В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 55
Текст из файла (страница 55)
е. = 7(и). Возвращаясь к старым переменным, получаем, что з = ((х+ у) решение исходного уравнения. 4 6. В уравнении з, + х „ + з, = з перейти к переменным и, и,щ, где и = щ(и,е), если Гл. ХГ. Неяенне функции и их приложения 276 Из первых двух уравнений системы (20) находим ди = 0,5(дх + Ид), г Нт~ = 0,5(г)х — г)у). (21) Подставляя выражения (21) для»(т», де и г)х = з г)х+ зиад в третье уравнение системы (20), приходим к равенству х,о1х + х, йд = 0,5еи и~!ми(т4х + г(д) + ши (дх — г(у)' — ше" '»(у. Приравнивая в обеих частях равенства коэффициенты при Нх, име- ем хх = 0,56' и(ш + юи). Чтобы найти выРажениЯ втоРых пРоизвод- ных функции х(х, у) в новых переменных, вычислим дифференциал от первой производной зи: »Ь, = хххйх + х,и»(д = 0,5е™ (г)о — »(и)(юи + ш„) + + 05еи (шиит!и + тиииг)е + ш~ и»Ь + Ж исЪ).
Подставлян сюда выражения (21) для ди и»1о, получаем равенство Хкх»(Х+ Зхиа1д = — 0,5ви "(Ш„+ Ши) т(д + + 02зе' ~(шии(йх + Йд) + 2ши„г(х + шии(г)х — Нд)'. Приравнивая в обеих частях равенства коэффициенты соответствен- но при»)х и дд, находим хи»: 0~25еи ™ (шеи + 2шни + тики)~ з „= хх = — 0,5е' (ш„-1- юи) + 0,25еи™(шии — ю„и). Подставив выражения первых и вторых производных в исходное урав- нение, получим ю „+ ю„и = 2ш. д Задачи н упражнения для самостоятельной работы 38.
Решите дифференциальное уравнение, вводя новую независимую переменную: а) хзуи -1- ху' -1- у = О, если х = е'! б) (4х~ -1- 1)уи -1- 4ху' -1- у = О, если х = — з1ч 20 2 в) 4(1 — х )уи — 4ху'+ Рзд = О, если х = з1п2й 39. Преобразуйте дифференциальное уравнение, привяв у за новую независимую переменную, а х за новую функцию: а) у'у'" — З(ун) — (у)ау = 0: б) (у')зут" — 10ууиуи'+ 15(уи) = (у')". 40.
Введя поные переменные й и, где и = и(1), преобразуйте дифференциальное уравнение: а) хзуи + худ' — у = О, если х = е', у = и е'! б) уи' — хзун + ху' — у = О, если х = 17'й у = ит'11 2 1их 1и1 в) у'+ у = 1, если у = и+ 1, 1 — 1п х х г) хуун — х(у~)~+ уу = О, если 1 = у, и =!в(утх). рл'. Замена переменных 277 41.
В уравнении ун + р(х)у'+ о(х)у = О перейдите к новой функции а = = и(х), если у = ехр~ — О,О~РЯг7!) и. "о 42. Преобразуйте дифференциальное уравнение, перейдя к полярным ко- ордиватам х = Рсоа !в, у = Ряп!в, где Р = Р(у)) а) у' = ' у; б) (ху' — у) = 2ху(1+ у ). х — у 43. В системе уравнений г — = у + йх(х + у ) лг — = — х -1- Йу(х ~- у ) а! перейдите к новым функцинм р = Р!6), ю = !в(!) по формулам х = Рсоа !в, у = ряпун 44. Введя новые независимые переменные н, в, преобразуйте дифференци- альное уравнение: а)хх,фуз„=з, если и=х, в=у7'х; 3 з б) уз — хз„=ус е", если и=в +у, в=у; в) (х-1-у)з, — (х — у) в — — О, если и = 1и „7хз+ у', в = асс!О!у/х); г) (хз ) -~-аузз„= 6х', если и =!пх, в =!пу.
46. Решите уравнение с частными производными, введя новые независи- мые переменные и,в: а) ах -1-6зв = О, если и = ах -1-6у, в = бх — оу; б) ух,— хзв — — О, если и=в, в=х +у; в) х „-Ь уха = з, если и = 4х — 7у, в = Яу/х. 46. Решите лифференциальное уравнение, введя новые переменные и, в, ю где ю = ю(и, в): а) ххе-Ь(уф1)зв — — О, если х=в+в, у=в/и, х=ю7и; б) уз — хз„= (у — х)-, если и = ха -1- у, в = 17х -Ь 1/у, ю = !па†— х — у.
47. Преобразуйте дифференциальное уравнение, перейдя к новым пере менным и, в, ю, где ю = ю!и, в): х -1-у а а з а) з„.+х(1+у )гв — — — ' — ху, если и +в +х — у =О, х= 3 у 3 3 3 3 у х = ву, в!п(ю — л) = а; б) (ху-~- д)з, + (1 — у )хв — — х+ ух. если в = !уе — х, в = хз — у, ю = = ху — з: в) (хх„) + (узв)~ = хзх,,зю если х = ие"', у = ве, з = юе 48.
Преобразуйте выражение В = (х,) + (х„)з, приняв х за функцию, а и = хз и в = уз -- за незанисимые переменные. 49. Введя новые независимые перемевные, преобразуйте ныражение: а) В = ( )з+ (зв)~, если х = Рсоа!е, У = Рвшх! б) В = згг -1- звю если х = Рсоч,Р, У = РЯп;Р; в)В=х з 42хуз,„фу з „, если и=!пх, в=1пу: з 2 з 2 г) В = х х„+ 2хрз,„+ У згю если х = Рсоа се, У = РЯп Р. 278 Гл. ХГ. Неявные функции и их при.южения 50.
Введи новые независимые переменные, преобразуйте уравнение: х у а) з,,+з„„=О, если и=, о= хз4,,2' хз4уз' б) х з, — 2хяпуз „-~-яп уеее — — О, если и = хсп -', и = х; 3 2 у 2 в) з +2з „+з„„=О, если и=х+>., и=у+а. 51. Решите уравнение, введя новые переменные и, и, ю, где ю = ю(ие и): а) з,.„— 2е,„ц- ее„— — О, если и = х 4- у, хо = у, хее = з; б) з =а сея если и=у — ах, о=у";ах. 3 52.
Преобразуйте уравнение хуН,„+ узйе, + хзйм = О, введя новые независимые переменные и, и, ю по формулам х = ию, у = ииц е = ии. 53. Введя поные переменные и, и, ю, где 1е = и~(и, о), преобразуйте уравнение: а)уееец-2зе=2/х, если уи=х, е=х, ю=хе — у; б) з„+2з,,„+хл„=О, если и=к+у, и=х — у, ю=ху — з; в) з„— 2з,е+ (1+ у/х)зее —— О, если и = к, и = х+ у, ю = х+у+ з; г) (1 — х )з„+ (1 — у )з„„= хз, + уее, если х = яви, у = япи, х=е д)з +з ец-хне=1+с — ху, если и+х+у+и=1, и — х+у — и = = О, ху — з=ю. 54.
Докаеките, что вид уравнения з,,-„= (з,„)з не меняется при любом распределении ролей между переменными х, у, 55. Докажите, что уравнение з„= зе не изменит своего вида при замсае х 1 ее х переменных и = —, и = — —, з = — ехр — —, где ю = ю(и, и). у у у 1 4у) ГЛАВА ХП КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ у 1. Двойные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение двойного интеграла. Пусть С .
- квадрируемая (и, .следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области С определена ограниченная функция и = Х(М) = Х(х,у). Разобьем область С на а квадрируемых частей С, (ь = 1, 2, ..., п) так, чтобы любые две части не имели общих внутренних точек, в каждой части С; возьмем произвольную точку ЛХ,®,у,) и составим сумму Х(Со ЛХ,) = ~ ~Х(~,нй)Лз„ ~ —.— ь где Ьв; .- плошадь С,. Эта сумма называется интегральной суммой функции Х(х, у), соответствующей данному разбиению области С на части С; и данному выбору промежуточных точек ЛХь Диал~етром ограниченного множества С точек назовеги точную верхнюю грань расстояний между двумя произвольными точками этого мноькества; зцр р(ЛХ', ЛХи).
м еп мино Пусть й; -- диаметр С„д = пьах 4. ь<ьй~ О п р е дел е н и е. Число Х называется пределом интегральных сумм Х(Сь, М;) при й — ь О, если гг > О эб > О такое, что для любого разбиения области С, у которого й < б, и для любого выбора промежуточных точек М, выполняется неравенство ~Х(С„ЛХ,) — Х~ < г.
Если существует 1пп Х(С„ЛХ;) = Х, то он называется двойкьм иктегл- о ралвм от функции Х(х, у) по области С и обозначается ( ( Х(х, у) йх ау и или ЦЯМ) аз, а функция Х(х, у) называется интегрируемой в области С. Теорема 1. Функция, непрерывная в замкнутой квадрируемвй области, актегрируельа в этой области. Гл. ХП. Кратные интегралы 280 Теорема 2. Функция, ограниченная в квадрируемой области и непрергпвная всюду, кроме некоторого множества точек площади нуль *), интегрируема в этой области. Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.
д.). 2. Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования. Пусть функция р"(х,у) определена в области у= ул(х) х= х,.(у) (у) у= и(х) О Рис. 20 Рис. 80 С = [(х,у): а < х < 6, ул(х) < у < у (х)), где ул(х) и уг(х) непрерывные функции на сегменте [а, Ь[ (рис.
29). Таку ю область С назовем у-трапециевидной. Т е о р е м а 3. Пусть; 1') существуепь двойной интегр л ~~~(х.,у) дхйу; и 2') лгх е [а, (л) существует определенный интеграл уг(х') 1(х) = / Лх,у)йу. щ(х1 Тогда существуегп определенный интеграл Ь Ь ух(х) Я Ул(х( (он называется повторным) и справедливо равенство Ь Уг(х) ~~~(хху) йх г1у = ~с(* / Г(з:, у) дту, (1) и ю(х) т. е. двойной интеграл равен повторному.
Если область С является т;трапециевидной (рис. 30), то при соответствующих условиях справедлива формула, аналогичная (1); *) Говорят, что множество точек плоскости имеет площадь нуль, если Уг > 0 существует миогоугодьиик, содержащий ото мкожество и иллеющий паощадго меньшую е (ииыми словами, если вто множества моа ио заключить в ллиогоугоаьиик сколь угодно малой площади). д1.
двойные интеералы 281 з ххЬ) 01(х,у)дхду = ~<1у / 1(х,у)дх. (2) х~ бч) Область более сложного вида часто удаетсн разбить ца трапециевидные части, к которым применима формула (1) или (2) (рис. 31). 3. Замена переменных в двойном интеграле. Рассмотрим двойной интеграл О1(х,у) дхду. Замена переменных в двойном о интеграле состоит в переходе переменных х и у к новым переменным и и о по формулам х = фи,о), у = ху(и,о), (3) (и,о) Е д. При этом каждая точка (х, у) области С соответствует некоторой точке (и,о) области д, а каждая точка (и,.о) области д переходит в х некоторую точку (х,у) области С (рис. 32).
Иными словами, когда точка (и, о) "пробегает" область д, соответствующая ей точка (х, у) = (че(и,о),Ф(и,о)) "пробегает" область С. Функции (3) называют Рис. З2 также отображением области д плоскости (и,о) на область С плоскости (х, у). Область С называется образом области д, а область д— прообразом области С при отображении (3). Пусть отображение (3) удовлетворяет следующим условиям. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
