В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах (1108910), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Если положить Ьх, = х, — хо (1 = 1, ..., т) и раскрыть выражения длн иьи~ м, то фоРмУлУ (7) мол~но записать в ниде ьц Х(хч;".,х-) = Х(х'1,",х,".)+ — (ЛХо)(х1 — х1)+ " 1 дзХ ".+ (ЛХО)(хт -х )+ — х(ЛХО)(х1 з1) +". диан —, д н (ЛХО)(хж — хш)" -~- Х1н.,1 = — ~'п(х1, "., х,п) + ХХп.ьы (6) хрн где Р„(х,, ..., х ) многочлен степени и от переменных хы ...,.с ., а н-ь1 Л„.ь1 =, до+~и~ .
— остаточный член. (и ж 1)! 25. Частные производные высших порядков 229 Многочлен Хзп(хы ...,хп,) называетсп лзногочленолз Тейлора; он обладает тем свойством, что значения его и нсех его частных производных до и-го цорпдка включительно в точке ЛХо соответственно равны значенинм функции и = Х(хы ...,хоп) и ее частных производных в точке ЛХо.
При и = 0 из формулы (7) получаем уормулу Лагранжа конечных приращений для функции многих переменных: з(хо + „1х хо +,1 ) Х( о , о ) = — (зУ)Лх~ + ... + — (Дг)Ьхо,. дХ дХ дх~ дхж ° б ' р = з(ьз зз) = ' ьи + ... ~ ~...' . т точный член в форгиуле (8) можно записать в виде тьи+ ~ — — о(р") (остаточный член в форме Ивано). Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано справедлива при более слабых требованиях, чем в теореме 20, а именно функция а = Х(хы ..., хп,) должна быть дифференцируемой и — 1 раз в г-окрестности точки Мо и дифферонцируемой и раз в самой точке Мо Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение частной производной второго порядка функции и = Х(хы ..., хж ) по аргументам х„ хь в точке М. В каком случае частнан производнал второго порядка называется смешанной? 2.
Покажите, что смешаннан частная произволнап Х,,з(х,у) функции и = Х(х,у) представляет собой повторный предел Х,з(х, у) = !шз 1ш Х(х -!- ззх, у -1- злу) — Х(х, у .1- Ьу) — Х(х -1- сзх, у) ч Х(х, у) аз-эо а.-эо стх Гзу 3. Дайте определение частной производной п-го порлдка функции и = = Х(хы ..., х„,) по аргументам хч, х,.„..., х,„.
В каком случае эта частнан производная называется смешанной.) 4. Известно, что функция и = Х(хы ..., х ) имеет все частные производные н-го порядка в точке М. Что можно сказать о существовании частных производных меаьшего порялка этой функции в точке М и в окрестности точки ЛХ? 5. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных второго порядка функции и = Х(х,у). Пользуясь этой теоремой, обоснуйте равенство смешанных частаых производных второго парадна функции и = (зш(х+у))""*" в любой точке ЛХ(х,у), н которой вш(х + у) > 0 (не вычислял самих произволных). 6. Сформулируйте теорему о независимости п-х смешанных частных производных функции и = Х(хы...,х„,) от порядка дифференцированин.
Опираясь на теорему о равенстве смешанных частных производных дзи дзи второго порндка, докажите, что дхз дхз дхз дхз дхз дх~ Гл. Х. Функции нескольких переменных 230 7. Дайте определение и-ьратной дифференцируемости функции и = = Х(хп ..., х„,) в данной точке. Докажите, что если функция дифференцируема п раз в точке ЛХо, то эта функции и все ее частные производные до (п — 1)-го порядка включительно дифферснцируемы в точке Л|а. 8. Докажите, что если функция и = Х(хи ..., х ) имеет в векоторой окрестности точки ЛХо все частные произнодные и-го порядка и эти частные производные непрерывны в точке ЛХе, то функция дифферснцируелга п раз н этой точке.
9. Сформулируйте вторую теорему о равенство смешанных частных производных второго порядка функции и = Х(х, у). 10. Дайте определение дифференциала второго порядка функции и = Х(х, у) (х и у независимые переменные) в данной точке ЛХа и, пользуясь этим определением, выведите формулу (2). 11. Напишите операторную формулу для дифференциала второго порндка функции и = Х(х,у) (х и у -- независимые переменные).
12. Дайте определение дифференциала и-го порядка функции и = Х(х, у). Методам математической инду-кции докажите справедливость операторной формулы (4) длл дифференциала п-го порядка. 13. Выведите формулу (5) длл дифференциала второго порядка функции и = Х(х, у) в случае, когда х и у . дважды дифференцируемые функции каких-либо независимых переменных. 14. Напишите выражение длл оператора дифференциала и операторную формулу длл дифференциала п-го парилка функции и = Х(хп ..., х ), где хг, ..., х„, - .
независимые переменные. Докажите, что эта формула справедлива и в там случае, когда хи ..., х — линейные функции независимых переменных йи ..., |ь. 15. Сформулируйте теорему о формуле Тейлора и запишите формулу Тейлора в двух видах (формулы (7) и (8)). 16. Что такое многочлсн Тейлора? Каким свойством он обладает'? Докажите эта свойства. 17. Напишите формулу Лагранжа конечных прирашений для функции и = Х(хп ..., х„,).
При каких условиях эта формула верна? 18. При условиях теоремы 20 (т. е. пользулсь формулой (7)) выведите формулу длн остаточного члена в форме Пеапо. При каких более слабых требованиях справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано? Примеры решения задач 1. Найти частные производные второго порндка функции и=х".
Хь Сначала находим частные производные первого порядка: ди у г ди е — = ух, — = х. )п х. дт ' ду Затем, вычисллн частные производныс от частных производных пер- ного порядка, получаеги производные второго порядка данной функ- ции: — = у(у — 1)х,", =х" + ут," !пх = х" (1+ у1пх), дх' ' ' дуди дг = ут," )их+ т:" — = хи (1-1-у1пх), д*ду уд.
Часшние производные высших порядков 231 дзи деи 3 а м е ч а н и е. В рассмотренном примере, = . Вообще, если дхду дудх функция и = Т(х, у) является суперпозицией элементарных функций, то ее частные производные любого порядка также являютсп суперпозициями элементарных функции, а так как элементарная функция непрерывна в любой точке, в окрестности которой она определена, то частные производные любого порядка функции и = 1(х, у) не зависят от порндка дифференцирования. 2.
Доказать, что функция з з 2'(х д) = ~ 'д х' -Ь у" О, . ' + у' = О, иэ|еет в точке 0(0, 0) смешанные частные производные второго по- рядка, но при этом (,и(0,0) ф (и,(0,0). Ь Вычислим сначала частную производную первого порядка 1,(х, у). Во всех точках, кроме точки 0(0,0), это можно сделать, днффереп- У цируя по х функцию ху з Получаем х +у ,з 2" (х,д) = У, з + хд( з ',,1 пРи хз+ Уз У'. -О. (9) Чтобы найти 1х(0, 0), воспользуемся тем, что 1(х, 0) = О. Отсюда име- ем 2, (О, 0) = О. Для нахождения смешанной производной второго порядка 1хи(0, 0) нужно найти производную по у функции 1 (О,у) в точке у = О. Из (9) следует, что 1,(О,У) = — у при у ф О, а так как г',(0,0) = О, д то уд: 1 (О,у) = — у.
Следовательно, Гхи(0,0) = — Г' (О,у)~ „= — 1. Аналогично полУчаем 1и(х, У) = х,, + хд(, ) пРи хе+ уз ха+ у и хз+ Уз ~ О, ди(0,0) = О, откУда зх: ди(х,О) = х. Следовательно, У„х(О,О) = „д У„(,О)!хуа =1. Таким образом, ~, и(0, 0) у'. -1из,(0, 0). а ~о 3. Найти,, если и = н' . дх'ду ' Л Указанная частная производная десятого порядка пе зависит от порядка дифференцирования (см.
замечание после примера 1). Очев видно, — = х е . Вычисляя теперь по формуле.1ейбница вторую 8 хи з ' ду' д и производную по х от ,, получаем ду'' 2 з 8 1о , ) =,, = (хв)не'" + 2(хз)'(е*")', + хз(е*"),,", = = 56хве '" -Ь 16хтуе з + хздхехи = е™(56хв + 16х у + хзуз), в Гл. Х. Функции нескольких пеуененных 232 4. Найти нторой дифференциал функции и = хи в точке ЛХо(1, 0). Хь Полагая х = 1, у = 0 в выражениях для частных производных втодги, рого порндка данной функции (см. пример Ц, получим —,,'(ЛХо) = аги дги дги дхг = О, (ЛХо) =,.
(ЛХо) = 1 — г(ЛХо) = О. Подставляя эти зиа' д*ау аудх ду' чения в формулу (2), находим нги~ = 2дхоу. а 5. Найти второй дифференциал функции и = Д~х+ у, ху) в точке ЛХ(х, у), если х и у — независимые переменные. Ь Запишем данную функцию в виде и = Х(1, о), где 1 = х + у, и = ху. Используя эти обозначения, находим ди дх = Их+У, ху)+Л(х+У, ху) у, ди — = Л(х+ у, ху) + Л,(х+ у, ху) х, ду г , =Лг+Лг'У+Ле'У+Ли'у =Лг+2УЛе+У Лп, д'и д ау =Лг+Хы х+Л У+1 ху+Л = Лг+(х+у)1 ° +хуЛ.+Л, д и г г дуг — = Лг+Хег х+Л х+Л, х- = Лг+2хЛе+х У„.е.
Подставляя эти выражения в формулу (2), получаем д и = (Хи+ 2УЛ + угУе) е)хг+ 2Ц~с+ (х+ у)Ле+хуХе+ + 1 ) е)х Ну + Цн + 2хЛ + хг Х ) еХУ' 4 6. Разложить функцию Х(х,у) = ех~ц по формуле Тейлора (8) с центром разложения в точке ЛХо (О, 1) до членов второго порядка включительно. гх Сначала находим частные производные функции Х(х, у) до второго порядка включительно: дгХ ,г дХ ~, х Гу 2х дуг уе уг ' В точке ЛХо(0,1) имеем Х (ЛХо) = 1, — РХо) = 1, — (ЛХо) = О, оХ дХ дх ' ду дгХ дгХ дгХ , (ЛХо) = 1, (ЛХо) = — 1....
(ЛХо) = О. Подставляя эти вырадхг ду дх дуг бб. Частные производные высших порядков 233 женил в формулу (8), получаем е Хд = 1+ х + — х — х(у — 1) + Вз = 1+ 2х + — х — ху + Лз. ,х а 1 1, 2 2 2 В форме Пеано Лз — — о(хг + (у — 1)г). 4 7. Доказать, что если функция Х(х, у) дифферепцируема в выпуклой *) области С и ее частные производные Хз(х, у) и Хр(х, у) ограничены в этой области, то Х(х, у) равномерно непрерывна в области С. Ь Пусть ~Хз(х, у)~ < с, ~Хи(х,у)~ < с в выпуклой области С (с > 0-- некоторое число).
Зададим произвольное я > 0 и положим б = —. 2с Пусть ЛХз(хз,у!) и ЛХг(х,уз) - . любые точки области С, длй которых р(ЛХз, Мг) < Л. Так как область С выпуклая, то отрезок прямой, соединяющий точки ЛХ! н ЛХг, целиком лежит в области С, и поэтому к разности Х(М!) — Х(ЛХг) можно приманить формулу Лагранжа: Х(ЛХ!) — Х(Иг) = Хз(йг)(хз — х ) + Хд(А')(У, — У ).
(10) Далее, так как р(Мг,ЛХг) = <Л, то !хз— — х ) < б, (уз — у ! < Л, и поскольку (Х,(Аг)) < с, (Хи(А')) < с, из равенства (10) следует, что ~Х(ЛХ!) — Х(ЛХг)~ < ~Хз(ХЧ) ~(х! — хг~ + ~Хр(Аг))~У! — Уг~ < 2сб = Я. Согласно определению это и означает, что функци~ Х(х, у) равномерно непрерывна в области С. л 8.
Доказать, что функция ж Х ,з„з У г ! уз~О и= хг";уг' О, хг+уг =О, равномерно непрерывна на всей плоскости. Ь Докажем сначала, что данная функция имеет ограниченные частные производные и, и и, на всей плоскости. В самом деле, и, =, ", " при хг + уг ~ 0 и и,(0, 0) = 1 (см. пример 2 3 4). ( г !, )г Переходи к полярным координатам х = р соя ~р, у = р я!лиг, получим из = созе ьг+ Зсозз !РЯ1пг Чг — 2соззгз|п ьг (пРи Р ~ 0) и и,(0,0) = 1. Отсюда непосредственно видно, что из(х, у) ограничепнал функция на всей плоскости. Аналогично доказывается ограниченность ии(х, у). Казалось бы, теперь можно воспользоватьсн установленным в примере 7 достаточным условием равномерной непрерывности функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
