замена переменных х+ у = и, у = ио переводит треугольник, стороны которого лежат на прямых х = О, у = О, у = 1 — х, в квадрат ((и,о): 0 < и < 1, 0 < е < 1). 8.
Найдите замену переменных х = х(и, О), у = у(и, о), при которой область С, ограпиченнан кривыми ху = 1, ху = 4, х — 2у — 2 = О, х — 2у+ 1 = 0 (х > О, у > 0), является образом прямоугольника, стороны которого параллельны оснм координат на плоскости (и,е). 9. Вычислите двойные интегралы, введя обобщенные полярные координаты: 2 2 а) // 1 — — т — Ут йхйу, где С -- область, ограниченная эллипсом а Ь а ° 2 у2 — — =1; ох Ьз= à — -12 б) //(у' ' + 4/" — ) Ихйу, где С область, ограниченная кри- 3 T7) Гь Х11 Кратные интегралы /х — Т Гу~- Тт вымих=1, у= — 1, (( +~1 =1; 3 7 в) ~~~хе)хг(у и ~~~а Входу, где С область, ограниченная астроидой с с ггз г!з г!а 10.
Вычислите двойные интегралы: а) Охе)хе)у, где С вЂ” область, ограниченная кривой х' «- уг = 4х— — 2у «-4; б) О(~х~ «- Ы4х40, где С = ((х,у): И+ Ь((1); с О „1 1 С ((,) 4+,4(1) г) О (х «- у) е)хг)у, где С вЂ” - область, ограниченная кривыми уг = 2х, х+у=4, с+у=12. 11. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми: а) ху=а-, х-~-у=2,5а (а>0):, б) (2х — Зу)з+х =3; в)ху=ог, ху=2аз, у=х, у=2х (х>0, у>0). 12.
Введя полярные координаты, найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми: а) (х фу ) = — 2а (х — у ) х -~-уз=а (х -~-у >а) б) (хз«-уз) =8агху, зу«-уз=а (а>0, хг+у (а ). 13. Введя обобщенные полнрные координаты. найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми: гог в) ( — «- — ) =, '+у'; г) ( аг Ьг ) 9 4 3 2 д) тгх — 1«- зГуЬ1 = ъ/2, х = 1, у = — 1. 14. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями: а) г = 1п(1 «- хз + у ), г = О, хг -~- уг = 2; б) з=з)п~/з:г«-уг, з=О, х~«-уз=а'; в)з=ху., х =у, хг=2у, уз=х, у =2х, з=О. 15.
Найлите координаты центра тялгестн одвородной пластинки, ограничеивой кривыми: 9 4 3 2 в) (хз «- уг)г = 2озху (т > О, у > 0). 16. Найдите координаты цевтра тяжести круглой пластинки ((х, у): хгф «- у ( а ), если ее плотность в точке Л4(х.,у) пропорциональна расстоянию от точки М до точки А(а, 0).
17. Найдите момевты инерции 1, и 1„относительно осей Ох и Оу однородной пластинки с плотностью р = ро, ограниченной кривыми: а)х=О, у=О, х=а, у=6 (а>0, Ь>0); б) у=О, у=х, у=2 — х; в) (х — а)з «- (у — а)г = аг, х = О, у = О, (О ( х ( а); г) х + у = а (х + у ). б2. Тройние интегралы 295 18. Найдите моменты инерции 1. и 1г относительно осей Ох и Оу пластинки с плотаостью р = ху, ограниченной кривыми: а) х = О, у = О, х = пп у = Ь (а, > О, Ь > 0): б) у = О, у = х, .у = 2 — х.
19. Шар радиуса а погру)кен в гкилкость постоянной плотности р, причем центр шара нахопитсн па расстоянии 6 от уровня жидкости и й > о. Найдите силы лавления р, и рп на верхнюю и нижнюю полусферы этого шнра. 20. Докажите, что если в плоскости, гле расположена пластинка С массы т, взяты лве параллельные оси х и х на расстоянии а друг от друга, причем первая из них проходит через центр тяжести пластинки С, то моменты инерции пластинки С относительно этих осей связаны соотношением 1,, = 1„ + тпа . 9 2. Тройные интегралы Основные понятия и формулы 1. Определение тройного интеграла. Основные понятия и теоремы для тройных интегралов аналогичны соответствующим понятиям и теоремам для двойных интегралов.
Пусть Т . кубируемая область (открытая или замкнутая) в трехмерном евклидовом пространстве и пусть в области Т определена ограниченная функция и = 1"(Л1) = 1"(х.,у.,г). Разобьем область Т на н кубируемых частей Т, (1 = 1,2, ...,и) так, чтобы любые две части не имели общих внутренних точек, в каждой части Т, возьмем произвольную точку ЛХ,ф, О,,ь,) и составим интегральную сумму и 1(Т,,М,) ='~ 1(рл,ц„~,)м;, где гав'г " объем То Пусть 4 "- диаметр Т,, г( = шах йь г<г<п 0 п р е дел е н и е. Число 1 называется пределом интегральных сумм 1(ТО М,) при й — г О, если гг > О Бб > О такое, что длн любого разбиения области Т, у которого с( < б, и лля любого выбора промежуточных точек М,, выполняется неравенство (1(ТО Л1г) — 1~ < г. Если существует 1пп 1(Т„М,) = 1, то он называется тройным инл-го тегралом от функции )'(х, у, г) по области Т и обозпачаетси Я1(х,у, г) йт дуда или Я1(йг1) с(1г, а функция 1(х,у.г) называт т ется интегрируемой в области Т.
Теорема 5. Функция, непрерывная в замкнутой кубируемой области, интегрирусма в этой области. Теорема б. Функция, ограниченная в кубируемой области и непрерывная всюду, кроме некоторого множества точек объема нуль, интвгрируема в этой области. 296 Гл. ХП. Кратные интегралы и -2(«,Р) Тогда существует двойной интеграл 2(х Р) Ц1(х,у) йх йу = Ц йхс1у / 1(х,у,х) йх а с -2(х Р) (он называется повторным) и справедливо равенство «2(л Р) Ш~(*„<., ) у =11~™ 1 (х,, ) =, () т с «Пх Р) т.
е. тройной интеграл равен повторному. Если область С является у-трапециевидной (см. рис. 42), т. е. С = 1«(х, у): а < т, < (2, д«(х) < у < уг(х)), то двойной интеграл /1(х,у) йхйу в свою очередь мол но свести к повторному: и Ь Р«)х) Ь у«(«) «2(Х Р) Ц1(х,д) йхс!у = ~йх / 1(х,у) йу = ( йх / йд (' Д(х.у,г) й«. О Р«Щ) щ(«) ««йл Р) Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится в этом случае к последовательному вычислению трех определенных (однократных) интегралов: Ь 22Щ) «2(п Р) Ш(* )'""=1.1" 1 ~('")"' т Щ( ) «2( ° Р) Тройные интегралы обладают такими же свойствами, как определенные и двойные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т, д.).
2. Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования. Пусть функция 7'(х, у, х) определена в области Т = ((х,у,х): (х,д) е С, «2(х у) < х < «2(т д)), где 22(х,д) и «2(х,у) «г И(Х.Р непрерывные функции в квадрируемой области С (рис. 42). « = «(х Р Теорема 7. Пусть: 1') существует трой- ной интеграл Р ~Ц)'(х, у, ) йхйуйг; С (,,Р) Р =Р«(х) т 2') 2(х, у) е С существует определенный интегх Ь х рал «2(*,Р) 1( .,д) = ~ У(х,д.,х)й й2. Тройньье интегралы 297 В формуле (1) повторный интеграл представляет собой двойной интеграл, а внутренний интеграл в повторном является определенным интегралом.
Возможно и иное сведение тройного интеграла к повторному, когда повторный интеграл представляет собой определенный интеграл, а внутренний интеграл в повторном является двойным интегралом. Пусть функция г(х, у, г) определена и ограничена в области Т, которая заключена между плоскостями х = а и х = Ь, причем каждое сечение области Рис. 43 Т плоскостью х = сопят (а < < х < Ь) представляет собой квадрируемую фигуру С(х) (рис. 43).
Т е о р е м а 8. Пуст ь: 1') существует тройной интеграл Ц~~(х, у, г) йх ду дг; 2') Чх е (о., Ь) существует двойной интеграл 1(х) = Ц Дхцу,г)д(зйг. п(г( Тогда существует определенный интеграл ь ь ~1(х) их = ~йх Ц 1(х,у, ) йу ~х а ь (он называется повторным) и справедливо равенство Яй,у,г)д дудг=~д Ц йх:у, )дуй (2) О(л( 3.
Замена переменных в тройном интеграле. Аналогично случаю двойного интеграла замена переменных в тройном интеграле Ц( 1(х,у, г) Нхдуйг состоит в переходе от переменных т, у, г к т новым переменным и, о, и| по формулам х = ~Р(и,юю), У = ф(и, о,ю), г = 7Г(игЩш), (и,о,ю) Е г. (3) При атом каждая точка (х, у, г) области Т соответствует по формулам (3) некоторой точке (и, о, ю) области т, а каждая точка (и, и, ю) области т переходит в некоторую точку (х, у, г) области Т. Иными словами, функции (3) осуществляют отображение области т пространства (и, и,ю) на область Т пространства (х, у, г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
