В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 54
Текст из файла (страница 54)
273). 2. Замена переменных в выражении, содержащем частные производные. Ради простоты изложения ограничимся случаем функций двух переменных. Пусть в выражении В = Ф(х, у, з., л„зи, л,кг ~ки, зил, ...), (6) где л является фу.нкцией аргументов х и у, надо перейти к новым переменным иг и, ю, где иг и независимые переменные, а ю функция аргументов и, о, причем переменные х, у, л связаны с перемецнын|и и, и, ю уравнениями дг(хгу,л,и,п,ю) =0 (г = 1,2,3), (6) которые будем называть формулалш замены переменных.
Обычно формулы замены переменных (6) даются в форме, разрешенной относительно либо старых переменных х, у, з, либо новых переменных и, п, ю. Рассмотрим в отдельности оба эти случая. 1'. Пусть формулы замены переменных имеют вид < х = 7г(и, и, ю), у = фз (и., и, ю), л = 7з (и, п, ю), (7) где 2г(иг о, ю) (г = 1, 2, 3) функции, дифференцируемые достаточное число раз. Схема решении. 1. Из равенств (7) получаем г7х = — ди + — Й~ + — пгю, а~, ОЬ д7г ди ' дв дю г2у = = г(и + — г20 + = г1ю, дф дтл дтз (8) ди дь дю гЬ = — г1и + — дп + — г Йиг.
дфз д,г"л дул ди ди дю Так как ю - функция аргументов и, п, то Ию = ю„г7и+ юнгами. Подстав- ляя это выражение длп гав в равенства (8), приходим к равенствалг (9) Нх = — ь(и+ Рфг Ри ггг7 = — г2и + Р фг Ри РЬ ~Ь = аггг+ Ргг Рф дЛ дЛ Р1, дЛ где †' = †' + †'ю и Ри ди дю Ри ди — гг'и, Рфг Ргг Рф = г7о, Ри РБ, + — 'юи (г = 1,2,3). дЛ, диг 44. Замена переменных 271 ВП В1, Ви Ве Вге В1а Ва Ве 2.
Если Ь = ф О, то первые два уравнения систе- мы 19) однозначно разрешимы относительно йи и йж 110) 3. Подставляя выражения 110) в последнее уравнение системы 19), получаем 1 (Р1ъ РЬ Р1п РЬ'1 1 1' Р1з Р); Рй Р11 1 7х1Ви Ри Ви Риl Ь~ Ви Ри Ри Ри) Сопоставляя полученное представление для йх с равенством йх = = ха йх + х„йу, находим выражения частных производных -, и хи в новых переменных и, о, ю: 1 РРЬР)' РЬ т>1 1 7 РЬ |Ч В.Ре т 1 Хх "=+ — — + — — ~ (11) Гх 1Ри Ви Ри Ри.)' " Гх 1 Ри Ри Ре Ри.) х, = Г1и,и,ю,ю„юе).
Отсюда Мх,,) = йГ или х,хйх+ „йу = Г„йи+Рейи+Г„йю+ + Г„,.йи1„+ Г,„йю„. Подставив сюда выражения йю = ю„йи + иейи, й1е, = ю„йи+ ю ейо, йю, = ю„„йи+ ю„ейе, а затем выРа1кении 110) длн йи, ейо, и приравняв коэффициенты соответственно при йх и йу в обеих частях полученного равенства, найдем выра;кения х и хее в новых переменных.
Выражение х„„получим аналогично, вычислив дифференциал производной хю представленной второй формулой 111). Таким же образом можно найти далее выражения для производных более высокого порядка. 5. В исходном выражении 15) переходим к новым переменным и,и,ю.
2'. Пусть теперь формулы замены переменных имеют вид < =Л1*:У, ), о=Л1х,У, ), ю = Ь( х,у,х), 112) где Д,1х, у, х) 11 = 1, 2, 3) функции, дифференцируемые достаточное число раз. 4. Чтобы получить выражения вторых производных функции х(х,у) в новых переменных, вычислим дифференциалы от первых производных х, и х, представленных в виде 111). Запишем первую из формул 111) в кратком виде: Гл. Хй Неяение функции и их приложения 272 Схема решения.
1. Из равенстн (12) получаем Йи = — Йх+ — Йу+ — сЬ, дфс дЛ дЛ дх '' ду де Йи = — Йх+ — Йу+ — Йх, д6 д~з д6 дх ду дл Йис = — Йх+ — йу+ — ' сЬ. д Ре дта дта дх дд дл Подставляя сюда выражение Йх = дейх + зцйу, приходим к равенствам Йи = — с1х+ — Йу, Ртс Ртс Рх Рд Йи = Йх+ Йд, (13) Рх Ру Й = Рс'Й*+Рс'Йу, Рх Ру Р~с д~, д~с Р~, дУс дД где — ' = — ' -ь — ' хх и — ' = — ' -ь — ' хя сс = 1, '2,3). Рх дх дл Ру ду де 2. Так как ис — функция аргументов и,и, то йю = со„йи+ ю„йи.
Подставляя в это равенство выражения (13) для Йи, Йи и Йю, приходим к равенству — Йх -Ь вЂ” Йу = ю„) — Йх + — Йу) + ю, ~ — Йх Ч- — Йу). Р1а Р1з С Р1с Р1с т С Р12 РЬ Рх Ру " Рх Ру ' Рх Ру Приравниная в обеих частях равенстна коэффициенты соответственно при Йх и Йу, получаем систему двух линейных уравнении относительно х, и хо. 3. Коэффициенты этой системы зависят от иси, ил и старых перелсенных х„у, з. Поэтому для х и х, получаются выражения хц — — С(х, у, х, испо ю, ). (14) хх = Р(хц д, з, ю„, юе ), 4. Чтобы получить выражении вторых производных функции х(х,д), вычислим дифференциалы от первых производных х, и хп, представленных в виде (14). Из первого равенства (14) имеем йх, = = ЙР или з„йх+ х,„йу = Рейх+ Р„Йу+ Рейх+ Р,„йю + Р,„йю„.
Подставив сюда выражения Йх = х. Йх+ зойу, Йсо„= и~„,ойи + юнее, Йю, = юеойи + юе,йи, а затем выражения (13) для Йи, Йи и выражения (14) для з„зю и приравняв коэффициенты соответстненно при Йх и йу в обеих частях полученного равенства, найдем выражения х и злц в новых переменных. Выражение хоо получим аналогично, вычислив дифференциал производной хю представленной второй формулой (14). Таким же образом можно найти далее выражения для производных более высокого порядка.
24. Замена переменных 273 5. В исхолном выражении (5) переходим к новым переменныла и, и, ю. ха 12+ из О (15) 2л В соответствии со схемой, описанной в п. 1', сначала нужно установить, что система (15) разрешима относительно х,у. Это лвожно сделать, используя результаты 2 1, но здесь мы не будем этим заниматься. Учитывая, что и = и<1), и предполагая, что в систему (15) подставлено ее решение х = х<1), у = д(1), продифференцируем полученные толвдества по переменной й ии — уд — хх = О, <~ хх — 1+ ии = О. Отсюда находим 2ии — 1 у= у у х(2ии — 1) По формуле (3) получаем у' = — = .
Подставляя это вых У — ии) ражение для у' в исходное уравнение н используя формулы замены переменных (15), приходим к уравнению в переменных й и 2 — иа 2. РЕШИТЬ ураВНЕНИЕ (1+ Ха)зун = д, ПЕрЕйдя К НОВЫМ ПЕРЕМЕН- и ным 1, и, где и = иЯ, если х = 151, у =— сов 1 й Продифференцируем по 1 выражения для х, у, заданные формулами замены переменных; тогда получим исов1-~- ив1п1 У 1 х= совал' сова 1 Производную у' находим по формуле (3): у' = — = и сов 1+ и в1п й Исх пользуя операторную формулу (4), находим выражение второй про- изводной д = — — (исов1-1- ивш1) = сов 1 (й+ и).
и 1е2 ,в аа Ж Переходя к новым переменным в исходном уравнении, получим й = = О. Очевидно, решением этого уравнения является линейная функция и = 41+ В, где А,  — — произвольные постонцные. Возвращаясь Примеры решения задач 1. В уравнении уд'+ хув + хв = О перейти к новым переменным 1, и, где и = и<1), если формулы замены переменных имеют вид 274 Гл. Хб Неявные функции и их приложения в равенстве и = А2+ В к старым переменным, получаем решение исходного уравнения у = (Аагстйх + В)лсс1+ хз. а 3.
Решить уравнение ун(у') з — х = О, приняв у за новую независимую переменную, а х за новую функцию. Ь Чтобы воспользоваться стандартной схемой решения задачи, введем новые переменные 1 и и (и = и(с)) по формулам 1 = у, и = х. Продифференцируем эти равенства по и 1 = у, и = х. Используя полученные соотношения, по формулам (3) и (4) находим й у и ' х НСс и) ив В результате исходное уравнение примет вид й+ и = О. Возвращаясь к прежним обозначениям, т.
е. заменяя и на х, а с па у, полу- с1 х чаем уравнение —, + х = О, решением которого является функция Нуе х = Аа1п(у+ со), где А, со — произвольные постоянные. Выражая из последнего равенства у, находим решение исходного уравнения; у = агсаш(х,сА) — ~р или у = агсаш(Вх) + С, где В и С произвольные постоянные, В ф- О. л 4. В выралкении В = хзе + узу — 2з перейти к новым перегиенным и, и, ш, где ю = ш(и, и), если формулы замены переменных имеют вид (16) у' 2 с"с Так как формулы замены переменных (16) заданы в форме, разрешенной относительно новых переменных и, и, ю, т. е, имеют вид (12), то воспользуемся схемой решения, изложенной в п. 2'.
Из равенств (16), учитывая, что сЬ = з,дх+ евсуу, получаем с7х х Йи = — — —,ду, У У с1и = хдх+ УФ; (17) Ди, эх+ *с1У вЂ” *"(зядх+ зиЙУ). Так как и функция аргументов и,и, то ассе = со„с1сс+со,сЬ. Подставляя в это равенство выражения (17) для ди, ди и с1со, приходим к равенству /дх х у х ху ю„~ — — — ' ду ! + ш„(х с1х + у с1 у) = — Нх + — ' с1у — —,' (зл дх + зу ду) . иС е ! е е Приравнивая в обеих частях равенства коэффициенты соответственно при Ых и сну, получаем систему двух линейных уравнений относительно х, и зу < 1 у ху ив + Хин — Зк~ — —,, шя + уше = — — —, еи. 2.(. Замена переменных 275 Отсюда находим ее а е— а е~ х хр р е зп — — — + — ша — —, и~„,.
П вЂ” е и а е ° Подставляя эти выражения для первых производных в исходное вы- ражение, получим е/ 11 В = — -(хе+ — )ееа. р х Используя формулы замены переменных (16), переходим к новым переменным а, и, ее в выражении В: 4иеа В= — ., ' ., 1ее.а 5. Решить уравнение зе — -, — — О, перейдя к новым независимым переменным и = х+ у, и = х — у. Ь Дифференцируя выражения для и, и, заданные формулами замены переменных, имеем < ди = дх+ ду, йе = еЬ вЂ” 77у. (18) Так как в данной задаче заменяются только независимые перемен- ные, а переменная з (функция) не заменяется, то еЬ = зеИх+ снегу и, аналогично, дз = хади+ еди.
Отсюда, используя равенства (18), получаем сЬ = з,дх + ладу = з„(дх + др) + зе(дх — ду). х= и+и, у=и — и, с=шее (19) Так как формулы замены переменных (19) заданы в форме, разрешенной относительно старых переменных х, у, -, т. е. имеют вид (7), то носпользуемся схемой решенин, изложенной в и. 1'.
Из равенств (19), учитыван, что йе = |анди+ щейп получаем е дх = йи+ ди, ду = ди — ди, (20) ЕЬ = Е." "(и7 Йи+ Шей7) + Щсе (аи — Йи). Приравнивая в обеих частях последнего равенства коэффициенты соответственно при дх и ду, находим выражения для аа и зе: зе = „ + зе, з, = зе — з, Следовательно, исходное уравнение примет вид з„ = О. Решением этого уравнения является произвольная дифферепцируемая функция переменной и, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
