В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 52
Текст из файла (страница 52)
2. Метод исключения части переменных. Пусть в окрестности ш точки Мо(х",, хо, ..., хо,) для уравнений связи (2) выполнены условия теоремы 4 о неявных функциях, так что в некотором параллелепипеде ХХ С ш эти уравнения имеют единственное решение относительно каких-то Й переменных, например, относительно х1, хз, ..., хь: (3) х; = гРг(хло1гзгЬЬзг".гхт) (1 = 1г2г ..гЛ) Тогда в параллелепипеде Я условия связи (2) эквивалентны соотношениям (3), в которых естественно рассматривать х1.1.1,хьэз,...,х как независимые переменные. Если функции (3) удастсл найти в ланом виде, то, подставлял их в (1), получим функцию т — Й независимых переменных; и = Х(гр1 (ХЬ, г, ..., Хт), ..., |вру (ХЬ Ь1, ..., Хв ), ХЬЭ1, ..., Хвг) = : — Х'(хьэ1,...,х, ) = Р(ЛХ').
В пределах Я значение функции Е(ЛХ') в любой точке ЛХ'(хье 1г ..., х ) совпадает со значением функции Х(ЛХ) в соответствующей точке ЛХ(х1,хз,...,х ), удовлетворяющей уравнениям (3)г или, что то же самое, уравнениям связи (2). Поэтому вопрос об условном экстремуме функции (1) при условиях связи (2) в параллелепипеде Я сводится к вопросу о безусловном экстремуме функции Г(ЛХ'). Гл. ХХ. Неяеные функции и их приложения 262 дГг дрг дйг 14хг + егхз + ... + — е(хгн = О дх1 ' дхг хог (6) — гХх1 + — ггх2 + ... -с 11хж = О дЕ'ь де'я дНя дхг дх1 дило Из этой линейной системы выразим дифференциалы 11хг, гХхз, ..., гХхт. неявных функций (3) через дифференциалы независимых перемен- ных 11хцн1,11хян.з,...,сЬ . Подставляя полученные выражения для 11х1,11хз, ...,11хц в (4), приходим к равенству гп '41(х1 х2г" ~ хж) ггхг~ (4') г=-Ьц-1 где х, = гр (хь,г,хя ьз, ...,х„,) (Х = 1г2, ...,Н).
Если в точке ЛХа(хт .,ха, ...,хон) фУнкциЯ Е(ЛХ') имеет экстРе- мум, то И'~цг = О, т. е. Е Аг(х„хз,...,хя,х„, ы ...,х ) 11х, = О, о о а,о о г=я.1-1 где ха = гр (х",, х", г, ..., хо ) = 1р.(ЛХог) (1 = 1,2 .... Л). Так как гХх. (1 = й + 1, й + 2, ..., т) . дифференциалы независимых переменных, то из (6) получаем А(хг хг ... хн хй,г ... х")=О (1=Л+1 .. т). (7) Равенства (7) являются, таким образом, необходимыми условиями экстремума функции Г(ЛХ') в точке ЛХ', илн, что то же самое, необ- ходимыми условиянги условного экстремума функции Х(ЛХ) в точке ЛХо(хг, т",, ха,) при условиях связи (2). Отсюда следует, что для отыскания точки ЛХо(то,хга, ...,хо ) воз- можного экстремума нужна решить систему т уравнений относи- тельно т неизвестных хг,х,...,х„, Ег(хг,хз,...,хт) =О (1= 1,2,...,Л), Аг(х1,хз, ...,хгн) = О (1 = 1+ 1,1+ 2, ...,т). (6) Если нахождение функций (3) в явном ниде затруднительно (или невозможно), то можно поступить следующим образом.
Предположим, что функции (3) подставлены в (1), в результате чего получается функция Р(ЛХ'), и в уравнения (2), которые после этой подстановки обращаются в тождества. Дифференциал функции Н(ЛХ') в силу инвариантности формы первого дифференциала можно записать в вице 11Х' = ~ —,11х„ (4) , 1 Х'г где 11хт, гг гХхтц 2, ..., 11х дифференциалы независимых переменных, а 11хг, гХхз, ..., 11хя дифференциалы неявных функций (3).
Дифференцируя указанные выше тождества, получим Зя. условный экстремум 263 Если точка ЛХо возмогкного экстремума найдена., то ее дальнейшее исследование связано с рассмотрением второго дифференциала дгХ~м . ь Его можно вычислить (предполагаем, что функции (1) и (2) дважды дифференцируемы), дифференцируя равенство (4') для дГ и используя выражении для дифференциалов Нхы дхг, ...,дхь неявных фушсций (3), найденные из системы (5). В итоге находим дз Х~м квадратичную форму от переменных дхлчм дхьчг, ..., дх,„.
Если эта квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то функция (1) имеет в точке ЛХо условный минимум (максимум) при условиях связи (2). Применение описанного метода, используюшего систему (8), к конкретной функции рассмотрено в примере 2 на с. 265. 3. Метод Лагранжа. Задача об условном экстремуме функции (1) при условиях связи (2) эквивалентна задаче об условном экстремуме функции Лагранзка Ф(ЛХ) = Х(Л1) ч- Л,Г1 (М) + Л Рз(ЛХ) + ... + Л Рь1ФХ) (Л, -- произвольные числа) при тех же условиях связи (2)., поскольку в точках ЛХ, удовлетворяюших уравнениям связи, справедливо равенство Ф(ЛХ) = Х(М).
Т е о р е ги а 7 (необходимое условие Лагранжа условного экстремума). Пусть: 1') функция и = Х(хм ха, ...,х ) дифференцируема в точке Мо(хьы хог, ...,хоь) и имеет в этой точке условный экстрельум при условиях связи (2); 2') уравнения (2) удовлетворяют в некоторой окрестности точки ЛХо условиям теоремы 4 о неявных функциях вида (3).
Тогда существуют числа Лы Лг, ..., Ль такие, что все частные производные первого порядка функции Лагранзса равны нулю в точке Ма. Из теоремы 7 следует, что для отыскания точек возмозгного условного экстремума функции (1) при условиях связи (2) нужно решить систему т + к уравнений Р,(хмх, ...,х,„) = О (г = 1,2, ...,У), — (хыхз,...,х,„,ЛыЛг,...,Ль) = О (г = 1,2,...,т) дФ, 1О) дх, относительно гп + Л неизвестных хы хг, ..., х„„Лы Лг, ..., Ль.
Если хооы х!', ..., х",„, Ло, Л!', ..., Ло решение системы (9) (таких решений может быть несколько), то ЛХо(х~,х", ..., хо ) является точкой возможного условного экстремума функции (1) при условиях связи (2). Дальнейшее исследование этой точки связано, как и в методе исключения части переменных, с рассмотрением второго дифференциала сРХ'~м ь функции Р(ЛХ~) = Р(хьчы...,т ) = Ф(рз(хь-ьы" хш) ".
'Рь1хьчь ... х ) хь.ьь ... х ) где Ф = Х+ Л~Р, + Ль~Хзг+ ... ч-Льрю Его можно Гл. ХЛ Неявные функции и их приложения 2б4 вычислить по формуле т г гХ Хг~м„= ~ Н, (ЛХа)гХх,гХхгь дхг дх. (10) где гХхь, г, гХхь.~з,...,г4х -- дифференциалы независимых перемениых, а гХхг, дхзг ..., сЬ:ь - дифференциалы неявных функций (3) в точке ЛХо. Формула (10) показывает, что для нахождения сРХг(м сначала вычисляется второй дифференциал функции Лагранжа в точке ЛХо, причем так, как если бы все аргументы ты хз, ..., х„, были иезависимыми перемепцыми, а затем г1хы г1хз, ...,г1хь заменяются диффереициалами иеяввых функций ~3) в точке ЛХ„'.
В результате получается гХгР,м — квадратичная форма от г4хь г, дхьыг, ..., огх,п Если эта квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то в точке ЛХо функция (1) имеет условный минимум (максимум) при условиях связи (2)., а если г1зг ~м зиакоперемениая квадратичная форма, то в точке ЛХо функция (1) ие имеет условного экстремума. Коитрольные вопросы и задания 1.
Сформулируйте определение условиого экстремума функции. 2. Объясиите, в чем состоит метод исключения части переменных. Сведите задачу об условном экстремуме функции и = хг + уг при условии связи х ф у = 2 к задаче о безуславиам экстремуме. 3. Изложите схему метода исключевия части переменных, ие связанную с яахождеиием в явном виде каких-то переменных через остальиые.
4. Что такое фуикция Лагранжау Напишите выражение для функции Лагранжа в задаче об условном экстремуме из задания 2. 5. Сформулируйте теорему о всобходимых условиях Лагранжа условного экстремума. Составьте систему уравнений (9) для задачи об условием экстремуме из задания 2 и решите ее. 6. Объясиите, как исследовать далее точку возможного условного экстремума, вайдеваую методом Лагранжа. Проведите такое исследование для точки, найденной в задании б.
Примеры решения задач при условиях связи с е — х=1, у — хе=1. (12) Ь Решая систему уравнений (12) относительно д и х, находим у=х -~-х+1, 1. Ыетодом исключения части перемеипых найти экстремум функции и=х+р+з (11) ГЯ. Условный экстремум Подставляя выражения (13) в равенство (11), приходим к функции одной переменной х; и(х) = 2:г' + 4х + 2, для которой рассмотрим задачу о безуслонном экстремуме. Так как и' = 4(х + 1) = 0 при х = — 1, то функция и(х) имеет единственную точку возможного экстремума. Но ин( — 1) = 4 > О, поэтому при х = — 1 функции и<х) имеет минимум. Из системы (13) находим соответствующие х = — 1 значения у и г: у = 1, з = О.
Итак, функция (11) при условиях связи (12) имеет в точке ( — 1, 1, 0) минимум, причем и( — 1, 1, 0) = О. а 2. Методом исключения части переменных найти экстремум функпии (14) и=х+у — г с1у = — ох х — 2х-Ь1 ге 41 (16) Подставляя эти выражения для Пу и дз в выражение для дифференциала функции (14), которое имеет вид с1и = Их+ с!у — с)з, получим сЬ =,, ох = Айх.
(17) ее+1 Рассмотрим теперь систему уравнений, состопщую из уравнений (15) и уравнения А = 0 (это и есть система (8) в данном случае). Она имеет единственное решение х = 1/2, у = 1/2, з = О, т. е. ЛХв(112, 1гг2, 0) -- единственная точка возможного экстремума функции (14) при услониях свнзи (15). Дифференцируя выражение (17) для сХи. полк чаем 2(л~ -Ь 1) дх — (2х — 1)2лиз сги= ',, дх, откуда, используя уравнения (16), находим ~Хги<м, = 2(их)з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
