В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Функция вида ч~1х1, ..., Х ) = а11х1 + а!221х2 + ... 2 238 Гл. Х. Функции нескольких переменных Отметим, что Я(0,0, ..., 0) = О. Например, ®(х~,.хз) = х,"+2хз з-- положительно определенная квадратичная форма, так как Я(хм хе) > 0 во всех точках (хмхз), кролле точки (О, 0).
Квадратичнан форма называется знаквопределенной, если она является либо положительно определенной, либо отрицательно определенной. Квадратичная форма ®(хы ...,х„,) называется квазизнаквопределенной, осли она принимает либо только неотрицательные, либо только неположительные значения, но при этом обращается в нуль не только при хь = ... = х„, = О. Например, ог(хы хг) = хг1 + 2х1хх + хг квазизнакоопредоленная квадратичная форма, поскольку О(хы хз) = (х1 + хз) 2 > 0 во всех точках (хы х.), но Я(хы хг) = 0 не только в точке (О, 0); так, Ц(1, — 1) = О.
Квадратичная форма Х2(хы ...., хт) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например, сг(хы хз) = хз — х1хз — хз гзнакоперемепная квадратичная форма, поскольку она принимает как положительные, так и отрицательные значения; Я(1, 0) = 1 > О, ог(0, 1) = — 1 < О. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. 1'. Длл того чтобьо квадратичная форма („)(хы ..., х,„) была положительно определенной, необходило и достаточно, чтобьо все угловые миноры ее матрицы бьоли полозкительньс б1 > О, бз > О, ..., Л,о > О. 2'. Для того чтобы квадратичная форма Ц(зц, ..., х„,) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров ее матрицы чередовались следующим образом: б1 < О, дз > О, дз < О, дл > О,...
3. Достаточные условия локального экстремума. Второй дифференциал функции и = Х(хы ..., х ), где хы ..., х„, независимые переменные, в точке ЛХо можно записать в виде дг йзи~м — ~~ д'д (ЛХо)дх,'дхз. мо дх дх ьх=1 Это выразкснио показывает, что второй дифференциал фушсцни и = = Х(хы ...,хт) в данной точке ЛХо является квадратичной формой от переменных дхм ..., дх, а частные производные второго порядка да --- коэффициентами этой квадратичной формы. хг хз Теорема 22 (достаточные условия экстремума).
Пусть фуккция и = Х(ЛХ) = Х(хы...,х,„) дифференцируела в некоторой окрестности точки ЛХо(х",, ...,х,'~,) и дважды дифференцируема в самой точке ЛХо, причем Мо —.- точка возможного экстремума данной функции, т, е. ди~ = О. Тогда если второй дифференциал дги) является полото мо жнтельно определенной (отрицательно определенной) квадратичной дд. Покалъный экстремум формой от переменных с(хы ...,г?хт, то функцпл и = Х(ЛХ) имеет в точке ЛХо локальный минимум (лгаксимул). Если лсе сХги(л?, явллется знакоперелгенной квадратичногл формой, то в точке ЛХо функция и = ф(ЛХ) не имеет локального экстрелулга. Замечание. Если йи~ =О, а а~и( нвлнется квазизнакоопределенмг ' ~ма ной квадратичной формой, то функция и = Х(ЛХ) молгет иметь в точке Мо локальный экстремум, а может и не иметь его. Например, для каждой из функций и = х~ ж у~ и и = хгуз в точке О(О, О) выполнены условия йи = О.
йги = 0 (т. е. второй дифферевциал являетсн ивазизнакоопределенной квадратичной формой). Но при этом первая фунвция имеет, очевидно, в точке О локальный минимум, а вторая функция не имеет экстремума в точке О. 4. Случай функции двух переменных. Пусть функция и = = Х(х, у) дифферепцируема в окрестности точки Мо(хо, уо) и дважды дифференцируема в самой точке Мо, причем ЛХо — точка возможного экстремума данной функции, т. е. с(и~ = О. Введем обозначения: лгг д и д и д и аы г (ЛХО) агг (ЛХО); агг г (ЛХО).
дх дх ду ' дуг Тогда из теоремы 22 и критерия Сильвестра знакоопределенпости кнадратичной формы следуют утвергкдения: 1) если Х2 = аыагг — агг > О, то в точке ЛХо фУнкциЯ и = ф(х, У) имеет локальный экстремум (максимум при аы < О и минимум при аы >О); 2) если Р < О, то в точке ЛХо функция а = Х(х, у) не имеет экстремума: 3) если Х1 = О, то в точке Мо функция и = Х(х,у) может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его. Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение локального экстремума функции. 2.
Сформулируйте и докажите теорему о необходимом условии экстремума и следствие этой теоремы. Приведите пример функции и = Х(х, у), да удовлетворяющей в некоторой точке Мо условиям — (Мо) = О, дх да — (ЛХо) = О, но не имеющей в точке ЛХе локального экстремума. ду 3. Какие точки называются точками возможного экстремума функции'? Приведите пример функции и = Х(х, у), имеющей в некоторой точке да до Ме локальный экстремум и такой, что — (ЛХо) = О, а — в точке ЛХе не дх ' ду существует. 4. Какая функция называется квадратичной формой? Что такое матрица квадратичной формы? Выпишите матрицу квадратичной формы г 9(хи хг,хз) = 2х, — 4хгхг ж бхгхг — хг — 2хьтг ж Зхг и вычислите ее главные миноры. Гл.
Х. Функции нескольких переменных 240 5. Какая квадратичная форма называется: а) положительно определенной; б) отрицательно определенной; в) знаьоопределенной; г) квазизнакоопределенной; д) знакопеременной? Приведите примеры каждого типа каадратичаых форм. 6. Сформулируйте критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Пользуясь этим критерием, установите, является ли знакоопроделенной квадратичная форма ХХ(хг, тг,хз) = х! — 2хгхг -~- 2хг гф ф 4тгхз -Ь Зхз. 7.
Напишите выражение для второго дифференциала функции и = = Х(хг, ..., х„,) в точке ЛХо. если хг, ..., х„, независимые переменные. Квадратичной формой от каких переменных нвляется !Х~иГм„'? 8. Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума функции и = Х(хг, ..., х„). Являются ли условил этой теоремы необходимыми условиями экстремума? 9. Сформулируйте достаточные условия локального максимума, локального минимума и отсутствия экстремума функции и = Х(х, у) в точке ЛХе(хо, уе).
10. Приведите пример функции и = Х(х, у), удовлетворяющей в некоторой точке ЛХе условиям !Хи = О, Р = аиагг — а,г = О, причем эта функции в точке ЛХе; а) имеет локальный экстремум; б) не имеет локального экстремума. Примеры решения задач 1. Найдите точки локального экстремума функции а = 2х — ху+ 2хз — у+ у + л . Х1 Для нахождения точек возможного экстремума данной функции вычисляем ее частные производные и приравниваем их нулю: ие = 4х — у+ 2з = О, и„= — х — 1+ Зуг = О, и. = 2х+ 2х = О.
Решал эту систему трех уравнений, находим две точки возможного экстремума: ЛХг(1?3,2?!3, — 1?3) и ЛХг( — 1?4, — 1??2,1??4). Далее воспользуемсн достаточных|и условиями экстремума. Для этого вычислим частные производные второго порядка данной функции: и„= 4. и,„= ил, — — — 1, и„= илх = 2, и = бу, и, = илл — — О, илл = 2. Значения этих частных производных в точке ЛХ! являются коэффициентами ?Ри~ -- квадратичной формы от переменных с(х, !Ху, м! а?з. Матрица этой квадратичной формы имеет вид А= — 1 4 0 Вычисляя гланные миноры матрицы А, получаем 4 — 1 2 Лг=4>0, Лг= 4 =15>0, Лз= — 1 4 0 =14>0. 2 0 2 Хб. Покалъкый экстремум 241 Согласно критерию Сильвестра с1зи~ является положительно опрелй деленной квадратичной формой от переменных с1х, сХд, с1з. Следовательно, в точке ЛХ| функция имеет локальный минимум. Исследуем теперь точку ЛХз.
Матрица квадратичной формы сЕ-'и( и|леет вид .4= — 1 3 0 Отсюда получаем 61 = 4 > О, Лз = — 13 < О, Лз = — 14 < О. Следовательно, ссзи~ нс являетсн знакоопределенной квадратичной формой от мг с1х, сХу, с1 . Нетрудно видеть, что эта квадратичная форма знакоперемецная. В самом деле, если положить с1х ф О, с1у = сЬ = О, то получим сХзи)лсл =,, ЛЛХз) с1хз =4|Ххз > О, а если положить с1х= асс = О, с1У ~ О, 2 дхэ д'и то полУчим с1'и~м, = (ЛХз) сХУз = — ЗНУз < О. Следовательно, в точду' кс ЛХз функция нс имеет локального экстремума.
А 2. Найти точки локального экстремума функции и = хз — 2ху+ -ь 4уз. су Вычисляем частные производные функции и приравниваем их нулю; и, = 2х — 2у = О, иэ — — -2х+ 12у~ = О. Решая эту систему уравнений, получаеэ| две точки возможного экстремума: М| с|0, 0) и Мзс|1|с 6, 1сс6). Далее находим частные производные второго порядка: и,, = 2, и, р = -2, и„„= 24у. д' д'и В точке ЛХ|| а|| — — —,с|ЛХ1) = 2, а|з = лсМ1) = — 2., аса = дх' ' дх ду д и = —,1ЛХ1) = О. Следовательно, Р = аыазз — алг = — 4 < О, и, значит, ду в точке М, функция не имеет локального экстремума. В точке ЛХз| а|| — — 2, а|з = — 2, ааз = 4. Следовательно, Р = = 2 4 — 1 — 2)~ = 4 > 0 и так как а|| = 2 > О, то в точке ЛХз функция из|еет локальный минимум. А 3. Найти точки локального экстремума функции и = Зхзу хз у .
Вычисляем частные производные функции и приравниваем их нулю; и, = -Зхз + бху = О, и, = Зхз — 4уз = О. Решая эту систему, находим две точки возможного экстремума: ЛХ|(0, 0) и ЛХзссб, 3). Вычисляем частные производные второго порядка данной функции; и„= — бх-|-6У, икр — — 6х, и„, = — 12Уз. В точке ЛХ|| а|| = О, а|з = О, азз = О, и, значит, Р = аыазз — аале = = О. Поэтому точка Л|1(0, 0) требует дополнительного исследования. Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
